數控機床傳動系統建模與分析

黃露郎，查初亮

（1.北京信息科技大學 機電工程學院，北京 100192；2.北京機床研究所，北京 100102）

0 引言

21世紀的今天，按照新型工業化的道路，數控機床正在向高精度、高速度、高可靠性方向發展，高速、超精密加工已成為現代加工技術的重要發展方向。滾珠絲杠自1874年被發明到今天，已經有100多年的歷史，數控機床及各種機電一體化裝備的高速化不斷地推動精密高速滾珠絲杠副的發展。目前，絲杠傳動系統仍有問題需要解決。機床進給系統在啟動、停止和加減速時，絲杠會受到瞬時沖擊，使機床傳動系統很難快速進入穩定狀態。這種情況在高速、重載數控機床上尤為常見。而對于緊密高速機床，傳動系統的微小振動會極大地影響緊密、超緊密機床的加工精度。因此，有必要對機床傳動系統的動態特性進行研究。這對提高高速精密機床高速運動特性、保證機床快速響應特性，使機床傳動系統具有較高的動態剛度和較高的定位精度具有重要意義。

對于機械工程中的傳動軸、絲杠等細長旋轉機械部件，一般都可以當作旋轉梁來研究。國內外不乏對絲杠傳動系統動力學的研究。R.Katz[1]通過運用模態分析和積分變換等多種方法綜合分析了梁的響應，并對各參數改變對梁特性的影響情況做出了總結； H.P.LEE[2]對受軸向力和動載荷情況下的梁的動態響應做了推導和求解；C.C.Cheng[3]對有滑動質量塊的梁的動態特性進行了分析，建立了動力學模型，并對其動態響應方程結果進行了分析，但沒有提出提高滾珠絲杠副性能的具體意見。臺灣國立成功大學的Chin Chung Wei、Jen Fen Li[4]對滾珠絲杠副的動力學進行了理論分析，考慮了接觸角變形和彈性變形對精度的影響，但沒有和滾珠絲杠副的具體性能建立聯系。吉林大學的張會端等對工作臺絲杠傳動系統進行了理論建模，得出了絲杠在不同支撐條件下動態特性的變化，并且就改善絲杠動態性能提出了改進意見[5,6]，吳沁[7]等人對絲杠傳動系統進行了建模和仿真分析，為研究控制系統補償策略建立了一定的依據。

本文主要對機床傳動系統扭轉特性及簡化絲杠模型在激勵條件下的動態特性進行了分析。將機床傳動系統抽象簡化，分析了驅動電機、轉子、聯軸器、絲杠和工作臺之間的動態關系，運用拉格朗日建模方法建立了絲杠傳動系統的動態模型，然后運用龍哥庫塔方法結合具體參數對絲杠傳動系統扭轉振動進行了數值求解；將絲杠獨立出來考慮，運用振動理論建立了絲杠的梁模型，求解了絲杠在集中載荷作用下的橫向振動響應，并且借助MATLAB分析了響應的結果。本文從絲杠傳動系統和絲杠本身的動態特性分別進行了分析，研究結果能夠指導絲杠傳動系統設計，提高絲杠傳動系統精度，并可以作為高速精密機床傳動系統伺服反饋控制系統的重要參考。

1 絲杠傳動系統建模和計算

機床進給系統主要包含伺服電機，聯軸器，支撐座，滾珠絲杠，導軌，工作臺等。具體結構如圖1所示。隨著現代制造要求高速化和高精度，絲杠傳動系統的動態特性建模及其仿真也越來越受到研究人員對的關注。研究傳動系統的動態特性能夠幫助機床伺服反饋系統的設計，極大地提高機床響應特性和精度[7]。

圖1 絲杠傳動系統簡圖

絲杠傳動系統可以分為電機轉子，聯軸器，工作臺三大部分，同時各個部件之間存在彈性連接和阻尼。建?？梢院雎越z杠和軸承的軸向剛度和阻尼，并且由于移動工作臺在水平導軌上的所受阻力極小，可以忽略不計，依據傳動系統的結構特點，絲杠傳動系統動力學建模簡圖如圖2所示。

圖2 絲杠傳動系統的動力學建模簡圖

絲杠傳動系統的動能為：

式(1)中，等號右邊的第一項為工作臺的動能，m代表工作臺的質量，x為沿工作臺運動的水平方向的坐標。第二、三、四項分別表示伺服電機的動能、聯軸器的動能、絲杠的動能，I1、I2、I3表示電機系統、聯軸器、絲杠的轉動慣量，φ1、φ2、φ3分別表示電機的轉角、聯軸器的轉角、絲杠的轉角。點號表示對時間求導。

傳動系統總勢能為：

式(2)中等號右邊三項分別是聯軸器與伺服電機連接的勢能、絲杠與聯軸器連接的勢能和工作臺與絲杠螺母連接的勢能。kt1、kt2分別為電機和聯軸器之間、絲杠聯軸器之間的扭轉剛度，ka為工作臺與絲杠之間的連接剛度。h為絲杠轉動1弧度，工作臺直線移動（前進/后退）的距離，φ1、φ2、φ3分別為絲杠轉角。

傳動系統因阻尼的存在而損耗，系統因阻尼引起總能量損耗：

式(3)中G表示阻尼引起的能量耗散。ct1、ct2、ca分別表示電機與聯軸器、絲杠與聯軸器、工作臺與絲杠之間的阻尼系數，點號表示對時間求導。

由拉格朗日方程可以得到：

將式(1)～式(3)代入拉格朗日方程(4)整理得到：

即：

式(6)中，M為質量矩陣，C為阻尼矩陣，K為剛度矩陣。

模型中絲杠的各參數值如表1所示。其中h為絲杠每轉動1rad工作臺的位移。

表1 絲杠傳動系統算例參數值

根據建立的動力學模型，結合由拉格朗日方程的推導出，并將表1參數代入方程。利用Runge-Kutta四-五階算法，初始狀態為可以求得式(5)的數值解。求解結果用圖像如圖3、圖4所示，其中，圖3所示為轉角、位移隨時間的變化，圖4所示為各角速度隨時間的變化，計

圖3 廣義轉角隨時間的變化

圖4 廣義角速度隨時間的變化

2 軸向集中載荷下絲杠的的響應

設梁的長度為l，材料密度為ρ，截面面積為S，二次矩為I，彈性模量為E，梁的位移為w(x,t)，作用在梁上的載荷為f(x,t)，則可以得到：

應用模態疊加法將彈性體的振動表示為各階模態的線性組合。

其中模態函數均已正則化。將式(8)代入式(7)有：

利用正交條件及部分積分公式導出完全解耦的方程組：

其中ωi表示的是第i階主剛度和第i階主質量低比值的開方，即，Qi(t)表示的是廣義坐標qi(t)對應的廣義力：

對于任意非周期激勵，可利用杜哈梅積分，令初始狀態t=0，并且考慮梁存在阻尼，由文獻[8]寫出方程的解的一般形式。

由于外部激勵對梁的固有頻率沒有影響，求固有頻率可以撤去外部激勵，于是，絲杠可以簡化為一端鉸支，一段簡支的情形，如圖5所示，其兩端還受拉力F作用。

圖5 受軸向力的梁的簡化

此時由文獻[8]可求得頻率：

此時的模態函數正則化后有：

絲杠在工況下，會受到不規則的徑向力的作用。設工作臺受到徑向力作用點距絲杠端部軸承的距離為x，徑向力大小為F，工作臺做勻速運動，移動的速度為v，施加到絲杠徑向的集中載荷可以看作是脈沖函數，集中載荷可以表示為：

將式(9)、式(10)、式(12)、式(13)有：

由杜哈梅積分，令初始條件為0，所以由式(10)、式(14)有：

可得梁在徑向集中載荷作用下的響應[9]：

梁響應函數是關于x和t的二元函數的疊加。應用模態疊加法，取前五階模態，代入各參數數值，作絲杠軸向振動的振幅關于時間t和軸向力作用點位置x的圖像可以得到圖6、圖7所示。

圖6 絲杠振動的幅值圖像

圖7 絲杠振動振幅隨時間變化

3 結果和分析

由圖3、圖4可知，在系統啟動初期，機床傳動系統各個環節都有不同程度的振動，其后趨于平穩。其中電機轉子與聯軸器、聯軸器與絲杠鏈接部位振動頻率較大，由于扭轉振動包含到了絲杠伺服反饋系統中，高頻的振動信號會影響系統的穩定性。由于絲杠的扭轉能反映到工作臺的直線位移，這將影響到機床的加工質量。大的啟動轉矩對系統造成沖擊，必須采取補償措施，減少因啟動、停止和加減速對傳動系統精度影響。電機轉子與聯軸器、聯軸器和絲杠之間連接的扭轉剛度對傳動系統的扭轉振動會產生極大地影響。優化結構設計，采用高剛度材料制作聯軸器，能夠減小傳動系統的扭轉振動。工作臺與螺母之間的連接剛度和阻尼也會極大影響加工精度，采用高剛度、高阻尼材料制作螺母能夠提高系統的響應速度。

有絲杠在徑向集中載荷下的響應，結合圖6和圖7，可以得到雖然有導軌的支呈，絲杠在受到徑向集中載荷時會產生橫向振動，振幅大小隨時間和工作臺移動的位置決定，雖然機床上有導軌支撐，但這種振動會造成工作臺的振動，造成工作臺偏移，影響工件加工精度。增大絲杠軸向拉力可以減小絲杠橫向振幅的大小，因此絲杠安裝時，必須合理增大兩端的預緊力。同時，反饋補償系統在設計時也要考慮將絲杠的橫向振動造成的影響考慮進去。

4 結束語

通過以上分析可以得到的結論有：1）絲杠傳動系統在啟停、加減速時會產生扭轉振動，切振動呈現高頻特性。閉環反饋系統需要考慮這種信號對控制系統穩定性產生的影響。2）絲杠傳動系統各部分的剛度，特別是聯軸器的剛度和絲杠本身的剛度對很大程度上決定絲杠的扭轉振動，影響工作臺定位的具體位置。3）閉環反饋控制系統在設計時，也要考慮橫向振動對傳動系統造成的影響，應采取有效補償措施，降低因橫向振動造成的精度降低。

本文沒有考慮溫升、噪聲等其他因素的影響。若將其他影響機床精度的因素綜合考慮，分析他們之間的耦合關系，會對反饋控制系統設計其更好的參考作用。

[1] Katz R,Lee C W,Ulsoy A G, et al. The dynamic response of a rotating shaft subject to a moving load[J]. Journal of Sound and Vibration,1988,122(1):131-148.

[2] Lee H P.Dynamic response of a Timoshenko beam on a Winkler foundation subjected to a moving mass[J].Applied Acoustics, 1998,55(3):203-215.

[3] Gu U C,Cheng C C.Vibration analysis of a high-speed spindle under the action of a moving mass[J].Journal of sound and vibration, 2004,278(4):1131-1146.

[4] Chin CW, Jen FL.Kinematic analysis of the ball screw mechanism considering variable contact angles and elastic deformations[J]. Journal of Mechanical Design,Transactions of ASME.2003,125: 717-733.

[5] 張會端,譚慶昌,李慶華.機床傳動絲杠的動力分析[J].農業機械學報,2009,40(9).

[6] 張會端,孫俊嶺.彈性支承條件下傳動絲杠的橫向振動分析[J]. 長春大學學報,2011,21(002):16-20.

[7] 吳沁,芮執元,楊建軍,等.滾珠絲杠進給系統剛度建模及仿真[J]. 現代制造工程,2010(11):5-8.

[8] 劉延柱,陳文良,陳立群.振動力學[M].高等教育出版社, 1998:175-195.

[9] 黃露郎,王科社.絲杠傳動系統的動態性能及其精度的可靠性[J].北京信息科技大學學報 (自然科學版),2014,2:015.