“對稱圖形

蔣飛

一、 選擇題（每小題3分，共30分）

1. 如圖，已知AB、CD是⊙O的兩條直徑，∠ABC=28°，那么∠BAD=（ ）.

A. 28° B. 42° C. 56° D. 84°

2. 如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，下列結論中，錯誤的是（ ）.

A. CE=DE B. 弧BC=弧BD C. ∠BAC=∠BAD D. AC>AD

3. 在同圓中，下列四個命題：（1） 圓心角是頂點在圓心的角；（2） 兩個圓心角相等，它們所對的弦也相等；（3） 兩條弦相等，它們所對的弧也相等；（4） 等弧所對的圓心角相等.其中真命題有（ ）.

A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個

4. 如圖，在平面直角坐標系中，⊙A經過原點O，并且分別與x軸、y軸交于B、C兩點，已知B（8，0），C（0，6），則⊙A的半徑為（ ）.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 8

5. 已知⊙O的直徑CD=10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB=8 cm，則AC的長為（ ）.

A. 2 cm B. 4 cm

C. 2 cm或4 cm D. 2 cm或4 cm

6. 如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，A為切點，連接BC交⊙O于點D，連接AD，若∠ABC=45°，則下列結論正確的是（ ）.

A. AD=BC B. AD=AC C. AC>AB D. AD>DC

7. 圓錐的母線長為4，底面半徑為2，則此圓錐的側面積是（ ）.

A. 6π B. 8π C. 12π D. 16π

8.如圖，將邊長為1 cm的等邊三角形ABC沿直線l向右翻動（不滑動），點B從開始到結束，所經過路徑的長度為（ ）.

A. π cm B. 2+π cm C. π cm D. 3 cm

9. 如圖，半徑為1的小圓在半徑為 9 的大圓內滾動，且始終與大圓相切，則小圓掃過的陰影部分的面積為（ ）.

A. 17π B. 32π C. 49π D. 80π

10. 如圖，⊙O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點，PB切⊙O于點B，則PB的最小值是（ ）.

A. B. C. 3 D. 2

二、 填空題（每小題3分，共24分）

11. 如圖，在⊙O中，直徑CD垂直弦AB于點E，連接OB，CB，已知⊙O的半徑為2，AB=2，則∠BCD=________度.

12. 如圖，⊙O的外切正六邊形ABCDEF的邊長為2，則圖中陰影部分的面積為________.

13. 如圖是一個用來盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開口圓的直徑EF長為10 cm，母線OE（OF）長為10 cm.在母線OF上的點A處有一塊爆米花殘渣，且FA=2 cm，一只螞蟻從杯口的點E處沿圓錐表面爬行到A點，則此螞蟻爬行的最短距離是________cm.

14. 如圖，點P是半徑為5的⊙O內一點，且OP=3，在過點P的所有弦中，長度為整數的弦一共有________條.

15. 如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D是圓上兩點，∠AOC=100°，則∠D=________.

16. 如圖，在⊙O中，CD是直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，連接BC，若AB=2 cm，∠BCD=22.5°，則⊙O的半徑為________cm.

17. 如圖，以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于點C，若大圓半徑為10 cm，小圓半徑為 6 cm，則弦AB的長為________cm.

18. 如圖，PA，PB切⊙O于A，B兩點，若∠APB=60°，⊙O的半徑為3，則陰影部分的面積為________.

三、 解答題（共46分）

19. （6分）如圖，⊙O的直徑AB和弦CD相交于點E，AE=2，EB=6，∠DEO=30°，求弦CD的長.

20. （8分）如圖，從一個半徑為1的圓形鐵皮中剪下一個圓心角為90°的扇形BAC.

（1） 求這個扇形的面積.

（2） 若將扇形BAC圍成一個圓錐的側面，這個圓錐的底面直徑是多少？能否從最大的余料③中剪出一個圓做該圓錐的底面？請說明理由.

21. （8分）已知等腰△ABC的三個頂點都在半徑為5的⊙O上，如果底邊BC的長為8，求BC邊上的高.

22. （8分）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，以O為圓心，OA長為半徑的圓與AC，AB分別交于點D，E，且∠CBD=∠A.判斷直線BD與⊙O的位置關系，并證明你的結論.

23. （8分）如圖，△ABC內接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且與OA的延長線交于點D.

（1） 判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2） 若∠ACB=120°，OA=2，求CD的長.

24. （8分）如圖，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°.

（1） 求證：CD是⊙O的切線；

（2） 若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積.

參考答案

1. A 2. D 3. A 4. C 5. C（AB可離C點近，也可離D點近） 6. A 7. B 8. C

9. B（πR2 大-πR2 小=π·92-π·（9-2）2） 10. B（BP=） 11. 30 12. -

13. 2（圓錐側面沿母線OF展開易得=圓錐底面周長的一半=×10π=，∴n=90°，即∠EOF=90°，在Rt△AOE中可得AE=2）

14. 4（長度為9的弦有2條） 15. 40° 16. 2 17. 16 18. 9-3π

19. 解：過點O作OH⊥CD，垂足為H.

∵AE=2，EB=6，∴OA=OB=4，OE=2.

∵∠DEB=30°，∴OH=1，HD==，∴CD=2.

20. 解：（1） 如圖，∵∠BAC為直角，BC=2，

∴AB2+AC2=BC2.

∵AB=AC，∴AB2+AB2=22，

∴扇形半徑為AB=，

∴S扇形==.

（2） 設圍成圓錐的底面半徑為r，則2πr=，解得2r=.

延長AO分別交弧BC和⊙O于點E、F，而EF=2-<，

∴不能從最大的余料③中剪出一個圓做該圓錐的底面.

21. 解：作AD⊥BC，則AD即為BC邊上的高.

設圓心O到BC的距離為d，則依據垂徑定理得BD=4，d2=52-42=9，所以d=3.

當圓心在三角形內部時，如圖（1），BC邊上的高為5+3=8；

當圓心在三角形外部時，如圖（2），BC邊上的高為5-3=2.

22. 解：直線BD與⊙O相切.證明如下：

如圖，連接OD、ED.

∵OA=OD，∴∠A=∠ADO.

∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，

又∵∠CBD=∠A，∴∠ADO+∠CDB=90°. ∴∠ODB=90°，∴直線BD與⊙O相切.

23. 解：（1） CD與⊙O相切.理由如下：

如圖，作直徑CE，連接AE.

∵CE是直徑，∴∠EAC=90°，∴∠E+∠ACE=90°.

∵CA=CB，∴∠B=∠CAB.

∵AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB.

∵∠B=∠E，∴∠ACD=∠E，

∴∠ACE+∠ACD=90°，即∠DCO=90°，

∴OC⊥DC，∴CD與⊙O相切.

（2） ∵CD∥AB，OC⊥DC，∴OC⊥AB.

又∠ACB=120°，∴∠OCA=∠OCB=60°.

∵OA=OC，∴△OAC是等邊三角形，∴∠DOC=60°.

在Rt△DCO中，=tan∠DOC=，∴DC=OC=OA=2.

24. （1） 證明：如圖，連接OC. ∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°.

∵OA=OC，∴∠2=∠A=30°. ∴∠OCD=∠ACD-∠2=90°.

∴CD是圓O的切線

（2） 解：∵∠A=30°，∴∠1=2∠A=60°.

∴S扇形OBC==π.

在Rt△OCD中，CD=OC·tan60°=2.

∴SRt△OCD=OC×CD=×2×2=2.

∴圖中陰影部分的面積為2-π.

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）