不定方程x3－1=PQy2的整數(shù)解

李潤(rùn)琪(德宏師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)系，云南芒市678400)

不定方程x3－1=PQy2的整數(shù)解

李潤(rùn)琪
(德宏師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)系，云南芒市678400)

主要利用同余式、二次剩余等證明了P≡19(mod 24)為奇素?cái)?shù)，Q=97 241 337時(shí)，不定方程x3－1=PQy2僅有整數(shù)解(x，y)=(1，0).

不定方程;整數(shù)解;同余;二次剩余

不定方程

是一類重要的三次方程，其整數(shù)解已有不少人研究過.當(dāng)D＞2，D無(wú)平方因子且不含6k+1形素因子時(shí)，文獻(xiàn)［1，2］已經(jīng)解決;當(dāng)D含6k+1形素因子時(shí)，目前已有許多相關(guān)結(jié)論，但是D含兩個(gè)或兩個(gè)以上6k+1形素因子時(shí)，方程(1)的求解較為困難，目前結(jié)論還比較少.文獻(xiàn)［3］給出D=pq，p≡1(mod 24)為奇素?cái)?shù)，q=12s2+1為奇素?cái)?shù)時(shí)方程(1)的解的情況;文獻(xiàn)［4］給出D=pq，p=73，q≡1，19(mod 24)為奇素?cái)?shù)，時(shí)方程(1)的解的情況;文獻(xiàn)［5］給出D=pq，q=13，p≡1(mod 12)為奇素?cái)?shù)時(shí)方程(1)的解的情況;文獻(xiàn)［6］給出D=pq，p=7，q=13，19，61時(shí)方程(1)的解的情況;文獻(xiàn)［7］給出D=pq，q=7，為素?cái)?shù)時(shí)方程(1)的解的情況;文獻(xiàn)［7］給出D=1267=7×181時(shí)方程(1)的解的情況.此處主要研究P≡19(mod 24)為奇素?cái)?shù)時(shí)方程(1)的解的情況.

引理1［8］設(shè)p≡19(mod 24)，q≡1(mod 24)，p，q為奇素?cái)?shù)，則丟番圖方程組x－1=3pqu2，x2+x+1=3v2，gcd(u，v)=1只有平凡解(x，u，v)=(1，0，±1).

定理1設(shè)P≡19(mod 24)為奇素?cái)?shù)，Q=97 241 337，勒讓德符號(hào)值，則不定方程

僅有平凡解(x，y)=(1，0).

證明因?yàn)閤3－1=(x－1)(x2+x+1)，而gcd(x－1，x2+x+1)=gcd(x－1，(x－1)2+3(x－1)+3)=gcd(x－1，3)=1或3，故方程(2)給出以下8種可能的分解:

以下討論這8種情況所給的方程(2)的整數(shù)解.

情形Ⅰ解x2+x+1=v2，得x=0，－1，均不適合x－1=PQu2，故方程(2)在該情形無(wú)整數(shù)解.

情形Ⅱ?qū)－1=u2代入x2+x+1=PQv2得(2u2+3)2+3=4PQy2，則有

當(dāng)Q=97時(shí)，有(2u2+3)2≡－3≡262(mod 97)，得u2≡34，60(mod 97)，但模97的勒讓德符號(hào)值為故式(3)不成立，因此此時(shí)方程(2)無(wú)解.

當(dāng)Q=241時(shí)，有(2u2+3)2≡－3≡312(mod 241)，得u2≡17，227(mod 241)，但模241的勒讓德符號(hào)值為，故式(3)不成立，因此此時(shí)方程(2)無(wú)解.

當(dāng)Q=337時(shí)，有(2u2+3)2≡－3≡802(mod 337)，得u2≡130，210(mod 337)，但模337的勒讓德符號(hào)值為故式(3)不成立，因此此時(shí)方程(2)無(wú)解.

綜上，有方程(2)在該情形無(wú)整數(shù)解.

情形Ⅲ因?yàn)镻≡19(mod 24)，有x=Pu2+1≡1，4，5(mod 8)，則x2+x+1≡3，5，7(mod 8).又Q=97，241，337，則有Qv2≡1(mod 8)，矛盾.故方程(2)在該情形無(wú)整數(shù)解.

情形Ⅳ將x－1=Qu2代入x2+x+1=Pv2，得(2Qu2+3)2+3=4Pv2，則有3≡Pv2(mod Q).又Q=97，241， 337，則勒讓德符號(hào)值而勒讓德符號(hào)值，矛盾.故方程(2)在該情形無(wú)整數(shù)解.

情形Ⅴ因?yàn)镻≡19(mod 24)，Q=97，241，337≡1(mod 24)，故由引理1知方程(2)在該情形僅有平凡解(x，y)=(1，0).

情形Ⅵ因?yàn)閤=3u2+1≡1，4，5(mod 8)，則x2+x+1≡3，5，7(mod 8).又P≡19(mod 24)，Q=97，241，337，則PQ≡3(mod 8)，3PQv2≡1(mod 8)，矛盾.故方程(2)在該情形無(wú)整數(shù)解.

情形Ⅶ將x－1=3Pu2代入x2+x+1=3Qv2，得(6Pu2+3)2+3=12Qv2，則有1≡Qv2(mod P).又勒讓德符號(hào)值，矛盾.故方程(2)在該情形無(wú)整數(shù)解.

情形Ⅷ將x－1=3Qu2代入x2+x+1=3Pv2，得(6Qu2+3)2+3=12Pv2，則有1≡Pv2(mod Q).又勒讓德符號(hào)值，矛盾，故方程(2)在該情形無(wú)整數(shù)解.

綜上，有不定方程(2)在題設(shè)條件下僅有平凡解(x，y)=(1，0).

［1］柯召，孫琦.關(guān)于丟番圖方程x3±1=3Dy2［J］.四川大學(xué)學(xué)報(bào)，1981，18(2):1-5

［2］柯召，孫琦.關(guān)于丟番圖方程x3±1=Dy2［J］.中國(guó)科學(xué)，1981，24(12):1453-1457

［3］管訓(xùn)貴，杜先存.關(guān)于Diophantine方程x3±1=pqy2［J］.安徽大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014，38(1):13-19

［4］杜先存，管訓(xùn)貴，楊慧章.關(guān)于不定方程x3－1=73qy2的整數(shù)解［J］.西南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014，39(6):18-20

［5］管訓(xùn)貴，杜先存.關(guān)于丟番圖方程x3－1=13py2的整數(shù)解［J］.沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014，25(6):511-513

［6］管訓(xùn)貴.關(guān)于丟番圖方程x3±1=7qy2的整數(shù)解［J］.蘭州文理學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014，28(2):20-24

［7］杜先存，萬(wàn)飛，楊慧章.關(guān)于丟番圖方程x3±1=1 267y2的整數(shù)解［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2013，43(15):288-292

［8］杜先存，管訓(xùn)貴，萬(wàn)飛.關(guān)于Diophantine方程組x－1=3pqu2，x2+x+1=3v2的整數(shù)解［J］.重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2015，32(1):102-105

On Integer Solution to the Indefinite Equation x3－1=PQy2

LIRun-qi
(Department of Mathematics，Dehong Teachers College，Mangshi 678400，China)

Using congruence and quadratic residue，this paper proves that P≡19(mod 24)is odd.When Q=97 241 337 and，the indefinite equation x3－1=PQy2only has integer solution.

indefinite equation;integer solution;congruence;quadratic remainder

O156.2

A

1672－058X(2015)09－0045－03

10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0009.012

2015－01－15;

2015－02－20.

云南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目(2014Y462).

李潤(rùn)琪(1965-)，男，云南騰沖人，講師，從事初等數(shù)論及數(shù)學(xué)教育研究.