斜坡降雨入滲迭代計算模型研究

檀 康，簡文星

(中國地質大學(武漢)工程學院，湖北 武漢 430074)

斜坡降雨入滲迭代計算模型研究

檀 康，簡文星

(中國地質大學(武漢)工程學院，湖北 武漢 430074)

降雨是誘發斜坡失穩的最主要因素之一，研究降雨對斜坡穩定性的影響，其難點是如何計算降雨入滲過程中斜坡土體滲流場的變化規律。但是，從入滲量角度建立的傳統田間入滲模型未考慮坡角的影響，無法滿足斜坡穩定性的分析要求。基于Richard二維滲流控制方程與Parlange解法，從土體基質吸力水頭角度推導出斜坡降雨入滲的迭代計算模型。該模型可以計算出低強度降雨條件下斜坡土體任意時間和空間的基質吸力，而且可以較為簡便地計算出高強度降雨條件下斜坡表面積水時刻。利用有限元數值模擬軟件對迭代計算模型進行驗證，證明了此模型的適用性和準確性。

斜坡;降雨入滲;土體基質吸力;迭代;計算模型

降雨是誘發斜坡失穩的最主要因素之一，研究降雨誘發斜坡失穩機理并建立定量的分析模型對滑坡預測預防工作具有重要的指導意義。理論與實踐表明，降雨誘發土質斜坡失穩的關鍵原因是土體基質吸力降低，進而導致其抗剪強度降低，直至斜坡失穩[1-3]。關于土體基質吸力對其抗剪強度貢獻的研究取得了豐富成果，如Bishop[4]的有效應力原理，Lu等[5]的吸應力原理。只要能準確地刻畫降雨條件下斜坡土體基質吸力的時空分布規律，就能運用較為成熟的強度理論準確地對降雨誘發斜坡失穩進行評價，因此對斜坡降雨入滲模型的研究具有重要的實際意義。

入滲模型一直以來備受土壤學家的關注，傳統入滲模型有Green-Ampt積水入滲模型、Horton經驗入滲模型和Philip入滲公式等[6]。這些模型多被用于農田灌溉研究中，故更注重入滲量、入滲速率和土壤含水量的刻畫，而且模型邊界條件多為地表土體飽和，即積水入滲條件，未考慮降雨入滲這類特殊條件[7]。小強度降雨條件下，入滲邊界條件為地表通量已知，這些傳統入滲模型無法適用。其次，傳統入滲模型也未考慮坡角對入滲過程的影響，無法適用于斜坡場地的入滲過程分析。

針對以上不足，李寧等[8]基于Green-Ampt模型對Mein-Larson降雨入滲模型進行了改進，此模型可以反映坡面傾斜和降雨強度小于土體飽和滲透系數時的入滲過程分析,但此模型假定低強度降雨條件下，傳導區含水量均勻分布，這與實際情況不符；Srivastava等[9]、詹良通等[10]、李寧等[11]采用指數函數描述非飽和土體的土-水特征曲線和滲透系數函數，建立了無限長斜坡降雨入滲的解析解法，但此方法需要求解較為復雜的級數；王建新等[12]基于Richard一維滲流控制方程推導出垂直降雨入滲水勢模型，此模型可以刻畫降雨條件下斜坡土體基質吸力的時空變化過程，但未考慮坡角的影響，無法適用于斜坡條件下的降雨入滲計算。

為能更好地刻畫降雨入滲引起斜坡土體滲流場的變化，本文基于Richard二維滲流控制方程，運用Parlange解法的基本原理，推導出斜坡降雨入滲的迭代計算模型，最后利用有限元數值模擬軟件對該模型的適用性和準確性進行了驗證。

1 降雨入滲條件下斜坡內水分運移模型

1.1 假設條件

(1) 假定斜坡的長度為無限長。由于降雨誘發滑坡多為淺層滑坡，滑動面通常顯著小于斜坡長度,故該假設是適用的。

(2) 假定地下水位較深，土體基質吸力較大，初始基質吸力為定值h0，降雨對地下水位的影響較小。對于干旱地區，如黃土地區，地下水位較深，土體較為干燥，考慮降雨條件下斜坡短期入滲行為，不會引起地下水位的顯著上升,故該假設是適用的。

(3) 假定降雨條件下，土體基質吸力變化等值線平行于坡面。目前大多研究表明，斜坡在吸濕條件下，斜坡滲流路徑為垂直斜坡表面，故該假設是適用的。

(4) 模型考慮的是一場均勻降雨。

1.2 斜坡降雨入滲控制方程

Richard最早根據質量守恒原理和達西定律推導出均質土體二維滲流控制方程。笛卡爾坐標系下，均質土體的二維非飽和滲流控制方程為

(1)

式中:k為坡體水平方向和豎直方向的滲透系數;h為坡體基質吸力水頭;t為時間;C(h)為比水容量。

如圖1所示為二維坐標下的無限長斜坡，其中x和z為標準笛卡爾坐標系，x*和z*為旋轉后的坐標系，兩坐標系之間的關系為

(2)

式中:γ為斜坡坡角(°)。

將式(2)代入式(1)并根據假定條件(2)，坡體基質吸力水頭h只隨t和z*改變，故式(1)可化簡為

(3)

為后面推導方便，用z*為因變量對式(3)進行變換，根據多元函數求導理論，式(3)可變為

(4)

1.3 基于Parlange解法求解斜坡降雨入滲控制方程的迭代公式

根據Parlange解法的基本原理，式(4)可變為

(5)

對式(5)進行積分，積分限由h0至h,根據假設條件(2)，坡體初始基質吸力水頭h0較大，對應的滲透系數k(h0)≈0，故積分整理得到

(6)

(7)

式(7)即為求解斜坡土體非飽和滲流控制方程的迭代公式。

2 斜坡降雨入滲模型

當降雨強度小于斜坡土體飽和滲透系數時，雨水全部入滲到坡體內，坡面不產生徑流；當降雨強度大于斜坡土體飽和滲透系數條件初期，坡面基質吸力、水力梯度較大，土體入滲能力很強，超過降雨強度，此時雨水全部入滲到坡體內，坡面不產生徑流。即在這兩種情況下，斜坡入滲邊界條件為通量控制條件[14]。基于以上分析可將斜坡降雨入滲過程概化為如下數學模型：

(8)

(9)

設h0(t)為隨時間變化的地表基質吸力水頭，對式(9)積分，積分限由h至h0(t)，可得

(10)

對式(10)求t的導數 ，可得

(11)

將式(11)代入式(8)，可得

(12)

對式(12)進行積分，積分限由h0至h，可得

(13)

通常h0較大，k(h0)≈0,所以式(13)可改寫為

(14)

取h=h0(t)代入式(14)，可得

(15)

化簡式(15)，可得

(16)

式(16)是一個關于h0(t)的常微分方程，對其進行求解，可得

(17)

3 迭代計算模型的驗證與分析

為驗證上述迭代計算模型的適用性和準確性，本文通過實例對其進行驗證。

如圖3所示，實例斜坡非飽和土層的垂直厚度為2 m，斜坡水平長度為20 m，斜坡傾角為30°，斜坡垂直厚度遠小于水平長度，斜坡可假定為無限長。斜坡土體的初始基質吸力為200 kPa，土體較為干燥，不考慮地下水位的影響。

土體的土-水特征曲線和滲透系數函數是描述土體非飽和滲流的兩個重要方程，參照文獻[10]，計算中土體的土-水特征曲線和滲透系數函數均采用指數函數形式來描述：

k(h)=kseαh

(18)

θ=θr+(θs-θr)eαh

(19)

斜坡土體相關參數的選取見表1，相應的斜坡土體土-水特征曲線和滲透系數函數曲線見圖4和圖5。

表1 斜坡土體相關參數的選取

有限元數值模型通過Geo-seep軟件實現。有限元模型設定時間步長為60s，空間步長為0.01m，模型共計有8 421個節點、8 000個單元。模型上邊界設定為流量邊界，流量q=Rcosγ=1.15×10-5m/s，模型左右邊界和下邊界設定為自由透水邊界。

圖6給出了不同時刻迭代計算模型和有限元數值模型模擬得到的孔隙水壓力沿垂直坡面的分布情況。由圖6可見：兩種計算模型的結果基本吻合，隨著時間的推移，斜坡土體中的基質吸力不斷減小，降雨對孔隙水壓力的影響深度逐漸增大，當某一深度處的土體的抗剪強度不足以維持坡體穩定性時，可能會在該處發生坡體滑動。

為進一步驗證迭代計算模型的正確性，對降雨強度大于斜坡土體飽和滲透系數情況下，坡面產生積水(或徑流)的時刻兩種模型的計算結果進行了對比分析(見表2)。積水時刻通過文獻[9]中的方法進行確定，即地表基質吸力為0的時刻。有限元數值模型因為要設定一定的時間步長，因此其積水時刻不能精確得出，只能根據斜坡表面基質吸力為0出現在兩個時間節點之間來確定，若要精確地確定積水時刻需要較小的時間步長，進而增加計算時間；而迭代計算模型只需通過式(17)即可計算得出，其計算較為簡便、快捷。

表2 兩種模型積水時刻計算結果對比

綜上所述，迭代計算模型具有較好的準確性，而且可以簡便地計算出高強度降雨情況下坡面積水(或徑流)時刻。這是因為對于裂隙發育的斜坡，坡面產生徑流之前可將斜坡當作均質斜坡處理，而坡面產生徑流之后，裂隙處充水，需在裂隙處設置水頭邊界，而迭代計算模型為此提供了極大方便。但迭代計算模型為無限長斜坡入滲模型，只適用于坡面形態簡單的淺層滑坡，而且沒有考慮長時間高強度降雨工況。

4 結 論

基于Richard二維滲流控制方程與Parlange解法，推導出斜坡降雨入滲的迭代計算模型，該模型可以確定降雨條件下不同時刻不同深度處斜坡土體基質吸力的變化值。通過將其與有限元數值模型的計算結果進行對比，從而驗證了該模型的適用性和準確性。迭代計算模型的計算結果可以用于評價降雨入滲對斜坡土體基質吸力與斜坡穩定性的影響，而且利用此模型還可較為簡便地計算出高強度降雨條件下坡面積水時刻，為分析裂隙發育斜坡的入滲過程提供了便利。

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Research on Iterative Calculation Model of Slope Rainfall Infiltration

TAN Kang,JIAN Wenxing

(FacultyofEngineering,ChinaUniversityofGeosciences,Wuhan430074,China)

Rainfall is one of the most important factors of slope failure.The key difficulty of studying the effect of rainfall on slope stability is how to calculate the process of rainfall infiltration.But the raditional field infiltration model which is established from the perspective of cumulative infiltration fails to consider the effect of slope angle,and can't meet the requirements of slope stability analysis.From the point of matrix suction head and based on the Richard seepage control equation and Parlange solution method,this paper establishes an iterative calculation model of slope rainfall infitration.The model can calculate the matrix suction of slope at any time and any space under the condition of low intensity rainfall,and can calculate slope surface ponding time easily under the condition of high intensity rainfall.Finally,the paper verifies the iterative calculation model with finite element numerical simulation software and proves that the model is feasible.

slope;rainfall infiltration;soil matrix suction;iteration;calculation model

1671-1556(2015)04-0168-05

2015-01-21

2015-03-03

國家自然科學基金項目(41272306)；國土資源部黃土地質災害重點實驗室開放基金項目(GLA2014002)

檀 康(1990—)，男，碩士研究生，主要研究方向為飽和-非飽和滲流方面的研究。E-mail:tankangmove@163.com

X93;P642

A

10.13578/j.cnki.issn.1671-1556.2015.04.030