動態幾何問題的分類探析

福建省連城冠豸中學 李永忠

近年來，經過對中考試題的研究，我們發現動態幾何問題作為一個命題的熱點在各地中考題中頻繁出現，題型靈活多變，常以點、線、面運動為載體，探求函數關系及存在性等方面的問題，從形式上看，可分為點動、線動和形動三種類型，這類問題主要以幾何圖形為背景，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題，這類題綜合性較強，對學生能力要求高，它能全面考查學生的實踐操作能力、空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力.現以部分中考題為例，分類探析動態幾何問題的命題方法和解題思路.

一、點動型

在幾何圖形的背景下，以點動為載體的問題主要分為兩類，即單動點問題和雙動點問題，其中單動點問題一般涉及到一次函數或反比例函數，雙動點問題一般涉及到二次函數，這兩類都可和存在性問題聯系；所給問題又常與函數圖像、最值及存在性問題緊密相關.

例1 如圖，四邊形ABCD是邊長為2cm的正方形，動點P在ABCD的邊上沿A→B→C→D的路徑以1cm/s的速度運動，在這個運動過程中，△APD的面積S（cm2）隨時間 t（s）的變化關系用圖像表示，正確的是（ ）

簡析：本題將點的運動過程中形成的函數解析式與其相應的函數圖像有機結合在一起，二者相輔相成，突出數形結合、分類討論、函數建模在解題中的靈活運用.解題的關鍵是自變量t取值范圍的分類討論及在各個范圍內面積S與時間t的函數關系式.

例2 如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（3，0），（3，4），動點 M、N 分別同時從點O、B同時出發，以每秒1個單位的速度運動，其中點M沿OA向終點A移動，點N沿BC向終點C運動，過點N作NP⊥x軸，交AC于點P，連接MP，已知動點運動了x秒.

(1)點P的坐標為( ， )(用含x的代數式表示)；

(2)試求△MPA面積的最大值，并求此時x的值；

(3)請你探索：當x為何值時，△MPA是一個等腰三角形？你發現了幾種情況?寫出你的研究成果.

簡析：本題是以雙點運動構建的集函數、最值問題、存在性問題為一體的綜合題.包含著相似三角形、勾股定理和二次函數等知識的綜合運用.題（1）是關鍵，為下面問題的解決分散了難點，起到點撥作用；題(2)是以矩形為背景創設的函數最值問題，在知識點上側重對二次函數關系和最值問題的考查，要求學生有扎實的基礎知識、靈活的解題方法、良好的思維品質，解題的關鍵在于應用上小題的結論確定點P到OA的距離；題（3）是存在性問題，要求學生能按照等腰三角形的定義進行分類.探究此類問題要在“動”中取“靜”，分情況畫出動點在特定位置的圖形，并要充分應用數形結合、轉化化歸和分類討論等數學思想，解題的關鍵在于通過相似、勾股定理、等腰三角形性質等知識點按分類的情況列出相應的方程給予解決.

二、線動型

線動形動態幾何問題常見于在坐標平面下，通過直線與原定的幾何圖形（常以矩形、梯形為主）的相對移動，從而構造出在各種范圍內不同圖形而設置的問題，解決此類問題要善于借助動態思維，應用分類的數學思想，從變中求不變，抓住靜的瞬間，把動態問題轉化為靜態問題解決.

例3 如圖，直線CD：y＝2x+1與邊長為1的正方形OABC交于點C，與x軸交于點D.將直線CD沿x軸正方向平移m個單位（0

簡析：由于直線在平移過程中位置的不同，截正方形所得圖形也不同，因此應分類討論求解.解題的關鍵是明確按什么分類標準，分哪幾類，難點在于抓住臨界位置，結合所給自變量m范圍進行精心合理分類，并進行分類畫圖，逐個求解.

例4 如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135.點P從點B出發沿折線段BA-AD-DC以每秒5個單位長度的速度向點C勻速運動；點Q從點C出發沿線段CB方向以每秒3個單位長度的速度勻速運動，過點Q向上作射線QK⊥BC，交折線段CD-DA-AB于點E.點P、Q同時開始運動，當點P與點C重合時停止運動，點Q也隨之停止.設點P運動的時間是t秒(t>0）.

(1)當點P到達終點C時，求t的值.并指出此時BQ的長；

(2)當點P運動到AD上時，t何值能使四邊形PQCD為平行四邊形；

(3)設射線QK掃過梯形ABCD的面積為S，分別求出點E運動到CD、DA上時，S與t的函數關系式，（不必寫出t的取值范圍）

簡析：本題為梯形背景下的動態幾何問題.其中既涉及到雙動點問題也涉及到直線運動問題，題目條件較多，對學生的分析問題能力要求較高，尤其是第 (3)小題，解題時容易受到動點P的影響，解決這小題要用到勾股定理、相似三角形及梯形相關知識，解題的關鍵在于充分利用Rt△DFC這一隱含的已知條件，分類畫出相應圖形解決.

三、形動型

形動類動態幾何問題指在平面內兩個幾何圖形之間的問題，一般情況下，其中一個位置固定，另一個圖形相對于位置固定的圖形作圖形變換（含平移、旋轉、軸對稱等），通過圖形變換，探求各種不同位置下的函數關系問題，此類問題一般以壓軸題為主，探討在連續變換的條件下隱含著的不變性質，此類問題的特點在于常常利用相似三角形的性質、勾股定理、圖形的面積關系、特殊幾何圖形的幾何性質，以方程為紐帶獲得函數關系式，從而達到解題目的.

例5 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=6cm，正方形 DEFG 的邊長為2cm，其一邊EF在直線BC上，開始時點F與點C重合，讓正方形DEFG沿直線CB向右以每秒1cm的速度作勻速運動，最后點E與點B重合.

(1)請直接寫出該正方形運動6秒時與△ABC重疊部分面積的大小；

(2)設運動時間為x(秒)，運動過程中正方形DEFG與△ABC重疊部分的面積為y(cm2).

①在該正方形運動6秒后至運動停止前這段時間內，求y與x之間的函數關系式.

②在該正方形整個運動過程中，

求當x為何值時，y=0.5.

簡析：本題屬形動中平移問題，常見的題型是通過圖形的移動求兩個圖形重疊部分的面積與運動時間之間的函數關系式，也常與最值問題、特殊時刻的面積或時間的值相關；解題的關鍵在于確定圖形移動過程的臨界位置，并把所給自變量進行合理分類，確定自變量取值范圍.此類問題一般要結合方程、相似、勾股定理等相關知識并進行綜合應用.

例6 把兩塊全等的含45°角的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，AB=DE.把三角板 ABC 固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉，設直線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q.

(1)如圖①，當射線DF經過點B時，易證△APD∽△CDQ.此時，AP·CQ= .

(2)將三角板DEF由圖①位置繞O點沿逆時針方向旋轉 α 角（0°<а<90°），問AP·CQ的值是否改變？并說明理由.

(3)在(2)的條件下，設 CQ=x，兩塊三角板重疊部分的面積為y，求y與x的函數關系式.(圖②③供解題用)

簡析：本題屬形動中的旋轉類問題，這種用兩個全等圖形構造的問題，用全等或相似的知識證明圖中的存在的不變的量是其題目的特點.如本題的三個圖形中，均有△APD∽△CDQ，從而AP·CQ的值為定值.題目的設計一般由簡到難，呈“步步高”的趨勢，解題的關鍵在于抓住題中的定量，以不動制動，通過觀察、探索、比較等方法解決.本題第（3）小題難度較大，既要用到前面的結論，又要用到相似的知識，解題的關鍵在于利用點D到兩直角邊距離為隱含條件，通過相似的方法處理，從而解決線段MQ與x的關系.

通過以上分析，可以清楚的發現，動態幾何問題的設置往往帶有操作性、探索性和開放性，問題的解決需要通過操作、實驗、觀察、猜測、探索、驗證等一系列的數學活動，滲透數形結合、轉化化歸、函數方程、分類討論等數學思想，內容豐富、解法靈活，具有開放性，建議在教學中，加強對此類問題的分析，必將對培養學生的動手能力、空間觀念和幾何變換思想有較大的幫助.