一種無衍射光莫爾條紋的計數方法

翟中生，嚴昌文，呂清花，王選擇

(湖北工業大學機械工程學院，湖北武漢430068)

無衍射光(non-diffracting beams)由于其中心光斑的大小、形狀不隨傳播距離發生變化的特性備受人們關注。無衍射光近年來已成為研究的熱點［1-2］，如:華中科技大學的周莉萍教授利用無衍射光實現了一種新型激光三角測量系統［3］;北京航空航天大學的王中宇教授用無衍射光代替激光作為光源，來完成表面形貌的三維測量［4］。無衍射光技術也可應用到自由度的測量中［5］。在利用無衍射光測量多自由度運動誤差時，確定無衍射光中心光斑的位置成為測量的關鍵。由于莫爾條紋的放大作用，可以利用無衍射光莫爾條紋技術來定位無衍射光中心光斑。華中科技大學的趙斌教授利用無衍射光莫爾條紋法進行空間直線度的測量［6］，同時利用計算機產生數字的環形光柵與環形無衍射光產生莫爾條紋，通過改變數字環形光柵的相位來確定無衍射光的中心光斑位置［7］。在無衍射光莫爾條紋法定中心的應用中，文獻［7］只運用了一束無衍射光，而本文則利用兩束無衍射光得到莫爾條紋，通過莫爾條紋的條數，得到莫爾條紋數量與兩束無衍射光中心點距離的關系，由此來確定被測無衍射光的中心光斑位置。

1 無衍射光莫爾條紋的形成

目前得到無衍射光的方法有很多，而之所以采用軸錐鏡是因為其能量利用率高和制作成本低的特點，同時在測量方面，軸錐鏡又有著穩定的線焦，產生的無衍射為零階本賽爾函數形式的同心圓環(圖1a)。這一族同心圓環中，中心圓是最亮的點。圖1a所示，當平行光射入軸錐鏡時鏡后形成的不同區域，Zmax為光強的最大范圍。在Zmax范圍內光強隨Z值的增大而增大。通過軸錐鏡得到合適的無衍射光，并將無衍射光作為測量光。

圖1 無衍射光的產生

從技術角度上來說，莫爾條紋是兩條或者兩個物體之間以恒定的角度和頻率發生干涉的視覺結果。

為了研究無衍射光莫爾條紋的計數法，首先通過軸錐鏡得到零階貝塞爾形狀的同心圓環(即無衍射光)，然后通過一個簡單的光路(圖2)得到兩束無衍射光的干涉，從而得到莫爾條紋。從圖2可見，He-Ne激光器發出的光經過準直擴束后射入軸錐鏡，再由軸錐鏡射入到分光棱鏡1中，此時通過分光棱鏡1分光，得到兩束無衍射光:一束無衍射光經過反射鏡2、分光棱鏡2后由CCD相機接收;另一束無衍射光進過反射鏡1射入到直角棱鏡中，再由直角棱鏡反射到分光棱鏡2，最后也被CCD相機接收。這樣，CCD相機中就有兩束無衍射光，這兩束衍射光將會干涉產生莫爾條紋，同時產生的莫爾條紋圖像將被CCD相機采集。其中經過反射鏡2、分光棱鏡2的無衍射光作為參考光束，經過直角棱鏡、分光棱鏡2的無衍射光作為被測光束，由于直角棱鏡在豎直方向上的移動會造成兩束無衍射光中心距離的變化，因此被測光束的中心光斑的位置也將發生變化。

圖2 無衍射光莫爾條紋的產生

2 無衍射光莫爾條紋的數學模型

圖2中，軸錐鏡后產生的無衍射光束經過分光棱鏡分成兩束無衍射光，設兩束光程分別為無衍射光的產生Z1和Z2，C1和C2為CCD相機上兩束無衍射光的中心點，在CCD面上的極半徑分別為r1和r2，可得到兩束無衍射光在CCD上的光強近似值

產生的減莫爾條紋的序列有

為了分析方便，設C1、C2在y軸上(C1x=C2x=0)，原點在中心線上(|C2y－C1y|=2Δ)，由式(2)、(3)和(4)可計算出莫爾條紋的暗條紋軌跡為

從上式可看出，莫爾條紋的暗條紋軌跡為橢圓族或雙曲線族。

3 莫爾條紋計數方法

兩束無衍射光形成的莫爾條紋的形狀和條紋數受中心位置影響，因此確定無衍射光莫爾條紋的數量是關鍵。

等間距的無衍射光束的明暗條紋的間距可看成光柵常數d。為了便于分析，假設測量光束的中心點C2在y方向上有一偏移量C2y(圖3)。中心間距用光柵常數d表示

式中N為正整數，l=1，2，3…。

圖3 兩束無衍射光產生的莫爾條紋原理圖

由式(5)可得

式中，β為直線族與y軸的夾角。在xy坐標系中，莫爾條紋沿坐標原點對稱分布，所以研究莫爾條紋變化規律時，取β從豎直方向上0°～180°范圍即可。

由式(7)可知，s=0時，tanβ= ∞，β =90°;s=時，tanβ=0，β=0°，因此可以得到在第一象限內有條莫爾條紋，那么在360°范圍內總莫爾條紋數S=。a

4 仿真及圖像處理

通過對圖2的光路進行仿真，得到如圖4所示的無衍射光莫爾條紋圖像。由于直角棱鏡在豎直方向上的位移導致兩束無衍射光中心光斑距離的變化。從圖6中可明顯看出，兩束無衍射光中心距的改變會引起莫爾條紋數量的變化。

通過圖4的仿真結果可以看到，莫爾條紋的頻率要小于無衍射光的頻率，因此對圖4中仿真得到的圖進行頻域空間的增強。在Matlab中首先對圖4進行傅立葉變化得到頻域空間，然后選擇高斯低通濾波器，最后將增強的圖像通過傅立葉逆變換轉換回圖像空間，得到的圖像如圖5所示。

為了進一步得到莫爾條紋數，將圖5進行二值化處理，得到二值化圖像，定義在圖像中的一個內乘圓，統計在該內圓上，圖像灰度值變化的次數，讓計算機自動記錄圖像中由黑到白的變換次數，則變化的次數就是莫爾條紋數。圖6為二值化后的莫爾條紋圖，表1為通過程序統計得出的莫爾條紋數量。

圖4 兩束無衍射光產生的莫爾條紋仿真結果

圖5 高斯濾波后的傅立葉逆變換圖

圖6 二值化后的莫爾條紋圖

表1 莫爾條紋數結果

5 結論

本文用一種無衍射光莫爾條紋的計數方法來定位無衍射光中心光斑的位置。本方法的特點是通過兩束無衍射光的干涉產生了莫爾條紋，由莫爾條紋的數量關系得到兩束無衍射光的中心距，由此進一步確定被測無衍射光的中心光斑位置。本文中莫爾條紋數學模型的兩束無衍射光中心點在y軸上保持一致，同樣如果中心點在x軸上也適用本文的結論。通過確定的無衍射光中心光斑位置，可以進一步對多自由度在二維角度上的測量進行研究，因此本文對無衍射光莫爾條紋在精密測量的應用中有一定借鑒意義。

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［4］ 王中宇，王 倩，孟 浩.基于無衍射光的表面粗糙度三角測量及其灰色評定方法［J］.應用光學，2011，32(05):909-912.

［5］ 趙 斌.無衍射光莫爾條紋法直線度測量儀［J］.儀器儀表學報，2003，24(01):75-77.

［6］ 趙 斌.無衍射光莫爾條紋空間直線度測量的原理與實驗［J］.計量學報，2002，23(02):81-86.

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