試論初中數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)與學(xué)生知識(shí)串聯(lián)能力培養(yǎng)

施美霞

[摘 要] 勾股定理是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要定理，是培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)串聯(lián)能力的有效工具. 本文從勾股定理串聯(lián)數(shù)字運(yùn)算、串聯(lián)幾何證明、串聯(lián)函數(shù)演算三方面，具體闡釋初中數(shù)學(xué)如何利用勾股定理教學(xué)推動(dòng)學(xué)生知識(shí)串聯(lián)能力培養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；勾股定理；知識(shí)串聯(lián)

初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)新能力都提出了全新的、更高的要求，而對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新水平產(chǎn)生直接影響的則是學(xué)生的知識(shí)串聯(lián)能力. 所謂知識(shí)串聯(lián)能力，簡(jiǎn)而概之，便是學(xué)生舉一反三，有效聯(lián)系各類知識(shí)，形成強(qiáng)有力的知識(shí)正遷移，有效促進(jìn)學(xué)生課程學(xué)習(xí)的一種能力. 初中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)在所有初中學(xué)科中是最成體系、最富結(jié)合度的，各個(gè)知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)運(yùn)用的頻率高、范圍廣，因此學(xué)生的知識(shí)串聯(lián)能力對(duì)于初中數(shù)學(xué)的教、學(xué)同樣具有重大意義. 勾股定理是解釋直角三角形三邊關(guān)系的重要定理，同時(shí)也是初中數(shù)學(xué)課程中最為重要的幾個(gè)定理之一. 勾股定理具有形式變化多、應(yīng)用范圍廣等特點(diǎn)，能與代數(shù)運(yùn)算、圖形推導(dǎo)、函數(shù)演算等數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行串聯(lián)應(yīng)用. 基于這一特性，勾股定理便成為初中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)串聯(lián)能力的極為有效的工具. 為了進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)串聯(lián)能力，推動(dòng)初中數(shù)學(xué)課程改革，筆者就初中數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)如何與學(xué)生知識(shí)串聯(lián)能力培養(yǎng)“擦出火花”進(jìn)行探究，總結(jié)出如下三點(diǎn)建議.

勾股定理串聯(lián)數(shù)字運(yùn)算，培養(yǎng)

學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算能力

代數(shù)是初中數(shù)學(xué)非常重要的內(nèi)容，包含有理數(shù)、整式、實(shí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，等式、不等式、方程等內(nèi)容，是學(xué)生開(kāi)拓初中數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)必不可少的工具. 將勾股定理及逆定理與代數(shù)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行串聯(lián)，將為初中數(shù)學(xué)代數(shù)練習(xí)注入新鮮血液，將極大地豐富初中代數(shù)運(yùn)算練習(xí)的內(nèi)容與形式，有助于激發(fā)學(xué)生代數(shù)練習(xí)熱情，提升學(xué)生代數(shù)綜合解析、運(yùn)算能力. 初中數(shù)學(xué)代數(shù)運(yùn)算要與勾股定理有效串聯(lián)，筆者認(rèn)為要做好“換”的文章. 怎么“換”？就是將代數(shù)運(yùn)算中的必備條件、必要數(shù)字、必定過(guò)程勾股定理化，將這些本來(lái)現(xiàn)成的代數(shù)運(yùn)算條件全部換成勾股定理內(nèi)容，讓學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算能力在勾股定理和代數(shù)運(yùn)算概念的靈活轉(zhuǎn)化中得到提升.

應(yīng)用題是數(shù)學(xué)運(yùn)算中非常經(jīng)典的表達(dá)形式，筆者將勾股定理串聯(lián)到代數(shù)應(yīng)用題中，設(shè)計(jì)了這樣一道試題：“某條高速公路的快車道規(guī)定時(shí)速不能超過(guò)120 km/h，已知一輛小汽車沿著一段直道高速公路的快車道行駛，在路過(guò)車輛測(cè)速儀正前方時(shí)，汽車與測(cè)速儀相距60 m，2 s后，汽車距離測(cè)速儀100 m，請(qǐng)問(wèn)汽車超速了嗎？”要求汽車是否超速，就必須求出汽車的時(shí)速，這是一道典型的代數(shù)應(yīng)用題，但這道代數(shù)題卻把學(xué)生難住了，因?yàn)橐笏俣龋仨氈缆烦毯蜁r(shí)間，時(shí)間是知道了，路程呢？于是筆者引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫(huà)了一張圖（如圖1）. 學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，汽車正對(duì)測(cè)速儀時(shí)剛好在A點(diǎn)，2 s之后，汽車在B點(diǎn)，測(cè)速儀和A，B兩點(diǎn)剛好圍成一個(gè)直角三角形，測(cè)速儀到A點(diǎn)的距離是60 m，到B點(diǎn)的距離是100 m，由此很容易得出AB2=1002-602，即AB=80 m. 由此可知小汽車的時(shí)速是80÷2=40 m/s=144 km/h，顯然汽車已經(jīng)超速了. 像這樣利用勾股定理與代數(shù)運(yùn)算串聯(lián)，能有效培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

勾股定理串聯(lián)幾何證明，培養(yǎng)

學(xué)生的圖形解析能力

三角形證明幾乎占據(jù)了初中數(shù)學(xué)幾何證明中的絕大部分內(nèi)容，而勾股定理又是體現(xiàn)直角三角形三邊關(guān)系、解決三邊問(wèn)題的有效定理，因此，勾股定理與初中數(shù)學(xué)幾何證明可以說(shuō)是無(wú)縫對(duì)接. 通過(guò)勾股定理的延伸運(yùn)用，將為學(xué)生的幾何證明打開(kāi)一個(gè)全新的思路，許多看似難解、難證的幾何問(wèn)題，也將在勾股定理的引進(jìn)和串聯(lián)下迎刃而解. 勾股定理和初中數(shù)學(xué)幾何證明之間的串聯(lián)，筆者覺(jué)得其關(guān)鍵是“找”，教師要引導(dǎo)學(xué)生找到幾何圖形中潛在的勾股定理，并準(zhǔn)確地把握勾股定理與圖形證明之間的關(guān)系，從而解決證明問(wèn)題.

例如，筆者為了將勾股定理與相似三角形證明進(jìn)行串聯(lián)，設(shè)計(jì)了這樣一道試題：“如圖2所示，AB與CD相交于點(diǎn)E，已知AB=11，AE=5，CD=13，DE=10，AC=4，DB=8，求證：△ACE∽△DBE.”學(xué)生一看此題，都一籌莫展，于是我開(kāi)始引導(dǎo)學(xué)生：“同學(xué)們，我們知道AB=11，AE=5，那能不能求BE的長(zhǎng)？”學(xué)生回答“能”，我再問(wèn)：“那我們知道CD=13，DE=10，能不能求CE的長(zhǎng)？”學(xué)生也點(diǎn)頭說(shuō)“能”，我接著引導(dǎo)：“同學(xué)們，經(jīng)過(guò)計(jì)算后，我們手頭掌握的條件如下，在△ACE中，AE=5，AC=4，CE=3，根據(jù)這組數(shù)字我們可以發(fā)現(xiàn)，AC2+CE2=AE2，符合勾股定理，所以△ACE是直角三角形；再看看△DBE，DE=10，DB=8，BE=6，根據(jù)這組數(shù)據(jù)我們可以發(fā)現(xiàn)DB2+BE2=DE2，符合勾股定理，所以△DBE是直角三角形. ”通過(guò)這樣的引導(dǎo)，學(xué)生在圖形解析時(shí)，利用勾股定理打開(kāi)了突破口，能找到圖形之間的聯(lián)系，最終解決幾何證明題，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，增強(qiáng)學(xué)生的圖形解析素養(yǎng)，提升學(xué)生的幾何證明能力.

勾股定理串聯(lián)函數(shù)演算，培養(yǎng)

學(xué)生的抽象思維能力

對(duì)于很多學(xué)生來(lái)說(shuō)，函數(shù)就是噩夢(mèng)，緣何如此？答案就是函數(shù)太抽象了. 我們生活在一個(gè)具象的世界，對(duì)于事物都習(xí)慣用具象思維思考，所以很多學(xué)生才會(huì)對(duì)抽象化的函數(shù)演算產(chǎn)生畏難情緒. 函數(shù)是難，但并非毫無(wú)“破綻”，如果能夠引導(dǎo)學(xué)生有效串聯(lián)勾股定理，許多函數(shù)問(wèn)題都能不攻自破. 因?yàn)楹瘮?shù)是直角坐標(biāo)系中的一組變量關(guān)系，在直角坐標(biāo)系中我們很容易找到直角三角形，所以只要能在勾股定理和函數(shù)之間建立聯(lián)系，解決函數(shù)問(wèn)題自然不在話下. 那如何建立聯(lián)系？筆者認(rèn)為答案就一個(gè)字，那就是“變”. 很多時(shí)候，函數(shù)直角坐標(biāo)系中沒(méi)有直角三角形，這個(gè)直角三角形需要我們利用函數(shù)知識(shí)進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，自己“變”一個(gè)出來(lái)，只要能夠引導(dǎo)學(xué)生順利“變”出直角三角形，便能實(shí)現(xiàn)勾股定理與函數(shù)演算的有機(jī)串聯(lián).

比如，筆者在教學(xué)初中數(shù)學(xué)“一次函數(shù)”時(shí)，是這么引導(dǎo)學(xué)生串聯(lián)勾股定理的，題目是：在直角坐標(biāo)系中，有A（4，2），B（1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)E是x軸上一點(diǎn)，求AE+BE的最小值. 這樣的題目很抽象，學(xué)生不知從何下手，于是筆者引導(dǎo)學(xué)生：“同學(xué)們，我們學(xué)過(guò)的知識(shí)中，涉及最短距離的定理是什么？”學(xué)生思考后回答：“兩點(diǎn)之間，線段最短. ”我說(shuō)：“同學(xué)們說(shuō)得很好，所以要求AE+BE的最小值，我們就應(yīng)該使AE和BE變成一條線段. 最簡(jiǎn)單的方法是什么？設(shè)置點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A′（4，-2）. ”學(xué)生點(diǎn)頭，筆者繼續(xù)引導(dǎo)：“我們現(xiàn)在有一條直線了，那我們好好觀察一下，如果我們要變出一個(gè)直角三角形，A′B會(huì)是什么邊？”“斜邊”，學(xué)生齊答. 筆者點(diǎn)頭繼續(xù)引導(dǎo)：“所以，我們要變出一個(gè)直角三角形，只要找到兩條直角邊就行了，最簡(jiǎn)單的方法就是作BC∥y軸，A′C∥x軸，交點(diǎn)是C，于是點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，-2）. 所以A′C=3，BC=5，A′B2=32+52，可得AB=.這樣我們就求出AE+BE的最短距離了.”通過(guò)這樣引導(dǎo)學(xué)生設(shè)置對(duì)稱點(diǎn)，畫(huà)平行線，“變”出一個(gè)直角三角形，將有助于幫助學(xué)生找到抽象思維具象化表達(dá)的方法，為學(xué)生破解抽象函數(shù)打通一條通道.

總之，利用初中數(shù)學(xué)勾股定理推動(dòng)學(xué)生知識(shí)串聯(lián)能力培養(yǎng)的核心思路，就是幫助學(xué)生養(yǎng)成思維發(fā)散習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生在題干中找到隱藏著的解題之匙，通過(guò)知識(shí)之間的有機(jī)串聯(lián)、組合和應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率. 教師一定要以此為突破口，多思多想，反復(fù)琢磨，探索更多勾股定理與其他知識(shí)點(diǎn)有效串聯(lián)的策略，真正用好勾股定理，提升學(xué)生知識(shí)聯(lián)系能力和綜合運(yùn)用能力，切實(shí)推動(dòng)初中數(shù)學(xué)教學(xué).endprint