關于調和數的等式*

申玲玲，郜靜霞(重慶師范大學數學學院，重慶401331)

關于調和數的等式*

申玲玲，郜靜霞
(重慶師范大學數學學院，重慶401331)

對Jonathon Peterson的著名的二項式等式進行推廣;用局部分解的方法獲得一個關于調和數的新等式，應用等式可以獲得一些另外的關于調和數的二項式等式.

二項式等式;局部分解;調和數

1　預備知識

關于調和數定義:

引理1若m，n，r∈N，θ∈R，r＞n－m－2，那么

證明由局部分解可以得到

其中系數Ak，Bk和Ck待定.

當0≤k≤m時，有

當m+1≤k≤n時，有

2　推廣的新等式

Jonathon［2］給了一個簡單的有趣的方法來證明二項式等式，即概率的方法，在這里將其推廣并用局部分解及文獻［3］中的方法證明，其中等式右邊可以表示成貝爾多項式［4］的形式.

定理1若m，n，r∈N，θ∈R，r＞n－m－2，θ＞0那么當時，有

當θ∈{1，2，…，n}時，有

證明將引理1中式(2)兩邊乘以z，并使z→∞可以得到

當θ∈{1，2，…，n}時，有

3　應用

推論1設m=0，n，r∈N，θ∈R，θ＞0和r＞n－2，當時，有

當θ∈{1，2，…，n}時，有

當θ∈{1，2，…，n}時，有

［1］CHUW CH.A Binomial Coefficient Identity Associated with Beuker’Conjecture on Apery Numbers［J］.Electron JCombin，2004 (11):44-45

［2］PETERSON J.A Probabilistic Proof of a Binomial Identity［J］.The American Mathematical Monthly，2013(6):558-562

［3］PRODINGER H.Identities Involving Harmonic Numbers that are of Interest for Physicist［J］.Util Math，2010(83):291-299

［4］COMTET L.Advanced Combinatorics［M］.France:Presses Universitaires de France，1970

An Equation Involving Harmonic Numbers

SHEN Ling-ling，GAO Jing-xia
(School ofmathematical Sciences，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China)

This paper mainly focuses on the extension of binomial identity by Jonathon.A new equation involving harmonic numbers is obtained by partial fraction decomposition，by which some other binomial identities involving harmonic numbers identities are obtained aswell.

binomial identities;partial fraction decomposition;harmonic numbers

O156

A

1672－058X(2015)09－0039－04

10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0009.010

2014－12－30;

2015－02－22.

重慶市自然科學基金(CSTC2011JJA00024).

申玲玲(1989-)，女，河南安陽人，碩士研究生，從事特殊函數研究.