一道中考填空壓軸題的命制與反思

楊雪華

[摘 要] 本文通過(guò)筆者對(duì)南通卷第18題填空壓軸題的4稿命制歷程，寫出了一線命題工作者的艱辛和追求. 命題工作后，筆者有感而發(fā)，又自行設(shè)計(jì)了三道填空壓軸的原創(chuàng)題與各位讀者一起交流切磋，以期共同進(jìn)步.

[關(guān)鍵詞] 填空壓軸題命制；最值；反思；原創(chuàng)

筆者有幸參加了2014年江蘇省南通市中考數(shù)學(xué)命題工作，現(xiàn)就第18題填空壓軸題的命制歷程談?wù)勛约旱男牡门c體會(huì)，與各位同行交流交流.

填空題第18題的命制過(guò)程及

反思

根據(jù)雙向細(xì)目表的安排，本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)代數(shù)式的變形、配方，及求最值.

1. 第一稿

已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2-n2=2m，則代數(shù)式m2-2n2-8m-1的最大值等于______.

思路分析？搖 由m2-n2=2m得n2=m2-2m，代入得原式=m2-2（m2-2m）-8m-1=-m2-4m-1=-（m+2）2+3，所以，當(dāng)m= -2時(shí)，代數(shù)式的最大值等于3.

命題反思？搖 顯然，這道題的難度達(dá)不到命題的初衷，稱不上“壓軸”，必須予以修改.

2. 第二稿

已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2-n2=2m+3，則代數(shù)式m2+2n2-8m+10的最小值等于______.

思路分析？搖 由m2-n2=2m+3得n2=m2-2m-3，代入得原式=m2+2m2-4m-6-8m+10=3m2-12m+4=3（m-2）2-8.

很多學(xué)生可能認(rèn)為：當(dāng)m=2時(shí)，代數(shù)式有最小值-8，但當(dāng)m=2時(shí)，代數(shù)式m2-n2=2m+3不成立. 因?yàn)橛蒻2-n2=2m+3得m2-2m-3=n2，所以m2-2m+1=n2+4，即（m-1）2=n2+4. 因?yàn)閚2+4≥4，所以（m-1）2≥4，所以m≥3或m≤-1. 所以3（m-2）2- 8的最小值等于-5，即當(dāng)m=3時(shí)，代數(shù)式m2+2n2-8m+10的最小值等于-5.

命題反思？搖 該題有一定的障礙，應(yīng)該起到了“壓軸”的作用，但命題組對(duì)變形過(guò)程中學(xué)生的問(wèn)題處理能力產(chǎn)生了懷疑，特別是對(duì)（m-1）2≥4的處理，其涉及一元二次不等式的知識(shí)，顯然違背了課標(biāo)要求，屬超標(biāo)、超綱. 同時(shí)，學(xué)生由（m-1）2≥4得到m≥3或m≤-1，可能也存在較大的困難，于是命題組決定再行修改.

3. 第三稿

已知實(shí)數(shù)m，n滿足m-n2=1，則代數(shù)式m2+2n2+4m-1的最小值等于______.

思路分析？搖 由m-n2=1得n2=m-1，代入得原式=m2+2（m-1）+4m-1=m2+6m-3=（m+3）2-12.

可能有學(xué)生認(rèn)為，當(dāng)m=-3時(shí)，代數(shù)式有最小值-12，這就落入命題組預(yù)設(shè)的陷阱了. 因?yàn)楫?dāng)m=-3時(shí)，代數(shù)式m-n2=1不成立. 因?yàn)橛蒻-n2=1，得m-1=n2，又n2≥0，所以m-1≥0，所以m≥1. 所以（m+3）2-12的最小值為4，即當(dāng)m=1時(shí)，代數(shù)式m2+2n2+4m-1的最小值等于4.

命題反思？搖 修改后的第三稿，從形式上看，滿足了雙向細(xì)目表的要求，但命題組還是存在以下兩點(diǎn)擔(dān)憂：（1）考題是否較簡(jiǎn)單，是否弱化了“壓軸”的作用；（2）能否保證難度系數(shù)控制在0.5左右的命題初衷.

鑒于以上考慮，我們又設(shè)計(jì)了備選試題.

4. 備用稿

已知y與x的關(guān)系式是y=x2-2x-m，當(dāng)x取三個(gè)不同的實(shí)數(shù)時(shí)，y的值都等于0，則m的值等于______.

思路分析？搖 方法一，由y的值等于0得x2-2x-m=0，對(duì)應(yīng)的x所取的三個(gè)不同實(shí)數(shù)可以看成函數(shù)y=x2-2x的圖象與直線y=m的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖1所示. 要讓x取三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，只有當(dāng)直線y=m與y=-x2+2x的圖象相切，所以此時(shí)-x2+2x=m，即x2-2x+m=0，由Δ=4-4m=0，解得m=1.

結(jié)束語(yǔ)

中考數(shù)學(xué)填空壓軸題擔(dān)負(fù)著“評(píng)價(jià)、選拔、導(dǎo)向”的作用，作為整張?jiān)嚲淼暮诵闹唬?jīng)常奪人眼球、引人關(guān)注，也是評(píng)審中考試卷整體質(zhì)量的重要一環(huán)，命題教師應(yīng)該立足學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，遷移、拓展、整合所學(xué)知識(shí)，以學(xué)定題、以題導(dǎo)教. 作為填空壓軸題，對(duì)學(xué)生而言，盡管只有部分學(xué)生做出正確結(jié)果，但全體學(xué)生參與探究、思考的目的能夠達(dá)到，且經(jīng)歷探索的歷程也能積累寶貴經(jīng)驗(yàn). 對(duì)于命題教師來(lái)說(shuō)，填空壓軸題的命制必須經(jīng)歷四大環(huán)節(jié)：數(shù)學(xué)模型、試題雛形、審核修改、補(bǔ)充完善，只有充分呈現(xiàn)區(qū)分度，有適度的難度，兼顧學(xué)生實(shí)際的得分率，才能凸顯試卷應(yīng)有的選拔功能、評(píng)價(jià)功能，才能無(wú)愧“壓軸”的稱謂.endprint