從一題多解談高階行列式的計算方法

摘 要：行列式的計算是求解線性方程組的重要工具，是線性代數的基礎。其中，高階行列式的計算方法尤為重要。由于高階行列式的計算應用定義法較為復雜，本文通過求解一道習題，給出計算高階行列式除基本算法—— 化三角形法外，還有疊加法、加邊法、析因法、輔助行列式、遞推公式法和數學歸納法等6種計算方法，并給出每個方法適應的條件和解題步驟。行列式計算方法多種多樣，高階行列式形式雖然復雜，只要在計算過程中，仔細觀察行列式的特點，選擇恰當的計算方法，既可以在保證計算速度，又可以保證計算質量，還可以使高階行列式的計算變得簡單。計算就會變得比較容易。

關鍵詞：高階行列式 計算 方法

中圖分類號：G71 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）07（b）-0224-02

行列式的計算是學習線性代數的基礎，是求解線性方程組的基礎，但行列式的計算方法很多，綜合性較強。首先介紹一下行列式的定義與性質。

1 行列式的定義與性質

1.1 行列式的定義

將個數排成n行n列并在左右兩邊各加一豎線后得到的算式稱為n階行列式，通常用大寫字母表示。記為。其中D為n階行列式指的n！項的代數和，這些項是一切可能的取自D1的不同的行與不同的列上的n個元素的乘積。項的符號為，如果是偶排列時，這一項是正的，如果是奇排列時，這一項是負的。

1.2 行列式的性質

（1）性質1：行與列互換，行列式的值不變。

（2）性質2：交換兩行（列）的位置，行列式的值變號。

（3）性質3：某行（列）的公因子可以提到行列式的符號外。

（4）性質4：如果某行（列）的所有元素都可以寫成兩項的和，則該行列式可以寫成兩個行列式的和；這兩個行列式的這一行（列）的元素分別為對應的兩數之一，其余各行（列）元素與原行列式相同。

（5）性質5：某行（列）的倍數加到另一行（列），行列式的值不變。

有以上性質還可以得出以下方面。

（1）推論1：兩行（列）對應元素對應成比例，行列式的值為0。

（2）推論2：某行（列）元素全為0，行列式的值為0。

（3）推論3：兩行（列）對應元素相同，行列式的值為0。

2 高階行列式的計算方法與應用舉例

行列式是求解線性方程組的重要工具，在很多領域都有重要的應用。在文獻[7]中主要研究的是求解特殊行列式—— 缺行范德蒙行列式的計算方法，但是對應一般的高階行列式沒有歸納總結。

行列式的計算方法多種多樣，一般用行列式的定義、性質、化三角形法等方法計算行列式，但對于一些高階行列式或含有字母的行列式，用一般方法計算顯得有些費勁，甚至是不容易求解出來。通過參考教材[1-3]及文獻[4-6]，收集一些計算行列式的計算方法。下面以一道題目為例，介紹幾種計算高階行列式的方法。

例Dn=

2.1 化三角形法

通過運用行列式的性質，對行（或列）進行消去變換，消去變換可將原行列式主對角線一側的元素全化為零（三角行列式）。此方法是求解行列式最常用的方法。

例題解法1

2.2 疊加法

仔細觀察這個行列式，會發現每一行（列）構成的元素相同，將第2行、第3行、…、第n行加到第一行再進行計算。該方法適用于每行（列）構成元素相同，即把所有的行（列）加起來相同。

例題解法2

2.3 加邊法

根據行列式的特點，在原行列式的基礎上添行列使其升階構造一個容易計算的新行列式，進而求出原行列式的值。此方法適合行列式除了字母以外行對應元素數字構成相同。

例題解法3

2.4 析因法

析因法是根據行列的性質結合多項式的理論而成的方法。如例題，可以將行列式Dn看作一個關于x的多項式f（x），然后對行列式施行某些變換或求導數，求出f（x）的互素的一次因式，使f（x）與這些因式的乘積h（x）只相差一個常數k，根據多項式相等的定義，比較f（x）與h（x）的某一項的系數，求出c值，便可求得Dn=ch（x）。

例題解法4

設Dn=f（x），根據Dn的形式，當x=a（行列式元素相同根據性質行列式值為0），x=（n-1）a（行列式的第一列是第2列、第3列、第4列…、第n列的和，根據行列式的性質可知行列式值為0）是Dn=0，所以（x-a）、（x-（n-1）a）是f（x）的一次因子。

根據行列式的求導法則，可以得：

一般地，遞推公式法是根據行列式的性質，然后按行（列）展開，把一個n階行列式表示為具有相同結構的較低階行列式的線性關系，再把再根據此關系遞推求得所給行列式的值。

2.6 數學歸納法

數學歸納法是常用的證明方法，利用數學歸納法來計算行列式分兩步進行：第一步是發現和猜想；第二步是證明猜想的正確性。

一般地，若要證的結果已知時，可用數學歸納法來證明，其步驟如下：（1）驗證n取第一個值（n=0，1或2等）時公式成立；（2）假定n=k時公式成立，驗證當n=k+1時公式也成立，若要求的結果未知時，也可先猜想其結果，然后用數學歸納法證明其猜想結果成立。

2.7 輔助行列式法[4]

輔助行列式法的解題步驟是：在行列式的各元素中加上一個數x，使新行列式除主對角線外，其余各元素均為0，然后計算新行列式的主對角線上各元素的代數余子式，最后所求行列式。

例題解法7

對行列式每一個元素加-a，得到的新行列式為：

通過上述計算，可以看出行列式的計算是靈活多樣的，只要在高階行列式的計算過程中，仔細觀察行列式的特點，選擇恰當的計算方法，既可以在保證計算速度，又可以保證計算質量，還可以使高階行列式的計算變得簡單。該文通過例題的多解，總結求解計算高階行列式的幾種方法。

參考文獻

[1]張禾瑞，郝炳新.高等代數（第4版）[M].北京：高等教育出版社，1997.

[2]北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組編.高等代數（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]徐仲，陸全，張凱院，等.高等代數（北大·第3版）導教·導學·導考[M].西安：西北工業大學出版社，2003.

[4]盧潮輝.從一題多解談行列式的計算[J].牡丹江教育學院學報，2010，119（1）：144-145.

[5]張瑜，張越.淺談遞推法在行列式計算中的應用[J].赤峰學院學報：自然科學版，2014，30（17）：5-7.

[6]張蕾.行列式的計算[J].科技資訊，2014（29）：125-127.

[7]于榮娟，陳紅紅，楊海波.淺談某類行列式的計算[J].內蒙古農業大學學報：自然科學版，2013，34（2）：161-164.