對尺規作圖的再理解
——以2021年福建省一道中考試題為例

林龍海

(福建省福州市長樂區教師進修學校 350200)

尺規作圖是初中數學幾何教學中的一塊重要內容,隸屬于幾何與圖形板塊,中考對尺規作圖的考查常常涉及多種方式,試題往往以不同的形式呈現,但無論何種形式,了解作圖的基本過程、理解作圖的基本原理、掌握作圖的基本技能與方法是解決問題的關鍵所在.

1 對尺規作圖的知識應用再理解

(2021·福建)如圖1,已知線段MN=a,AR⊥AK,垂足為A.

(1)求作四邊形ABCD,使得點B,D分別在射線AK,AR上,且AB=BC=a,∠ABC=60°,CD∥AB；(要求：尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)

(2)略.

圖1

1.1 試題分析

本題的作圖并沒有明確指明使用哪一種基本作圖方式,屬于基本作圖的應用,需要學生根據題意來選擇怎樣的基本作圖操作來實現求解.此類試題的解決在于首先要明確幾何圖形的基本性質,然后根據其基本性質,使用幾個基本的尺規作圖進行疊加或組合完成.

1.2 解法分析

下面給出10種不同的解法,從不同角度、不同方式來重新認識一下尺規作圖.

解法1作垂線得到點D

如圖2,使用“作一條線段等于已知線段”,以點A為圓心,a為半徑畫弧,在射線AK上作AB=a,作出點B,再次使用這個基本作圖,作出等邊三角形ABC,再過點C作CD⊥AR，垂足為點D,得到點D.

圖2

分析看到60°想到等邊三角形,看到AR⊥AK想到作垂線得出CD∥AB.解法1使用2種基本作圖得到答案.

解法2作菱形得到點D

如圖3,同解法1得到點B和點C,再分別以點A,C為圓心,a為半徑畫弧,兩弧交于點E,得到菱形ABCE或菱形ABEC,直線CE與AR交點即為點D.

圖3

分析看到60°想到等邊三角形,為了得到CD∥AB,想到菱形的性質：對邊平行，作菱形出平行.解法2使用5次同一種基本作圖得到答案.

解法3作菱形得到點D

如圖4,同解法2得到點E,再以點C為圓心,a為半徑畫弧,交AR于點F,得到菱形ACFE,菱形ACFE的對角線CE與AF的交點即為點D.

圖4 圖5

分析看到60°想到等邊三角形,看到AR⊥AK為了得出CD∥AB,故利用菱形的性質:對角線互相垂直,作點D.

解法4作一個角等于已知角得到點D

如圖5,同解法1得到點B和點C,在點C處利用“作一個角等于已知角”得到∠DCE=∠ABC,直線CD與AR的交點即為點D.

分析看到60°想到等邊三角形,為了得到CD//AB想到了平行線的性質:同位角相等,兩直線平行,作同位角相等得到答案.

解法5作一個角等于已知角得到點D

如圖6,同解法1得到點B和點C,在點C處再用“作一個角等于已知角”,作出∠BCE=∠ABC或∠DCB=∠CBK,直線CD與AR的交點即為點D.

圖6

分析看到60°想到等邊三角形,為了得到CD∥AB想到了平行線的性質:內錯角相等,兩直線平行,作內錯角相等得到答案.

解法6作線段垂直平分線，作一個角等于已知角得到點D

如圖7,同解法1得到點B和點C,“作線段AB的垂直平分線”,過點C作CE⊥AB于點E,得到AE=BE,用“作一個角等于已知角”,過點E作∠AED=∠ABC,得到△AED≌△EBC,ED∥BC,利用全等的對應邊相等,得到ED=BC,故四邊形EBCD是平行四邊形,CD∥AB.

分析看到60°想到等邊三角形,為得到CD∥AB故作出平行四邊形,由平行四邊形的對邊平行,得到答案.使用了3種基本作圖得到答案.

圖7 圖8

解法7作線段垂直平分線，作一條線段等于已知線段得到點D

如圖8,同解法1得到點B和點C,再作線段AB的垂直平分線得到點E,過點E作ED=BC,作點D.

分析看到60°想到等邊三角形,為了得到CD//AB,利用AR⊥AK想到作矩形,利用矩形的對邊平行.

解法8作線段垂直平分線，過一點作已知直線的垂線得到點C

如圖9,同解法1得到點B,作線段AB的垂直平分線交AB于點E,過點E作ED=AB,得到△AED為含30°的直角三角形,作點D,過點D作AR的垂線交線段AB的垂直平分線于點C.

分析看到60°,AR⊥AK想到含30°的直角三角形,為了得到CD∥AB,作CD⊥AR.使用了3種基本作圖得到答案.

圖9 圖10

解法9作線段垂直平分線，過一點作已知直線的垂線得到點C

如圖10,同解法8得到點D,過點D作AR的垂線,再過點D作DC=AE,得到點C.

分析看到60°,AR⊥AK想到含30°的直角三角形,為了得到CD∥AB,作CD⊥AR,利用DC=AE得到點C.

解法10作線段垂直平分線得到點D

如圖11,同解法1得到點B和點C,作線段AC的垂直平分線交AC于點E,再以點E為圓心,EC為半徑畫弧,交AR于點D,作點D.

圖11

分析看到60°想到等邊三角形,為了得到CD∥AB,看到AR⊥AK想到去得到∠ADC=90°,利用直徑所對的圓角為90°,得到答案.

上述10種解法,大多采用1種多次使用或2種或3種基本的尺規作圖組合完成,依據幾何性質,找到相應的基本作圖,產生出不同的解法.

2 對尺規作圖的教學意義再理解

2.1 在尺規作圖教學中,可以利用一題多解與多解歸一方式培養核心素養

本題內涵豐富,解法多樣,多種解法都能回歸到最基本的尺規作圖,教學中對每一種解題方法給出邏輯思考,讓學生在歷練基本作圖的基礎上,知法明理,結合直覺思維與邏輯推理,在動腦、動手的學習中培養學生的數學思維,形成良好的直覺思維和幾何直觀等核心素養.

2.2 在尺規作圖教學中,可以利用逆向思維方式培養探究意識

尺規作圖不僅是一種操作,更是對數學思維和探究的一種過程,一種溯源過程.教師在教學中,要引導學生先自行獨立思考,嘗試各種解法,洞察學情,以學定教.

2.3 在尺規作圖教學中,可以利用經典著作與故事滲透中國傳統文化的教育

尺規作圖是數學文化長廊中的不可多得的耀眼明珠,廣大數學愛好者圍繞著它,產生了許多有趣的數學問題,利用經典著作與故事,可以更好地傳播數學文化,在操作與求證過程中,能深刻體會到尺規作圖彰顯了數學獨特的文化魅力.