關于域的擴張研究

郭寶勇(山東科技大學數學與系統科學學院，山東青島266590)

關于域的擴張研究

郭寶勇
(山東科技大學數學與系統科學學院，山東青島266590)

域的擴張是域的一項重要的研究內容，根據已有的域，通過擴張的方法，可以構造新的域;代數擴張能將有理數域擴充為實數域，實數域添上虛數單位i可以擴充為復數域，而有限擴張和代數擴張又有著重要聯系;在有限擴張與代數擴張的基本性質的基礎上，進一步探討了實數域擴充為復數域的過程.

有限擴張;代數擴張;實數域;復數域

1　有限擴張和代數擴張

定義1［1］設域K是域F的擴域，K作為域F上線性空間的維數，稱為K對F的擴張次數，記為［K: F］，若，則稱K是F的有限擴張.

定義2［2］設域K是域F的擴域，若都是F上的代數元，則稱K是域F的代數擴張，否則稱為超越擴張.

設F(α)是域F的單擴張，當α是F上的代數元時，F(α)是F的有限擴張且［F(α):F］為α在F上極小多項式的次數;當α是F上的超越元時，F(α)是F的無限擴張.

例2令F=Q，取u=π，由于π是有理數域Q上的超越元，所以有理系數多項式且

例3實數域R添上代數元i即為復數域，即C=R(i).

定理1設域K是域F的擴域，α∈K，則下列條件等價:

(1)F(α)是域F的代數擴張;

(2)α是F上的代數元;

(3)F(α)是F的有限擴張.

證明(1)?(2):F(α)是F的代數擴張，而α∈F(α)，所以α是F上的代數元;

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(2)?(3):α是F上的代數元，所以［F(α):F］為α在F上極小多項式的次數，為有限數，即［F(α):F］＜+∞，因而F(α)是F的有限擴張;

由此可以得出結論:單有限擴張?單代數擴張.

推論1設域K是域F的有限擴張，則K一定是F的代數擴張.

定理2［3］設E是域F的擴域，K是域E的擴域，即有FEK，則當且僅當［K:F］＜+∞時有［K:E］＜+∞，［E:F］＜+∞，而且此時［K:F］=［K:E］［E:F］.

證明設［K:F］=n＜+∞，E是F上線性空間K的子空間，所以［E:F］＜+∞.設α1，α2，…，αn是K對F的基，即α∈K，?xi∈FE(1≤i≤n)，使也是E上線性空間K的一組生成元，故［K:E］＜+∞.

推論2若［K:F］是素數，則在K與F之間沒有其他子域.

定理3［4］若E是F的代數擴張，K是E的代數擴張，則K是F的代數擴張.

證明只要證明K中每個元素都是F上的代數元即可.設α∈K，則α是E上的代數元，記g(x)=c0+c1x +…+xn是α作為E上的代數元的極小多項式，其中c0，c1，…，cn－1∈E.現作K1=F(c0，c1，…，cn－1)，Fi= F(c0，c1，…，ci)(1≤i≤n－1)，F0=F(c0)，則α是K1上的代數元.但由于c0，c1，…，cn－1都是F上的代數元，故［K－1:F］=［Fn－1:Fn－2］［Fn－2:Fn－3］…［F0:F］＜+∞，于是從F(α)K－1(α)即可推出［F(α):F］≤［K－1(α):F］=［K－1(α):K'］［K1:F］＜+∞.這就說明了α是F上的代數元.

2　數域擴張過程的理解

以實數域R擴充為復數域C的過程為例進行探討.實數域R上的一元二次方程x2+1=0在實數域上無解，這很容易通過根的判別式進行判定(Δ＜0).所以假設這個一元二次方程的根在所要擴張到的域F中，設這個方程的根為α且有α∈F.要使F成為一個域，自然地－α也要在F中，而且實數中的四則運算在F中也要成立，很容易驗證－α滿足x2+1=0.實數域上的不可約多項式只有兩種:一種為一次多項式，另一種為二次不可約多項式.所有的三次及其以上的實系數多項式在實數域R中是可以因式分解的.而一般的一元二次方程ax2+bx+c=0，如果它的判別式Δ＜0，則會在求根公式中出現類似于的部分，而它恰好可以通過一個實數和α表達.這樣通過構造新的集合和新的四則運算可以構造出復數域C.

構造新集合C0={(a，b)|a，b∈R}，在C0中定義加法“+”和乘法“·”運算如下:

對于任意實數對(a，b)，(c，d)∈C0，令

容易證明(C0，+，·)是一個域.

令C0=C1∪C2，其中由C0中其余元素組成.

這就是由實數域R擴張為復數域C的過程.

［1］姚慕生.抽象代數學［M］.上海:復旦大學出版社，2011

［2］MICHAEL ARTIN.代數［M］.北京:機械工業出版社，2009

［3］韓士安，林磊.近世代數［M］.北京:科學出版社，2009

［4］周士藩.有限域上的代數閉域的性質［J］.商丘師專學報:自然科學版，1988(2):9-10

Research on the Extension of Fields

GUO Bao-yong
(College of Mathematics and System Science，Shandong University of Science and Technology，Qingdao 266590，China)

Extension of fields is an important research content.Based on the existing fields，by themethod of extension，new fields can be constructed.The understanding of number for people is the process of the extension of number fields.Algebraic extension can expand rational number field to real number field，real number field with the imaginary unit can be extended to complex field，and finite extension and algebraic extension have important connection.Based on the basic properties of the finite extension and algebraic extension，this paper researches the process of the extension of the real number field to the complex field.

finite extension;algebraic extension;real number field;complex field

O156.2

A

1672－058X(2015)09－0031－02

10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0009.008

2014－12－24;

2015－03－06.

郭寶勇(1989-)，男，山東泰安人，碩士研究生，從事微分方程及其應用研究.