“化圓”策略在幾何最值問題中的運用

蘇紅芬

幾何最值問題是中考數學的一個熱點問題，涉及的內容可覆蓋整個初中平面幾何知識.而很多幾何最值問題往往可以轉化為以圓為載體的問題，這類問題集多個知識點于一體，能全方位地考查同學們的基礎知識、基本技能、解題技巧以及數學思維和素養，成為中考試題中的一朵奇葩.本文將結合2015年湖北武漢中考選擇題最后一題，就圓中的最值問題加以歸類總結，并通過舉例說明它們的解法.

一、 動點在圓上，定點在圓外（內）

例1 （2015·湖北武漢）如圖1，△ABC、△EFG均是邊長為2的等邊三角形，點D是邊BC、EF的中點，直線AG、FC相交于點M.當△EFG繞點D旋轉時，線段BM長的最小值是（ ）.

A. 2- B. +1

C. D. -1

【全面解析】先考慮讓△EFG和△BCA重合，然后把△EFG繞點D順時針旋轉，連接AD、DG，根據旋轉角相等，旋轉前后的對應線段相等，容易發現∠ADG=∠FDC，DA=DG，DF=DC，故∠DFC=∠DCF=∠DAG=∠DGA.又根據等腰三角形的“三線合一”可知∠FDG=90°，所以∠DFG+∠DGF=90°，即∠DFC+∠CFG+∠DGF=90°. 所以∠AMC=∠MGF+∠CFG=∠AGD+∠DGF+∠CFG=∠DFC+∠DGF+∠CFG=90°. 故點M始終在以AC為直徑的圓上，做出該圓，設圓心為O，連接BO與⊙O相交于點P，線段BP的長即為線段BM長的最小值. BP=BO-OP=-1，故選D.

【難點突破】本題發現點M始終在以AC為直徑的圓上是解題的重要突破口. 考慮讓△EFG和△BCA重合，然后把△EFG繞點D順時針旋轉，借助旋轉的性質找出解題思路是分析有關旋轉問題的重要方法.

【回歸本質】①定性分析：動點M在圓上，定點B在圓外（內），求線段BM最短（最長）的方法是作定點與圓心的連線.如圖2，當點M與點P重合，則BM最小，當點M與點N重合，則BM最大.

②定量計算：邊長為2的等邊三角形一邊上的中線BO=，故BM長的最小值BP=BO-OP=-1.

【提煉模型】①當點B在⊙O外，在⊙O上取一點M，M在何處，BM有最小值？M在何處，BM有最大值？

②當點B在⊙O內，情況又怎樣？

答：作定點B與圓心O的連線. 當點M在P點時，BM有最小值；當點M在N點時，BM有最大值.

變式 （2014·江蘇徐州一模）如圖5，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到△A1BC1.點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉的過程中，點P的對應點是點P1，寫出線段EP1長度的最大值與最小值.

【全面解析】（1） 理清“變”與“不變”. 如果先抓“變化”的量，△ABC繞點B按逆時針方向旋轉的過程中，點P既在旋轉又在線段AC上運動，比較難以把握，所以應先抓“不變”的量.①點E始終在以定點B為圓心，AB即2為半徑的圓上.②點P始終在線段AC上，當點P與點C重合時，點P距定點B的距離最大為6；當BP與線段AC垂直時，點P距定點B的距離最小為BC·sin30°=3，所以無論△ABC繞點B如何旋轉，點P的運動軌跡始終在以定點B為圓心，3和 6為半徑的兩個同心圓之間的圓環上.

（2） 假定E點不動，這個問題可以分解成圓內一定點到圓上一動點最值問題的基本圖形.

其中，當點P在點F處時，EP1最小，最小值為3-2=1，當點P在點K處時，EP1最大，最大值為6+2=8.

【難點突破】本題發現點E始終在以定點B為圓心，AB即2為半徑的圓上以及點P始終在以定點B為圓心，3和6為半徑的兩個同心圓之間的圓環上是解題的關鍵.

二、 動點在直線上，定點在直線外

例2 （2014·云南）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，矩形ABCO的頂點分別為A（3，0）、B（3，4）、C（0，4），點D在y軸上，且點D的坐標為（0，-5），點P是直線AC上的一個動點.當點P沿直線AC移動時，以點P為圓心、R（R>0）為半徑長畫圓，得到的圓稱為動圓P. 若設動圓P的半徑長為AC，過點D作動圓P的兩條切線與動圓P分別相切于點E、F. 請探求在動圓P中，是否存在面積最小的四邊形DEPF？若存在，請求出最小面積S的值；若不存在，請說明理由.

【全面解析】（1） 轉化的思想.

①S四邊形DEPF=2S△DPE=DE·PE=DE·

=；

②四邊形DEPF的面積要最小，只要DP最小，當DP⊥AC時最小，此時DP=9sin∠DCP=，四邊形DEPF的面積的最小值為.

（2） 函數思想建立四邊形面積與線段DP的函數，利用函數增減性確定P點的位置.

【難點突破】圓心P作為動點在直線AC上，定點D在直線AC外，根據垂線段最短原理即可解決.

變式 如圖10，平面直角坐標系中，A（-4，0），B（0，4），C（2，0），D是線段BC上的動點，過D作DE⊥AB，DF⊥AC，連接EF、AD，則線段EF的最小值為多少？

【全面解析】首先要發現A、F、D、E四點共圓，可以用圓的定義“到定點的距離等于定長”來說明，也可以依據對角互補的四邊形四點共圓的經驗來判斷.得出EF是以AD中點為圓心，AD為半徑的圓中的弦.其次，要利用同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍，從而得出∠EGF=90°，△EGF是等腰直角三角形，故EF=·AD=AD.建立函數，要使得EF最小，只要AD最小，從而將問題引入動點D在直線BC上，定點A在直線BC外這種基本模型，根據垂線段最短原理即可解決.

【難點突破】①要發現A、F、D、E四點共圓；

②能夠得出∠EGF=90°，△EGF是等腰直角三角形；

③運用垂線段最短原理；

④會利用三角函數正確求解.

綜上所述，對于幾何最值問題，同學們遇到時不必驚慌失措，常常可以想一想“化圓”策略，重點可以用到以下兩個結論：1. 兩點之間，線段最段；2. 垂線段最短.

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）