欣賞數學之美
2015-09-29 02:42:16黃振
亞太教育 2015年31期
黃振
摘要：數學不但對社會的進步提供的動力，數學的美還給以人們享受。數學美不但有多種表現形式，如簡潔美、對稱美、統一美等。數學美具有一定的價值，欣賞數字之美對調動學生積極性，培養學生的應用和創新意識，提高學生素養，塑造學生的數學觀具有重要作用。
關鍵詞：簡潔美；對稱美；統一美；形式美；隱藏美
中圖分類號：G427 文獻標志碼：A 文章編號：2095-9214（2015）11-0117-02
數學是利用符號語言研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。數學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳的邏輯推理及對完美境界的追求。許多人認為數學是枯燥乏味的，其實是沒有領悟到數學的美，不懂得欣賞數學美或缺失欣賞數學美的能力。數學的美無處不在，只要我們細心觀察就能發現數學的美，就能欣賞數學的無窮魅力。
一、美與數學美的含義
美在哲學中定義為：美是具體事物的組成部分，是具體環境、現象、事情、行為、物體對人類的生存發展具有的特殊性能、正面意義和正價值，是人們在密切接觸具體事物。受氣刺激和影響產生了愉悅和滿足的美好感覺后，從具體事物中分解和抽取出來的有別于丑的相對抽象事物和元實體。[1]
那數學美又是什么呢？數學思想大師羅素就曾這樣毫不掩飾地說過：“數學，如果正確地看它，則具有……至高無上的美，正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的那種完美的境地。一種真實的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高于人的意識，這些是至善至美的標準，能夠在詩里得到，也能夠在數學里得到。”[2]
二、數學美的表現
數學美的表現形式是多種多樣的，關鍵是看你從何種角度去體會，去欣賞。就像一千個人眼里有一千個哈姆雷特一樣，每個人對數學美都有不同感受。數學從分支上看有幾何美、代數美、概率美等；從思想方法上看有抽象美、演繹美、劃歸美、類比美等；從一般美學上看有簡潔美、對稱美、統一美、形式美、隱藏美等等。這里主要談談數學的簡潔美、對稱美、統一美、形式美、隱藏美：
（一）簡潔美
簡潔的事物總是蘊藏著美的真諦，化繁為簡本就是一種高超的本領。數學是一門追求簡潔的學科，簡潔性是數學的一個顯著特征，反映的是數學的簡潔美。偉大的物理學家愛因斯坦曾經說過：“美，本質上終究是其簡單性。”今天我們眾所周知的十進制其簡潔性和優美性就十分明顯，這就是數學的一種簡潔美。相比二進制、十二進制、十六進制，十進制的優越性太大了，它簡化了我們的數學計算，促進了數學的快速發展。
著名而且使用非常廣泛的勾股定理是數學簡潔美的又一典范，直角三角形兩直角邊（即“勾”，“股”）邊長平方和等于斜邊（即“弦”）邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么有：a2+b2=c2。直角三角形有無數多個，其三邊長個不相同，但是這個定理卻將直角三角形的三條邊的關系表現的淋漓盡致，簡單明了，這就是數學的簡潔美。
（二）對稱美
對稱是現實世界非常常見的一個美學性質，沒有對稱性的世界是無序的、雜亂無章的，沒有對稱性的東西是孤寂的、呆板的，不具體有生命力。所以，對稱美是我們生活中經常追求的一種美，比如對聯的對稱美、建筑物的對稱美等。
其實，數學中也蘊含著對稱美。例如，在高等代數中，n階行列式把n·n個元素按n行n列排成一個正方形，這使人感到整齊和對稱。[3]數學的對稱美更多體現在圖形的對稱性上。從平面到立體，無不體現著數學的對稱美。在平面幾何中，圓可以說是對稱美的一個典型范例，因為圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，沿過圓心的任意一條直線對折，圓的兩半都完全重合，這就是圓的對稱美。在立體幾何中，球可以說是對稱美的另一典范。此外函數的圖像也有對稱美，例如，正弦函數和余弦函數的圖像是對稱的，而且可以是軸對稱又可以是中心對稱。數學中的對稱美是無處不在的，它給我們視覺上的享受，心靈上的撫慰，只要我們細心體會就能發現。
（三）統一美
統一性又可作同一性，追求同一性又是數學的一個基本特征。統一性是指部分與部分、部分與整體之間的內在聯系或共同規律所呈現出來的和諧一致[4]。數學的發展是逐步統一的過程。希而伯特曾說統一的目的就是：“追求更有力的工具和更簡單的方法”。
從相同幾個數的連加到乘法，從相同幾個數的連乘到冪的運算，這都體現的數學的統一發展規律，也體現的數學的統一美。所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合：S={β/β=α+k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和，這就將任一與角α終邊相同的角統一起來了，這還包括正角與負角的統一。橢圓曲線、雙曲線、拋物線的第一定義是各不相同的，但是它們的第二定義又可以統一為：到定點距離與它到直線的距離之比是常數e的軌跡。當0
（四）形式美
我國古代的數學可以說是星光璀璨，如數學家楊輝發現的楊輝三角，楊輝三角是一個由數字排列成的三角形數表，一般形式如下：
1
11
121
1331
14641
15101051
1615201561
楊輝三角最本質的特征是，它的兩條斜邊都是由數字1組成的，而其余的數則是等于它肩上的兩個數之和。自上而下，從左往右，楊輝三角無不體現著數學的形式美。
再來看看下面的兩組式子：
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1111
1234×9+5=11111
12345×9+6=111111
123456×9+7=1111111
1234567×9+8=11111111
12345678×9+9=111111111
123456789×9+10=1111111111
1×1=111×11=121111×111=123211111×1111=123432111111×11111=123454321111111×111111=123456543211111111×1111111=123456765432111111111×11111111=123456787654321111111111×111111111=12345678987654321
兩組式子是數字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9通過運算符的簡單組合，但是其形式上美，讓人看了覺得是一種享受。如第二組的每一個等式左邊是兩個相同的由1組成的數，右邊的積則剛好是一個對稱的數，如123454321，這樣的形式難道不美嗎？
（五）隱藏美
數學是一門抽象的學科，簡單的符號語言或表達形式卻不失深刻的內涵和意義。數學的美有時不是一眼就可以看出來了，它具有一定的隱藏性，需要我們進行深入的挖掘，細細的品味方能體會其中的美。
楊輝三角中就具有隱藏的數學美，如果我們將楊輝三角以下方式排列，那么自左下到右上對角方向上的數字之和分別是1、1、2、3、5、8、13、…，這組數剛好就是斐波那契數列，其中的每一個數都是斐波那契數，即：
11235813…
1
11
121
1331
14641
15101051
1615201561
斐波那契數列是一個有趣而神秘的數列，細心研究該數列，我們發現其背后隱藏著不少有趣的性質。例如，將該數列的每一項都平方得到一組數，然后將這組數的前n（n∈2，3，4…）項相加，得到的和是兩個斐波那契數的乘積，即
1+1=2=2×1
1+1+4=6=2×3
1+1+4+9=15=3×5
1+1+4+9+25=40=5×8
1+1+4+9+25+64=104=8×13
……………………………………………
如果我們記斐波那契數列的通項為an，將斐波那契數列相鄰兩項的前項比后項得到一個無窮分數數列：11，12，23，35，58，813，…，an-1an，anan+1，…可以證明該無窮數列存在極限，其極限為limn→∞anan+1=5-12≈0.618。0.618通常稱為黃金分割比，這是美學上一個重要的判斷標準。
楊輝三角中竟然隱藏著斐波那契數列，而看似簡單的斐波那契數列又蘊含著如此多的美，這正好說明數學的美是有隱藏性的，需要我們用心去挖掘、去發現，去品味
三、數學美的價值
數學能給予我們什么？美國著名的數學史家、數學教育家與應用數學家莫里斯·克萊因曾經說過一段話：“音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切”[5]。
在數學教學中，引導學生去挖掘和欣賞數學的美具有重要的作用：欣賞數學的美，可以激發學生的學習熱情，調動學生的學習積極性；欣賞數學的美，可以鍛煉學生的思維，培養學生的應用意識和創新意識；欣賞數學的美，可以陶冶情操，提升學生的數學修養和素質；欣賞數學的美，可以更好地塑造學生的數學觀和學習觀。
四、總結
總之，數學世界是有趣的、美妙的，并不是枯燥無味的，數學的美是生動的、活潑的、廣泛的，它存在于我們生活的方方面面，只要我們懷著一顆虔誠的心和一雙智慧的眼睛就能發現數學的美，就能欣賞數學的美，進而用數學的美給我們創作更多更好更高的價值，讓數學之美為我們服務。
（作者單位：閩南師范大學數學與統計學院）
參考文獻：
[1]陳浩.數學娛樂與數學教學[D]，中國優秀碩士學位論文全文數據庫社會科學2輯，2011（51）.
[2]羅素.我的哲學發展[M].北京：商務印書館，1982.
[3]張玉芳.淺談數學之美[J]，平原大學學報，1996（3）：53～54.
[4]張小寧.淺談數學之美[J]，科技資訊，2007：178.
[5]曹鵬，符方健，黃婷，羅自強.淺析數學之美[J].教育教學論壇.2013（30）：120～121.endprint
