初中數學習題的再加工

劉通

[摘 要] 通過“一題多問” 和“一題多變”等方法對數學問題進行再加工、再創新，能夠引導學生思考，便于學生自主探究，有利于激活學生思維，同時也能方便師生共同整理知識，整頓解題習慣，整合思維.

[關鍵詞] 習題創新；一題多問；一題多變；數學教學；教學案例；習題創新

如何將課本知識以適當的方式傳授給學生是教育界歷久不衰的討論話題. 本人認為：除了按常規教學施教之外，應隨時隨處挖掘教材，適當拓寬教材內容，培養學生的邏輯思維能力. 既抓學生基本知識的掌握，又兼顧學生基本技能的培養，更要適當拓展現有的課本知識，使學生走向良性的學習軌道. 本人在這方面利用教材的現有知識和例題進行嘗試，自認為有可取之處，故聊以筆談，供同行參考借鑒.

一題多問，引導思考，激活思維

在平時的初中數學教學中，碰到的多數習題一般只要求解答單方面的問題，對知識和能力的考查比較片面，學生的思維得不到充分訓練，我覺得習題課題目的選擇和教學安排應遵循兩個原則：一是整理知識，整頓習慣，整合思維；二是引導思考，自主探究，激活思維. 如果在習題課上先確定好這一節課的目標以及每個選題的目標，然后圍繞這一目標進行廣泛閱讀、篩選、重組，盡量編成“一題多問”的題目，這樣便能將很多知識點在同一道題中有機地結合起來，溝通多個知識點的內在聯系，考查學生綜合運用數學知識的能力，從而訓練學生從多角度、多層次認識事物的能力，提高學生的綜合思維能力. 以下是本人對一次函數單元教學習題課設置的“一題多問”教學案例.

案例1？搖 八年級上冊第五章上完后，為了使學生掌握一次函數的定義、圖象、性質、應用，我安排了習題課，編成“一題多問”的習題.

問題設置：已知一次函數y=x+4.

（1）它的圖象經過第______象限，不經過______象限.

（2）y隨x的增大（減?。┒鴂____（______）.

（3）它的圖象與x軸交于點A（？搖？搖 ），與y軸交于點B（？搖 ）.

（4）畫出此函數的圖象.

（5）S=______.

（6）原點O到直線AB的距離是____.

（7）直線AB上到x軸距離為1的點的坐標是______；直線AB上到y軸距離為1的點的坐標是______.

（8）當x___時，y>0；？搖 當x___時，y=0；當x______時，y<0.

（9）當-6≤x≤3時，y的取值范圍是______.

（10）點M（3，8）______直線AB上，點N（-2，5） ______直線AB上（填“在”或“不在”）.

（11）將直線AB沿y軸向______平移______個單位長度，得y=x.

（12）將直線AB沿x軸向右平移1個單位長度，得到的直線方程為______.

（13）與直線AB平行，且過點（1，-1）的直線方程為______.

（14）與直線AB的距離是的直線是______.

（15）將直線AB沿y軸翻折，得直線______.？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

（16）直線AB與直線y=-x+2的交點P的坐標為______.

（17）直線AB與直線y=-x+2和坐標軸圍成的四邊形的面積是______.

（18）學以致用乃數學之魂，請編一道與你生活、學習密切相關的實際問題，使問題中的兩個變量x，y滿足已知的一次函數.

例：某市出租車，行程3 km內收起步費8元，行程超過3 km時，每超過1 km（不足1 km以1 km計算）加收元，則車費y（元）與行程x（x>3）（km）之間的函數關系式為____________________.

這樣一連串由淺入深的問題提出，就把一次函數的定義、圖象、性質等聯成網絡.

案例2？搖 九年級上冊第一章用一元二次方程解決問題中的問題設置.

例題：在矩形ABCD中，AB=6 cm， BC=12 cm，點P從點A沿邊AB向點B以1 cm/s的速度移動，同時，點Q從點B沿邊BC向點C以2 cm/s的速度移動，問：

（1）幾秒后△PBQ的面積等于8 cm2？

（2）幾秒后△PDQ的面積為8 cm2？

（3）幾秒后△PDQ為直角三角形？

（4）幾秒后△PDQ是等腰三角形？

通過“ 一題多問，多題歸一 ”，進行有的放矢的精解和拓寬，可以使思維具有概括性.

一題多變，比較鑒別，多向思維

在教學中往往會發現這樣的情況：不少學生做了大量的習題，解題能力卻仍不見提高，或提高甚微，一個重要的原因就是忽視了解題后的反思及縱向、橫向、逆向、雙向等多角度、全方位的思考，通過一題多變訓練，可以使學生認清各個變式題之間的聯系與區別，可以開拓學生的解題思路，提高學生思維的發散性、靈活性和創造性，能進一步深化對知識的理解和掌握，達到一題多得（知識、思路、方法等）. 一題多變的教學形式有利于激發學生的創造性思維及提高學生運用數學知識分析、解決實際問題的能力，有利于激發學生學習數學的興趣，提高學生學習的自覺性，從而使教師與學生從題海中解放出來，真正減輕教與學的沉重負擔. 數學教學過程中一題多變有多種形式：①改變或增減已知條件；②改變設問角度；③因果變換；④定內容變題型；⑤定內容變難度；⑥具體問題抽象化、復雜化……由于篇幅有限，本人在下面僅舉三種變式的教學案例.

1. 改變或增減已知條件

從題目的各個方面聯想、類比，通過條件變式，變換條件，引入新問題，促進學生積極思考，認清各個變式題之間的練習與區別. 這樣，一方面可以充分揭示數學問題固有的思維層次，另一方面，可以充分暴露學生的思維層次，讓學生在兩種思維的層次比較中了解自己，吸取數學思維的營養.endprint

例題：某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件進價100元，售價定為140元，為了擴大銷售，增加贏利，商場決定采取適當的降價措施. 經調查發現，在一定范圍內，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件. 如果商場通過銷售這批襯衫每天要贏利1200元，襯衫的單價應降多少元？

變式1：在例題的“增加利潤”后面添上條件“盡量減少庫存”，其他不變.

通過這一變式，讓學生知道在做解決實際應用題時，要注意檢驗方程的解是否符合題意或符合實際意義，對方程的根進行取舍.

變式2：將問題中的“單價應降多少元”改為“售價為多少元”，其他不變.

對于這一變式，學生會習慣性地直接設未知數解決問題，但其實間接設未知數較簡單.

變式3：把問題中的條件“襯衫的單價每降1元”改為“襯衫的單價每降0.5元”，其他不變. （只設未知數、列方程，不解方程）

通過變式，使問題有梯度，難度逐漸加深，引導學生發現用售價x表示多售件數和銷售數量變得復雜了：設單件降了x元，則多售2×件.

變式4：某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件進價100元，售價定為140元，為了擴大銷售，增加贏利，商場決定采取適當的降價措施. 經調查發現，在一定范圍內，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件. 用配方法求出要想每天贏利最多，單價應降低多少元？

通過這一變式，既鞏固了本節內容，又復習了前面剛學過用配方法求最值的難點.

2.？搖改變設問角度

例：已知點P是一次函數y= -x+6在第一象限圖象上的點，又點A的坐標為（4，0），問：點P能否成為等腰三角形AOP的一個頂點？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由.

分析：由于題目并未指明等腰三角形的哪條邊為底，哪條邊為腰，所以應引導學生分情況進行探討（PO=PA，PO=OA，PA=OA）. 解略.

？搖變形：若條件不變，使三角形AOP為等腰直角三角形的點P是否存在？成為等邊三角形呢？

這樣層層深入，讓學生自己去探討結果，研究規律，其收獲絕非簡單地改改題那么簡單. 長此以往，能使學生養成多問多思的積極思考習慣，大大提高學生的數學能力.

3.？搖因果變換

“因果變換”的變式練習，在幾何證明題中出現得較為普遍，本人在此不再出現此類型的題目，就編幾道填空題供大家參考.

例：（1）①點A（-2，3）關于x軸對稱的點B的坐標是______；

②點A（-2，3）與點B（2，3）關于______對稱.

（2）①點A（-2，3）向上平移3個單位長度，再向左平移4個單位長度后得到的坐標為______；

②點A（-2，3）先向______，再向______，可得到點B（2，-3）.

（3）①點A（-2，3）到x軸的距離為______，到y軸的距離為______；

②到x軸的距離為2，到y軸的距離為3的點的坐標為______.

（4）①如果點P（m，n）在坐標軸上，那么m，n應滿足的關系是______；

②已知點P（m，n），如果mn=0，那么點P在______上.

這樣的訓練可以培養學生橫向、逆向的思維.

上述案例讓我們認識到，“一題多變”不僅能激發學生的學習興趣，提高學習的積極性與主動性，而且能使學生從一類問題的解法上達到舉一反三的目的，在探索過程中能有效地提高創新能力. 因此，教師要善于選擇適當的例題加以推廣、引申，引導學生提出新問題，尋求新結論.

實踐讓我體會到“一題多問”和“一題多變”對數學問題進行再加工、再創新，能夠引導學生思考，便于學生自主探究，有利于激活學生思維. 同時，也方便師生共同整理知識，整頓解題習慣，整合思維.endprint