運算律應該怎么教學

俞正強

不管是學生還是教師，都覺得運用乘法分配律很難，差錯很多，因此，有許多學生很怕簡便運算。這很令教師困惑：原本可以減輕計算負擔的運算定律為何卻成為學生的負擔？下面我們以“乘法分配律”為例，討論運算律應該怎么教學。

一、理解：算律是算法的“竅門”

計算教學的目標可以概括為四個字：又對又快。當將算律與算法放在一起時，相對而言，算法解決的是“對”的問題，而算律解決的是“快”的問題。算律是對算法的熟能生“竅”。因此，算律源于算法的運用。所以，算律的教學應該從算法的運用開始。為此，“乘法分配律”的教學應該有這樣的流程。

流程一：練習，看誰算得又快又對。（獨立完成）

14×6+6×6

78×14+22×14

146×12– 46×12

……

設計意圖：這些題目，學生在計算時會有以下兩種方法。

方法1：按照“先乘除后加減”的算法進行計算

14×6+6×6

=84+36

=120

方法2：按照“幾個幾加幾個幾一共幾個幾”的意義理解進行計算

14×6+6×6

=20×6

=120

就當下的學生而言，對混合運算的算法，教師是教過的。但運用乘法意義來做這題目，則是學生自己的“調皮”，或者說是“竅門”。

流程二：討論，怎樣算得又對又快？

問題：我們能改變運算順序嗎？

結論：14個6加6個6一共是20個6。

設計意圖：學生對乘法分配律的理解，在小學二年級算兩位數乘一位數的時候，就已經蘊含其中了。

12×3→10×3+2×3=36

當時的理解是10個3加2個3一共是12個3。因此，學生理解14個6加6個6是20個6是很自然的事。也就是說，學生將這一類題目的運算順序加以改變，十分自然。

流程三：討論，我們改變運算順序跟這些題目有關嗎？是不是所有題目都可以改變運算順序呢？

材料： 14×6+6×6

78×14+22×14

146×12-46×12

結論：運算特征： 乘 加（減） 乘 a×b±c×b

數字特征：有一個相同數 b

兩個湊整數 a±c為一整數

設計意圖：教師提供的這組練習題有兩個特征：運算特征與數字特征。當滿足這兩個特征時，可以先加減后乘，這樣就把運算律的前提條件給明確了。

流程四：判斷這樣算法，是又對又快嗎？

① （25+14）×4 ② （15+45）×3

=25×4+14×4 =15×3+45×3

=100+56 =45+135

=156 =180

問題1：先算括號里面再算括號外面，這兩道題目都沒有先算括號里面，可以嗎？

問題2：改變運算順序的目的是什么？哪道題目的算法滿足這個目的？

設計意圖：幾個幾加幾個幾等于共有幾個幾，反之，共有幾個幾可以分為幾個幾加幾個幾。改變運算順序的目的是為了又對又快，于是得出我們認可并推薦的“竅門”，將其命名為乘法分配律。

（a±b）c=ac±bc

流程五：練習（略）

二、討論：算律是“規律”的運用

目前，教材基本上把算律歸為“規律”，其基本流程如下。

與該流程相類似的在小學數學教學中通常限于“數學好玩”或“數學廣角”等材料中，比如“打電話”。

我們可以比較打電話與乘法分配律兩個教學內容，打電話需要分析個例發現規律，以解決比較繁雜的問題，這是正確的。但乘法分配律這個算律如果稱之為規律，可以用意義來理解，不需要發現。把乘法分配律作為問題解決來教學，是在把簡單問題復雜化。

三、推而廣之：加法交換律應該怎么教學

一次，有位同事問：加法交換律的生活原型是什么？想了許久，也想不出加法交換律的原型。在去聽課的過程中，發現有的教師會請兩位學生到講臺上來，問其他學生：這是誰和誰？

然后將兩位學生交換位置，問：這又是誰和誰？

學生回答：是誰和誰。

教師問：有沒有變化？

學生回答：沒有變。

教師又說：這是不是說明位置變了，大小沒變啊？

學生回答：是的。

聽了這個原型，心里有一種說不出的味道，書上是這樣設計的：

一問：2+8=10

二問：8+2=10

三問：同學們，有什么發現嗎？

問題是，2+8=8+2，這需要發現嗎？難道不發現就不能知道2+8=8+2了嗎？

那么，正確的呢？自然應從算法入手。

流程一：練習，看誰算得又對又快？

8+6+2

7+9+3

11+5+9

流程二：交流，誰算得又對又快？

從左到右依次計算→先湊整再相加。

流程三：討論，這樣改變運算順序的理由是什么？

都是合并（加法意義）。

流程四：結論，連加算式中，如果能湊整，可以改變順序，交換位置，即兩個加數交換位置，和不變。

四、比較：差別在哪里

我們來比較兩種教學流程所呈現的教學意義上的差別，如表1所示。

表1 兩種教學流程呈現的教學意義上的差別

兩種主張：對于知識而言，學生最終要記住ab±ac=a（b±c），并運用它以達到簡便運算的目的，差別不大。但對知識的獲得過程，兩種主張的差別是巨大的。

本文主張要使學生深刻地認識到，算律脫胎于對算法的靈活運用，而靈活運用的依據是對運算意義的理解。教材主張的特征是割裂了算律與算法之間的密切聯系，使之成為一個獨立于算法的規律，把一個自然而然的“竅門”變成隆重的問題解決。

以上思考，僅供大家參考。

（責任編輯：孫建輝）