關于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=26y(y+1)(y+2)(y+3)

帥亞軍，羅明(西南大學數學與統計學院，重慶400715)

關于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=26y(y+1)(y+2)(y+3)

帥亞軍，羅明
(西南大學數學與統計學院，重慶400715)

運用遞推數列的方法，證明了不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=26y(y+1)(y+2)(y+3)無正整數解.

不定方程;整數解;遞歸數列

當(m，n)=1，m，n∈N*時，對形如mx(x+1)(x+2)(x+3)=ny(y+1)(y+2)(y+3)的不定方程已有不少研究工作［1-8］.1971年，Cohn［1］證明了當(m，n)=(1，2)時，不定方程僅有正整數解(x，y)=(5，4);1975年，Ponnudurait［2］證明了當(m，n)=(1，3)時，不定方程僅有正整數解(x，y)=(3，2)，(7，5);1982年，宣體佐［3］證明了當(m，n)=(1，5)時，不定方程僅有正整數解(x，y)=(2，1);1991年，羅明［4］證明了當(m，n)=(1，7)時，不定方程僅有正整數解(x，y)=(4，2);2001年，羅明［5］證明了當(m，n)=(1，6)時，不定方程僅有正整數解(x，y)=(7，4);2007年，程瑤、馬玉林［6］證明了(m，n)=(1，11)時，不定方程無正整數解;2013年，郭鳳明、羅明［7］證明了當n=10時，不定方程無正整數解.為此，在上述基礎上利用同余式和遞歸數列方法證明，當m=1，n=26時，不定方程

無正整數解.

先將方程(1)化為

易知方程X2－26Y2=－25的全部整數解［9］，由以下4個類給出:

或者

由式(3)(4)不難推出下列關系式:

下面將證明式(3)僅當n=－1，0時成立，式(4)僅當n=0時成立.由此求得方程x2－26(y2+3y+1)2=－25的全部整數解，進一步求得式(1)的全部正整數解.

引理2若式(3)式成立，則n≡－1，0(mod 840).

證明用對序列{4yn+5}取模的方法證明.

mod 11，排除n≡1，2(mod 5)，此時4yn+5=7，7(mod 11)，剩n≡0，3，4(mod 5).

mod 191，排除n≡3(mod 5)，此時4yn+5≡112(mod 191)，剩n≡－1，0(mod 5).

mod 337，排除n≡1，3，4，5，6，7，8，9，10，13，14，，15，16，18，19，20，21，22(mod 24)，此時4yn+5≡249，288，319，72，122，77，155，68，215，131，178，98，59，28，275，270，192，279，132，216(mod 337)，剩余n≡0，－1，12，17(mod 24).

mod 3 467，排除n≡5(mod 12)，此時4yn+5≡3 308(mod 3 467)，剩n≡－1，0，12(mod 24).

下面用計算排除n≡12(mod 24).令n=24t+12，若2|t，則n≡12(mod 48)，mod 47，排除n≡12(mod 48)，此時4yn+5≡17(mod 47);若2 t，則n≡36(mod 48)，mod 47，排除n≡36(mod 48)，此時4yn+5≡40(mod 47)，故式(3)不成立.從而排除n≡12(mod 24)，剩余n≡－1，0(mod 24).因為n≡－1，0(mod 5)，n≡－1，0(mod 24)，故n≡－1，0(mod 120).

下證n≡－1，0(mod 28)，mod 197，排除n≡1，2，3，5，6，8，9，10，11，12(mod 14)，此時4yn+5≡52，67，175，26，38，155，140，32，63，181(mod 197)，剩余n≡－1，0，4，7(mod 14).

mod 6 691，排除n≡4，7，13，18，21(mod 28)，此時4yn+5≡2 034，1 618，6 532，4 667，5 083(mod 6 691).剩余n≡－1，0，14(mod 28).

下面用計算排除n≡14(mod 28)，令n=28t+14.若2|t，則n≡6(mod 8)，mod 743，排除n≡6(mod 8)，此時4yn+5≡383(mod 743);若2 t，則n≡2(mod 8)，mod 743，排除n≡2(mod 8)，此時4yn+5≡370(mod 743)，從而得證n≡－1，0(mod 28).因為n≡－1，0(mod 120)，所以n≡－1，0(mod 840).

引理3設n≡0(mod 840)且n＞0，則式(3)不成立.

1)k≡1(mod 4)時，令

于是，由式(8)(10)及引理1，有4yn+5≡4y2m+5=4v2m+5(mod u2m)，得.從而4yn+5非平方數，故式(3)不成立.

2)k≡－1(mod 4)時，令

表1　k≡1(mod 4)數據情況

表2　k≡－1(mod 4)數據情況

于是，由式(8)(10)及引理1，有4yn+5≡－4y2m+5≡－4v2m+5(mod u2m)，得.從而4yn+5非平方數，故式(3)不成立.

證畢.

引理4設n≡－1(mod 840)且n≠－1，式(3)不成立.

當t≡0，2(mod 4)時，令m=5·2t;當t≡1，3(mod 4)時，令m=2t.則當t≡0，1，2，3(mod 4)時，m≡90， 32，80，128(mod 240)，有um≡70，159，119，192(mod 239).此時對所有的m均有

又由式(10)可得4yn+5≡－4y1+5≡－239(mod um).因2|m，則，有.從而故式(3)不成立.

證畢.

引理5若式(4)成立，則必有n=0.

證明由式(4)知(2y+3)2=－4yn+5＞0，由式(5)知，當n≠0時，yn＞1，從而，負數不可能是完全平方數.當，結論成立.

證畢.

定理1不定方程

的全部整數解是(±x，y)=(1，－1)，(1，－2)，(209，－8)，(209，5)，(1，0)，(1，－3).

證明由引理2及引理5知，要式(4)成立，則必須n=0，此時y=－1，－2.這就給出了式(11)的前兩組解.

由引理3及引理5知，要式(3)成立，則必須n=－1，0，此時y=－8，5，0，－3.這就給出了式(11)的后4組解.

證畢.

推論1不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=26y(y+1)(y+2)(y+3)無正整數解.

證明要讓式(1)有正整數解，則由式(2)及定理1知，應有x2+3x+1=±209，但這兩個方程都無正整數解.

從而方程x(x+1)(x+2)(x+3)=26y(y+1)(y+2)(y+3)無正整數解.

證畢.

［1］COHN JE.The Diophantine Equation x(x+1)(x+2)(x+3)=2y(y+1)(y+2)(y+3)［J］.Pacific JMath，1971(37):240-331

［2］PONNUDURAIT.The Diophantine Equation x(x+1)(x+2)(x+3)=3y(y+1)(y+2)(y+3)［J］.JLondon Math Soc，1975(10): 232-240

［3］宣體佐.關于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=5y(y+1)(y+2)(y+3)［J］.北京師范大學學報:自然科學版，1982(2):27-34

［4］羅明.關于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=7y(y+1)(y+2)(y+3)［J］.重慶師范學苑學報:自然科學版，1991，8(1):1-8

［5］LUOM.On The Diophantine Equation x(x+1)(x+2)(x+3)=6y(y+1)(y+2)(y+3)［J］.Indian Jpure applMath，2001(1):3-7

［6］程遙，馬玉林.關于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=11y(y+1)(y+2)(y+3)［J］.重慶師范大學學報:自然科學版，2007，24 (3):27-30

［7］郭鳳明，羅明.關于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=10y(y+1)(y+2)(y+3)［J］.西南師范大學學報:自然科學版，2013，38 (10):13-16

［8］段輝明，楊春德.關于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=19y(y+1)(y+2)(y+3)［J］.四川師范大學學報:自然科學版，2009，32(1):60-63

［9］柯召，孫琦.談談不定方程［M］.上海:哈爾濱工業大學出版社，1980

On the Diophantine Equation x(x+1)(x+2)(x+3)=26y(y+1)(y+2)(y+3)

SHUAIYa-jun，LUO M ing
(School of Mathematics and Statistics，Southwest University，Chongqing 400715，China)

In this paper，with themethod of recurrence sequences the author has shown that the Diophantine equation x(x+1)(x+2)(x+3)=26y(y+1)(y+2)(y+3)has no positive interger solution.

diophantine equation，interger solution，recurrence sequence

O156.2

A

1672－058X(2015)09－0053－04

10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0009.014

2014－10－24;

2015－01－15.

帥亞軍(1989-)，男，重慶巫溪人，碩士研究生，從事代數數論研究.