薄壁箱梁的彎曲縱向位移函數與剪力流

李麗園，周茂定，張元海

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薄壁箱梁的彎曲縱向位移函數與剪力流

李麗園，周茂定，張元海

(蘭州交通大學土木工程學院，甘肅蘭州，730070)

以薄壁箱梁的彎曲理論為基礎，從分析微板剪力流出發，結合彈性理論中求解平面應力問題的假設，推導考慮薄壁箱梁各板面內剪切效應時的彎曲縱向位移函數，同時從理論上導出剪力滯翹曲位移函數。運用能量變分原理及鐵木辛柯深梁理論的假設簡化并求解考慮各板面內剪切效應的縱向位移函數，并給出數值算例。研究結果表明：按本文推導的考慮各板面內剪切效應的位移函數計算的簡支梁跨中截面正應力與實測值及有限元值吻合良好，剪應力與撓度較以往方式求解的結果更為準確，且箱梁撓度及腹板剪應力計算值相對于初等梁的結果均有明顯增加，最大增量達到21%。

薄壁箱梁；面內剪切效應；能量變分法；撓度；剪力流

在現代橋梁建設中，薄壁箱梁有著重要的應用，對其彎曲力學性能研究的文獻已有很多[1?4]。眾所周知，在彎曲荷載作用下，薄壁箱梁由于各翼板剪切效應的影響，其縱向位移模式不再符合平截面假定，從而產生剪力滯效應，國內外許多學者已對此做了大量研究。 Reissner[5]首先引入能量變分法求解無翼緣板矩形薄壁箱梁的剪力滯效應，后來能量變分法被國內外學者應用于帶懸臂板箱梁的剪力滯效應分析。對于剪力滯翹曲位移函數的形式，不同學者的假設也各不相同，有拋物線[4?7]、余弦函數[2]及懸鏈線[8]等多種形式。對于不同寬度翼緣板的剪力滯翹曲位移函數的修正方式，各學者也是觀點各異[2, 9?13]。對于薄壁箱梁腹板剪切效應的研究，一直沿用鐵木辛柯深梁理論[14]。然而，已有文獻中將薄壁箱梁腹板和翼板的面內剪切變形分別提出不同的概念來分析，不便于理解，且只分析各板剪切效應對翼板正應力和箱梁撓度的影響，幾乎沒有文獻研究各板剪切效應對薄壁箱梁剪應力的影響，對于剪力滯翹曲位移函數仍采取人為假定方法，缺乏理論證實。本文作者將在已有文獻的基礎上，通過對薄壁箱梁微元的分析，結合彈性理論中平面應力問題假設及鐵木辛柯的深梁理論，推導出系統考慮薄壁箱梁各板面內剪切變形的彎曲縱向位移函數，并通過算例及ANSYS有限元對比分析，得出按此位移函數計算的正應力、剪應力和撓度的計算精度有較大 提高。

1 考慮面內剪切效應的位移函數

圖1所示為薄壁箱梁在任意豎向分布荷載()作用下的受力簡圖。圖中采用正交笛卡兒坐標系，坐標原點位于截面形心處。

(a) 坐標系及荷載；(b) 橫截面

任取上述薄壁箱梁微板d×d如圖2所示,為壁厚，為沿梁周邊的橫向坐標，σ為縱向正應力，為板面內剪切剪力流。

圖2 薄壁單元中剪力流

根據力沿軸方向平衡條件可得微分關系式[13]：

對于微元薄板，若忽略面外的拉伸(或壓縮)則轉化為彈性力學中的平面應力問題，因而可得其位移與應變關系如下[16?17]：

式中：為縱向位移；為橫向位移。

對圖1所示的關于軸對稱的薄壁箱梁截面，在彎曲荷載作用下，通常忽略截面沿周邊的擠壓變形，即認為ε=0；而在初等梁理論下，忽略各板的面內剪切變形，即認為=0，按此假設將會影響求解精度，因而需考慮薄壁箱梁各板面內剪切變形的影響。按上述假設下，薄壁箱梁的彎曲正應力σ計算公式如下[18?19]：

將式(5)代入式(1)結合彎矩與剪力的關系以及薄壁箱梁的彎曲理論[3,13]可得圖1所示截面彎曲剪力流的一般計算公式為

式中：0()為相應開口截面剪力流。若將圖1截面的開口選在頂板中心0點處時，式(6)等號右邊第2項為0，因而其剪力流計算式如下(逆時針為正)：

現以頂板為例進行分析，其彎曲剪力流為

式中：y為箱梁截面水平形心軸至頂板中面的距離。仍忽略頂板沿周線的位移()，由式(4)可得：

式中：為剪切彈性模量。對式(9)積分整理后可得：

式中：0()為頂板中心(坐標起始點)的縱向位移，式(10)為考慮頂板面內剪切變形后箱梁頂板縱向位移沿橫向的表達式。由式(10)可得，箱梁頂板與腹板交界處1點的縱向位移為

若令

并采用坐標表示頂板任一點橫向位置，則式(10)可轉換為

同樣，對底板積分起點取截面左右對稱中心點2處，對懸臂板積分起點取懸臂邊緣3點處，可得底板和懸臂板的縱向位移分別為

此時薄壁箱梁截面的各翼板的縱向位移可用1()和4()表示。

從圖3可以看出：腹板剪力流分布為二次函數，若設5點處剪力流為5()，則腹板任意一點剪力流為

式中：為腹板中線與軸的夾角。由式(15)及式(4)可得：

式(17)可表示箱梁截面腹板任意一點縱向位移函數。由式(17)可求得1()和4()表示如下：

若令

；

此時箱梁截面的各板元縱向位移可表示為

若求得5點處的縱向位移則可求得薄壁箱梁考慮各板面內剪切效應時的彎曲位移函數。

在材料力學中計算梁的彎曲內力時，通常將梁簡化為截面中性軸處的一條線，因而腹板上也必然存在縱向位移為零的中性點[18]。對薄壁箱梁在不考慮各板面內剪切效應時，形心軸與中性軸重合，若考慮了剪切效應時，會導致中性軸與形心軸發生偏離。

當箱梁發生豎向撓曲時，由胡克定律和式(2)可知，截面上一點的正應力(,,)可表示為

對于不受軸力的受彎梁而言，箱梁橫截面上應力總和應為零[15]，即：

結合式(20)~(22)可得：

式中：

稱式(24)為剪力滯翹曲位移函數。分析式(23)，由截面對稱性可知，大括號內第2項和第3項為0，若令第4項積分后的結果為×(z)，其中

式中：A，A和A分別為箱梁頂板、兩側懸臂板、底板的截面積，則由式(23)和(25)可得：

式中：為截面面積，=?。從式(26)可知：5()為形心軸處相對于實際中性軸(縱向位移為零處)的縱向位移，具體可參見圖4。

(a) 橫截面；(b) 側立面(縱向位移分布)

圖4 翹曲位移函數及縱向位移簡圖

Fig. 4 Sketch map of warping displacement function and longitudinal displacement

由式(20)，(24)和(26)可得修正后薄壁箱梁剪力滯翹曲位移函數：

至此，便推導完成了薄壁箱梁考慮各板面內剪切變形后彎曲縱向位移函數。

2 能量變分法求解

由于涉及未知參數較多，對于各板考慮面內剪切變形位移函數的求解將十分困難。為了簡化分析，可根據鐵木辛柯深梁理論的假設，針對本文研究的薄壁箱梁即假設腹板有一均勻的剪切變形，亦即箱梁全截面有一轉角()，忽略()項對腹板剪切的影響。按上述假設則式(20)的位移函數中()將為0，若令()=()?()時，則箱梁截面的縱向位移可表示為

(,,)=?(z)+ω(,)() (28)

薄壁箱梁正應變能e為

各翼板剪切變形剪應變能π為

腹板剪切變形引起全截面的應變能π為

式中：A為翼板面積；為不均勻剪切修正系數。

外荷載勢能π為[12]

總勢能為：

根據最小勢能原理的駐值條件，可知δ0，對式(33)進行變分并整理簡化后可得：

由上述基本方程式(34)~(36)消去和后，可得關于的微分方程為

在考慮腹板剪切變形能量后，并不影響翼板剪力滯翹曲位移函數的微分形式。

通過式(37)和(38)可得邊界條件為

當通過式(39)解出()后，由式(34)和(35)即可積分計算()和()。()表達式為

式中：*()為求解()時與荷載有關的特解。

根據實際邊界條件及荷載形式，求得()和()后，代入式(21)便可求得相應正應力(,,)。

通過求出的考慮各板面內剪切變形后的正應力(,,)，代入式(1)后，兩邊關于積分后可得：

式中：q()為積分起點處的剪力流，其可根據薄壁箱梁彎曲理論計算剪力流時的變形協調條件來求得。從而可求得薄壁箱梁考慮各板面內剪切變形后的剪 力流。

3 數值算例

3.1 簡支梁正應力

有機玻璃制作的簡支箱梁模型的橫截面如圖5所示[4]，在跨中截面梁頂腹板位置作用對稱集中荷載，總值為=272.2 N。計算跨度=800 mm，材料彈性模量為3 000 MPa，泊松比為0.385。

單位：mm

按照本文建立的薄壁箱梁彎曲縱向位移函數求得跨中截面應力連同文獻[4]提供的實測值和空間有限元計算值列于表1中，以便比較。

表1 簡支箱梁模型跨中截面應力

通過表中計算值與有限元和實測值的對比可知：本文計算值與有限元及實測值吻合良好，少數值的偏差是應力集中引起，說明本文推導的位移函數合理。

3.2 簡支梁撓度及剪應力

從前面的理論分析可知：當考慮各板的面內剪切變形后，薄壁箱梁的撓度和彎曲剪力流將會改變，為了說明此情況，仍以3.1節中的算例模型為例分析。

運用ANSYS中的shell63單元建立空間有限元模型[20?21]，共劃分為1 158個節點和1 520單元，跨中集中荷載施加于腹板與頂板交界點，約束兩端底板豎向位移及一端的縱向、橫向位移。分別計算考慮和不考慮薄壁箱梁各板面內剪切變形的撓度和截面的彎曲剪應力，并將結果與ANSYS計算值對比。

為方便表示，現定義相對位置參數和如下。

對于頂板：1；對于懸臂板：3+1；

對于底板：2；對于腹板：/；縱向位置：。

3.2.1 撓度對比分析

考慮和不考慮薄壁箱梁各板面內剪切變形時跨中最大撓度分別為0.235 mm和0.192 mm，而ANSYS計算值為0.249 mm，考慮面內剪切效應后撓度計算值與ANSYS接近，較不考剪切效應時精度可提高22%，全部撓度結果對比如圖6所示。

1—不考慮剪切效應；2—考慮剪切效應；3—ANSYS計算

3.2.2 剪應力對比

為了減小應力集中影響，取0.45處截面上、下翼板及腹板剪應力進行對比；為研究順橋向變化趨勢，取底板=0.8處各點剪應力進行對比，結果如圖7所示。

(a) 上翼板；(b) 下翼板；(c) 腹板；(d) 底板χ為0.8處

從圖7可知：考慮各板面內剪切效應時的剪應力計算值與ANSYS分析值吻合良好；各板彎曲剪應力值與以往文獻不考慮剪切效應時[1,3]求得的值有較大差異，上、下翼板剪應力有大幅減小，且不再為直線形，腹板最大彎曲剪應力有大幅增加，此問題在薄壁箱梁設計時，應予以重視；對比底板=0.8處沿梁縱向變化趨勢可知，在跨中集中荷載附近剪應力與傳統方法求解值相差較大(支點處的約束導致ANSYS計算值出現差異)，說明薄壁箱梁各板的剪切效應不僅引起正應力的改變，也使剪應力有較大變化。

4 結論

1) 從薄壁箱梁微元板的分析出發，結合彈性力學平面應力問題的假設，推導了考慮薄壁箱梁各板面內剪切效應時的彎曲位移函數，并引入鐵木辛柯深梁理論的假設對考慮各板面內剪切效應的位移函數進行簡化，結合能量變分原理對其進行求解。

2) 按照建立的考慮薄壁箱梁各板剪切效應的位移函數求得的正應力值與實測值和有限元值吻合良好。考慮剪切效應時剪應力及撓度與ANSYS結果吻合較好；與不考慮剪切效應時的計算值相比，薄壁箱梁上(下)翼板處剪應力值有大幅度減小，而撓度和腹板剪應力有大幅度增加，最大增量可達21%，因而薄壁箱梁設計時應予以重視。

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Longitudinal displacement function and shear flow of thin-walled box girders in bending

LI Liyuan, ZHOU Maoding, ZHANG Yuanhai

(School of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

On the basis of the bending theory of thin-walled box girders, and in combination with the hypothesis for solving plane stress problems in elasticity theory, bending longitudinal displacement function considering each plate in-plane shear effect of thin-walled box girders was derived. At the same time, the shear lag warping displacement function was derived theoretically. The displacement mode considering in-plane shear effect of all plates was simplified and solved by using the principle of energy variation and Timoshenko hypothesis of deep beam theory, and the numerical example was given. The results show that the calculated stresses at mid-span cross section of a simply supported box girder by using the displacement mode with shear effect are in a good agreement with the measured values and the finite element analysis results. There are large differences between the calculated shear stresses which considering all plates’ shear effect and the traditional calculation results. Compared with previous methods, the shear stress and deflection calculated in this research are more accurate; what’s more, the shear stress of webs and deflection of the box girder increases, the biggest growth reaches 21%.

thin-walled box girder; in-plane shear effect; energy variation method; deflection; shear flow

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.10.049

U448.213

A

1672?7207(2015)10?3928?08

2015?02?11；

2015?04?25

國家自然科學基金資助項目(51268029，51068018，51468032)(Projects (51268029, 51068018, 51468032) supported by the National Natural Science Foundation of China)

張元海，博士，教授，博士生導師，從事薄壁箱梁與特殊橋梁設計理論研究；E-mail：zyh17012@163.com

(編輯 陳愛華)