應力敏感油藏多角度裂縫壓裂水平井產量模型

方思冬，程林松，李彩云，曹仁義，楊 戩，何聰鴿

（1.中國石油大學（北京）石油工程學院，北京 102249； 2.中國石油長慶油田公司 勘探開發研究院，陜西 西安710000； 3.中國石油勘探開發研究院，北京 100083）

0 引言

低滲透致密儲層油氣資源量巨大，但普遍具有低孔隙度低滲透率和較強應力敏感等特點，開發難度大［1］.對此，壓裂水平井是關鍵的開采技術.多年來，已有眾多學者對低滲透和致密油氣藏應力敏感進行實驗和理論研究，得到描述儲層應力敏感方法和回歸重要參數，對高效合理開發低滲透油藏提供了基礎［2-6］.薛永超等［5］通過大量低滲透實際巖心實驗得到不同滲透率級別下應力敏感因數，而文獻［7］的因數回歸方法被普遍采用.同時，人們基于勢理論對壓裂水平井穩定產量［8-11］及基于格林函數和拉斯變換對不穩定滲流［12-19］進行大量研究，并形成系統的理論和方法，但以上穩定和不穩定方法都是以線性滲流為前提.然而，實際地層由于復雜的地應力變化，人工裂縫通常與井筒呈一定角度，目前將應力敏感表征和多角度縫壓裂水平井結合起來研究的很少.因此，筆者基于攝動理論［20-21］，考慮應力敏感表征，結合拉普拉斯變換，建立并求解考慮儲層應力敏感的多段多角度裂縫壓裂水平井不穩定滲流數學模型，分析流動形態，明確儲層應力敏感性對產量的影響，得到不同裂縫參數下的產量特征，其結果對于低滲透致密儲層壓裂水平井產量評價和參數優化具有指導意義.

1 水平井數學模型

1.1 物理模型

水平井穿過多條與水平井筒存在一定夾角α的裂縫見圖1.整個油藏為水平等厚、均質油藏；油藏頂底封閉，只考慮無限大外邊界；水平井僅在裂縫處射孔生產；水平井定產生產，不考慮井筒摩阻引起的附加壓力降，各條裂縫在井筒處壓力相等；水平井井筒和人工裂縫均為無限導流；地層和流體均微可壓縮，流體為單相，且地層中流動符合達西定理.

1.2 裂縫流動模型

1.2.1 地層滲流

地層滲透率應力敏感數學模型［21］為

式中：K為地層瞬時滲透率；Ki為地層原始滲透率；γ為應力敏感因數；pi為原始地層壓力；p為地層壓力.

引入量綱為一的數將單相不穩定滲流方程化為

1.2.2 攝動線性化

式（2）非線性較強，不能直接求出解析解，因此引入攝動變換，即

將式（2）轉化為

由于γD在實際油藏中通常為一小量，可以將η按照γD展開為級數形式，即

對于低滲透儲層，γD很少超過0.2，二階項的數量級遠遠小于1階解［22］，因此，將式（4）的零階解與一階解同時進行拉普拉斯變換作為下一步求解裂縫流動的基函數，即

式（7-8）中：K0為零階貝塞爾函數；E1為冥積分函數；s為拉氏空間變量.

式（8）中積分項用四節點高斯—拉蓋爾數值積分［23］表示為

1.2.3 人工裂縫

將每條裂縫離散成一維單元見圖1.整個滲流方程是非線性的，無法直接利用疊加原理，但疊加原理可以用于攝動解，零階和一階攝動解均是線性解.基于此，分別在零階和一階攝動空間下線積分得到裂縫單元線源函數表達式為

1.3 模型求解

假設壓裂的裂縫條數為n，每條裂縫離散單元個數為m（i），i＝1～n，每一條壓裂裂縫都可以在井筒的任意位置.認為壓裂裂縫都在相同的井筒壓力下生產，即為水平井無限導流能力模型.裂縫為無限導流能力，即同一條裂縫不同單元壓力相同水平井總的流量是每條壓裂裂縫中流出流量的總和.

零階攝動空間下流量ql0i和壓力ηD0ij滿足表達式為

式（12-13）中：nt為裂縫分段數；j＝1／nt.

將每個單元對應式（12）、（13）相應的公式形式寫成矩陣方程組為

在Laplace空間下分別計算得到井底壓力零階和一階攝動解，再利用Stehfest數值反演方法［24］求得實空間下井底壓力零階和一階攝動解，并變換得到井底壓力pD為

利用拉普拉斯空間下無因次壓力和無因次產量的關系［25］，由定產生產井底壓力解求出定壓生產的產量qD，即

式中：qD為無因次產量

2 模型驗證

以無因次應力敏感因數γD為0.1，3條無限導流裂縫壓裂水平井為例，定產油量分析井底壓力，將模型計算結果與數值模擬軟件Eclipse考慮應力敏感的裂縫LGR加密計算結果進行對比.該壓裂水平井模型數值模擬壓力分布見圖2（a），對比圖2（b）中模型無因次井底壓降和數值模擬無因次井底壓降，2條無因次曲線基本重合.

3 流動形態

壓裂水平井流動形態與流動階段受水平井長度（水平井只在裂縫處射孔）和裂縫條數影響很小，見圖3（a）.因此，假設油藏為各向同性，選取存在3條與井筒呈不同角度的壓裂裂縫，裂縫兩翼不等長.無因次參考長度選取最長裂縫半長.各參數取值：裂縫1半長依次為100m；夾角依次為0.33π（60°）；裂縫2半長依次為120m；夾角為0.5π（90°）；裂縫3半長依次為80m，夾角依次為0.38π（70°）；裂縫間距為80m.裂縫為無限導流.無因次化后計算考慮應力敏感和不考慮應力敏感無因次井底壓降見圖3（b）.根據壓力和壓力導數曲線分析，流動形態分3種：（1）地層線性流動階段，指在流動初期地層中流體線性的流向各條壓裂裂縫，無因次壓降分布見圖4（a）.在雙對數圖上表現為無因次壓力導數曲線為1／2斜率的直線段.（2）過渡流階段，該階段沒有明顯特征.（3）擬徑向流動階段，是指對于整個油藏，如果生產時間很長，且壓力波未傳播到邊界，則流體以擬徑向流的形式向水平井及壓裂裂縫區域流動，無因次壓降分布見圖4（b）.對于無應力敏感油藏，該流動段在雙對數診斷圖上表現為無因次壓力導數曲線為0.5水平直線段；而存在應力敏感油藏，其徑向流階段，壓力導數曲線上翹，主要因為地層壓力下降，近井裂縫區滲透率下降很大，造成流動阻力增大.

4 產量分析

4.1 應力敏感

與前面假設相似，以3條無限導流裂縫壓裂水平井為例，計算不同無因次應力敏感因數下產量qD變化見圖5.由圖5可知，壓裂水平井流動初期為地層向裂縫的線性流動，壓降幅度小，應力敏感對產量影響較小，圖中初期5條曲線幾乎重合.但當擬徑向流動階段，隨著壓降范圍和幅度的增大，應力敏感因數對產量影響變大，并且產量變化幅度隨著應力敏感因數增大而增大.

4.2 裂縫條數

根據以往文獻資料［9，10，15］和本文模型特點分析在應力敏感條件下裂縫條數和裂縫角度對產量的影響.而針對常規裂縫參數對壓力動態和產量的影響在以往的文獻中有詳細的分析［24，26］.

隨著壓裂工藝技術的不斷完善和提高，多裂縫壓裂得到廣泛應用.提高裂縫條數是增加產量的重要手段，然而裂縫條數越多，產量增加幅度越小，在一定經濟條件下過多的壓裂是不合理的.應力敏感油藏裂縫條數對產量的影響見圖6，圖6（a）沒有考慮應力敏感，圖6（b）考慮應力敏感（無因次應力敏感因數為0.15），裂縫條數對初期產量影響較大，后期影響程度減小，然而考慮應力敏感的曲線后期產量差距明顯，應力敏感減弱了裂縫間干擾作用.因此，實際油藏存在應力敏感的情況下，壓裂裂縫數目應比不考慮應力敏感優化的裂縫條數多才能達到同樣的增產效果.

4.3 裂縫與井筒角度

目前對裂縫與井筒角度對壓力和產量的影響研究較少.假設水平井壓裂3條裂縫，裂縫半長為100 m，裂縫間距為50m，裂縫為無限導流能力，通過分析不同裂縫與井筒角度井底壓力（見圖7），裂縫與井筒角度越大，無因次產量越大，當裂縫與井筒垂直時，產量達到最大值.對比圖7（a）不考慮應力敏感和圖7（b）考慮應力敏感（無因次應力敏感因數為0.1）曲線特征知，兩者曲線形態幾乎相同，都是角度對初期產量影響大，后期影響弱，因為應力敏感對產量后期影響大，而線性流動階段影響較小；當裂縫與井筒角度小于0.33π，角度越小，產量減少越多.

5 結論

（1）基于攝動方法，推導拉普拉斯空間下零階和一階裂縫線源解，分別利用疊加原理，求解多角度多裂縫在零階和一階攝動空間的井底壓力，并利用變換式得到實空間下考慮應力敏感非線性滲流壓裂水平井產量.

（2）應力敏感油藏壓裂水平井流動形態在壓力導數的雙對數曲線也呈現較明顯的裂縫線性流與系統徑向流動形態，然而應力敏感模型所得的雙對數壓力及其導數曲線在系統徑向流階段出現上翹，且無量綱滲透率模量數值越大，曲線上翹越明顯，說明壓差增加，應力敏感對產量影響越大.

（3）應力敏感因數越大，流動后期產量越小；而應力敏感效應減弱了縫間干擾作用，不同裂縫條數考慮應力敏感的曲線后期產量差距比不考慮應力敏感明顯，因此，實際油藏存在應力敏感的情況下，壓裂裂縫數目應比不考慮應力敏感優化的裂縫條數多才能達到同樣的增產效果；裂縫與井筒夾角越大，無因次產量越大，當裂縫與井筒垂直時，產量達到最大值.

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