一類具偏差變元二階微分方程周期解的存在性*

鄧瑞娟(蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽蕪湖241000)

一類具偏差變元二階微分方程周期解的存在性*

鄧瑞娟
(蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽蕪湖241000)

主要利用Mawhin延拓定理研究一類二階具偏差變元微分方程x″(t)+f(t，x(t)，x(t－τ0(t))，x'(t))+β(t)g(x(t－τ1(t)))=p(t)的周期解問題，得到了存在周期解的兩個充分條件.

Mawhin延拓定理;偏差變元;周期解

1　基礎(chǔ)知識

近年來，具偏差變元的微分方程由于其在控制論、生物學(xué)等很多領(lǐng)域有重要應(yīng)用，一直受到人們的廣泛關(guān)注，也已經(jīng)有了一定的成果［1-9］.此處主要是運用重合度理論的Mawhin延拓定理研究如下具偏差變元二階微分方程的周期解:

其中，f(t，x，y，v)是R4上的連續(xù)函數(shù)，同時還是以T為周期的函數(shù).而g(x)，β(t)，p(t)，τ0(t)和τ1(t)均為R上的連續(xù)函數(shù)，其中β(t)，p(t)，τ0(t)和τ1(t)都是以T為周期的函數(shù).

于是

顯然，L是指標為零的Fredholm算子.假定P，Q為投影算子

下面給出將會使用到的引理.

引理1［4］(Mawhin延拓定理)設(shè)X，Y為Banach空間，L:D(L)?X→Y是指標為零的Fredholm算子，Ω?X為有界開集上是L－緊的，如果下列條件滿足:

則方程Lx=Nx在Ω∩D(L)上至少存在一個解.

2　主要結(jié)果

定理1設(shè)方程(1)滿足條件:

下面證明存在ξ∈R，使得

于是有

令t2為x(t)在R上取得最小值的點，則x'(t2)=0，x″(t2)≥0，由式(2)得

下面討論:

(Ⅰ)若t2=t1，則x(t)≡C，且，則存在ξ∈R，使得

(Ⅱ)若t2≠t1，由式(6)知存在常數(shù)K2＞0，有x(t2－τ1(t2))＜K2．

(A)若x(t2－τ1(t2))∈(－K1，K2)，則取ξ=t2－τ1(t2)，此時有

(B)若x(t2－τ1(t2))＜－K1，由式(5)及x(t)的連續(xù)性及介值定理知一定存在t1－τ1(t1)，t2－τ1(t2)之間的某個ξ，使得

因此

由于x(0)=x(T)，故必有t*0∈［0，T］，使得，同上可得

于是

將式(2)兩端同乘以x'(t)，并在［0，T］上積分，得

由定理1的條件①可得

則由式(9)-(11)和柯西不等式可得

由此可得

作變換

故H(x，α)為同倫映射，取J為恒同映射，有

由引理1知，方程(1)至少存在一個T－周期解.

為了下面的證明，假設(shè)f(t，x，y，v)=f1(t，x，y，v)+f2(t，x，y，v)，其中f1(t，x，y，v)和f2(t，x，y，v)均在R4上連續(xù)，且(t，x，y，v)∈R4，f1(t，x，y，v)和f2(t，x，y，v)都是關(guān)于t的T－周期函數(shù).

類似于定理1中的證明，可知存在t'0∈［0，T］和，使得，其中是與λ無關(guān)的常數(shù).

另有

因為x(0)=x(T)，由羅爾定理可知存在t3∈［0，T］，使得x'(t3)=0.在式(11)兩邊同乘以x'(t)，并從t3到t積分，于是有

其中C0定義同前，則

因此

其余證明同定理1，此略.證畢.

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Periodic Solutions of the Second Order Differential Equation with Deviating Arguments

DENG Rui-juan
(Wuhu Institute of Technology，Wuhu 241000，China)

Using the Mawhin continuation theorem，this paper studies a class of periodic solutions of the second order differential equation with deviating arguments x″(t)+f(t，x(t)，x(t－τ0(t))，x'(t))+ β(t)g(x(t－τ1(t)))=p(t)，and two sufficient conditions of the periodic solutions are obtained.

the Mawhin continuation theorem;deviating arguments;periodic solutions

O175.1

A

1672－058X(2015)09－0061－05

10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0009.016

2015－01－15;

2015－02－20.

安徽省2013年度省級自然科學(xué)研究項目(KJ2013B347);安徽省2013年度省級自然科學(xué)研究項目(KJ2013B348).

鄧瑞娟(1984-)，女，安徽蕪湖人，講師，碩士，從事微分方程研究.