關于子基的連通性的注記

劉德金

（德州學院數學科學學院，山東 德州　253023）

關于子基的連通性的注記

劉德金

（德州學院數學科學學院，山東 德州253023）

在粗糙集理論研究中，覆蓋方法的應用越來越受重視，其中最重要的概念是最近引進的拓撲空間的子集關于子基的內部和閉包以及由它們導入的關于子基的開集、閉集.對由它們導入的拓撲空間關于子基的隔離子集、連通性作進一步研究，所得性質是一般拓撲空間中隔離子集和連通性相應結果的推廣.

子基；關于子基的開集；關于子基的閉集；關于子基的隔離子集；關于子基的連通性

1　引言

在粗糙集理論的研究中，粗糙集與拓撲空間關系的研究是一個重要內容.繼文獻［1-3］研究粗糙集與拓撲空間的關系之后，文獻［4］將粗糙集理論推廣到覆蓋廣義粗糙集理論，隨后不少學者對覆蓋廣義粗糙集理論進行了深入的研究［5-8］.為了使粗糙集理論和覆蓋廣義粗糙集理論中的下近似集和上近似集都能分別地對應于某一拓撲空間的子集的某種內部和閉包，文獻［9］定義了拓撲空間的子集關于子基的內部和閉包，在此基礎上文獻［10］研究了拓撲空間的子集關于子基的連通性概念，得到許多重要結果.本文對文獻［10］給出的關于子基的隔離子集和關于子基的連通性的概念作進一步研究，得到一些重要的結論，是對拓撲空間關于子基的連通性的重要補充，也是一般拓撲空間中隔離子集、連通性相應結論的推廣.文中關于子基的內部、閉包、開集、閉集、隔離子集、連通空間、連通子集等概念均見文獻［9-10］，在此不再贅述.

2　預備知識

設X為非空集合，給定X上的拓撲T，若β是T的子基，則該拓撲空間記為（X，T，β）.X的子集A的補集記為～A.

引理2.1設（X，T，β）是拓撲空間，Y為X的子集，則T|Y是Y的拓撲，β|Y是Y的子基，并且對Y的任何子集A，有

證明若T為X的拓撲，β為T的子基，由文獻［11］知T|Y是Y的拓撲，β|Y是Y的子基.

引理2.2設（X，T，β）是拓撲空間，則對任意X的子集A，iβ（A）是β開集，Cβ（A）是β閉集.

證明由文獻［9］中命題2.1（9）、定義3.1和定理3.6可證.

引理2.3設（X，T，β）是拓撲空間，（Y，T|Y，β|Y）是其子空間，A1?Y.則A1是Y的β|Y開集當且僅當存在X的β開集A，使得A1=A∩Y.

證明由引理2.1和引理2.2可知，命題成立.

引理2.4設（X，T，β）是拓撲空間，（Y，T|Y，β|Y）是其子空間.則Y的子集A、B是Y 的β|Y隔離子集當且僅當A、B是X的隔離子集.

證明由文獻［9］中定理1.8的證明可知，結論成立.

引理2.5［10］設（X，T，β）是拓撲空間.則下列條件等價：

（1）X是β不連通空間；

（2）X中存在兩個非空的β開集A與B，使得X=A∪B，A∩B=?；

（3）X中存在兩個非空的β閉集A與B，使得X=A∪B，A∩B=?；

（4）X中存在一個既是β開集又是β閉集的非空真子集.

引理2.6［10］設（X，T，β）是拓撲空間，C為X的β連通分支.則

（1）若Y為X的β連通子集，且Y∩C≠?，則Y?C；

（2）C是X的β連通子集；

（3）C是X的β閉集.

引理2.7［10］設（X，T，β）是拓撲空間，且Y?Z?X，則Y為X的β連通子集當且僅當Y為X的子空間Z的β|Z連通子集.

3　主要結果

定理3.1設（X，T，β）是拓撲空間，A與B是X的β隔離子集，如果A1?A，B1?B，則A1與B1也是X的β隔離子集.

定理3.2設A與B是拓撲空間（X，T，β）的β隔離子集.如果A∪B是X的β開集（β閉集），則A與B也都是X的β開集（β閉集）.

設A∪B是X的β閉集，由引理2.2得Cβ（A∪B）=A∪B，則Cβ（A）?Cβ（A∪B）=A∪B，因為A與B是X的β隔離子集，所以Cβ（A）∩B=?，所以Cβ（A）?A，于是得Cβ（A）=A，由引理2.2知A是X的β閉集.同理可知B是X的β閉集.

定理3.3設A是拓撲空間（X，T，β）的β連通子集.B既是X的一個β開集，又是X的一個β閉集.如果則A?B.

證明設C=～B，則C也是既β開又β閉的子集，且B和C是X的β隔離子集.因為A?B∪C=X，所以由文獻［10］中定理1.10知，A?B或A?C.因為所以A?B.

定理3.4設Y是拓撲空間（X，T，β）的β連通子集.如果A與B是X的兩個不交的β開集（β閉集），使得Y?A∪B，則或者Y?A，或者Y?B.

證明設A與B是X的兩個不交的β開集，即A與B是β開集，且A∩B=?，這說明A∩Cβ（B）=?，Cβ（A）∩B=?.所以A與B是X的兩個β隔離子集.因為Y?A∪B，Y 是β連通子集，所以由文獻［10］中定理1.10知，或者Y?A，或者Y?B.

定理3.5設A是β連通空間（X，T，β）的一個非空真子集，則

定理3.6設C是β連通空間（X，T，β）的一個β連通子集.若C是β開集，又是β閉集，則C是X的β連通分支.

證明設Y是包含C的β連通分支，則C?Y，且C是Y的β|Y開集，也是Y的β|Y閉集，由引理2.6知Y是X的β連通子集，即Y是β|Y連通的，因此Y沒有既β|Y開又β|Y閉的真子集，所以C=Y，即C是X的β連通分支.

定理3.7 設（X，T，β）是拓撲空間，E?G?X，E是X的β開集，且E是G的β|G連通分支.則bβ（E）?bβ（G）.

注3.1由引理2.7可知，定理3.7中的條件“E是G的β|G連通分支”換為“E是X 的β連通分支”命題仍然成立.

定理3.8設（X，T，β）是拓撲空間，G?X，G是X的β連通的子集且是β開集，則G 是X-bβ（G）中的一個β連通分支.

定理 3.9設X是拓撲空間，β1、β是X的兩個子基，β1?β.如果（X，T，β）是β連通的，則（X，T1，β1）是β1連通的.

證明反證法.假設（X，T1，β1）不是β1連通空間，則由引理2.5知，存在兩個非空β1開集A，B使得X=A∪B，A∩B=?.因為β1?β，所以A，B也是兩個非空的β開集，使得X=A∪B，A∩B=?，又由引理2.5知，（X，T，β）不是β連通的，與條件矛盾.所以（X，T1，β1）是β1連通的.

定理3.10設（X，T，β）是拓撲空間，Y是X的一個子集.則Y是X的不連通子集的充分必要條件是存在X的β開集（β閉集）A和B，使得Y?A∪B，A∩B?X-Y ，和

“?”設存在X的β開集（β閉集）A和B使得Y?A∪B，A∩B?X-Y，和則Y=（A∩Y）∪（B∩Y），記A1=A∩Y，B1=B∩Y，則A1和B1是Y的非空的β|Y開集（β|Y閉集），且Y=A1∪B1，A1∩B1=（A∩B）∩Y=?.所以Y是X的β不連通子集.

定理3.11設Y和Z是拓撲空間（X，T，β）的子集.若Y和Z同時為X的β閉集（β開集），則Y-Z和Z-Y是X的β隔離子集.

定理3.12設Y是拓撲空間（X，T，β）的子集.Cβ（Y）是X的一個不連通子集，則X中存在兩個非空集合A和B使得Y?A∪B，Cβ（A）∩Cβ（B）=?，Y∩A≠?和Y∩B≠?成立.

證明設Cβ（Y）是X的一個不連通子集，由文獻［10］中定理1.8知，存在X的非空β隔離子集A和B使得Cβ（Y）=A∩B.由引理2.2知，A∩B是β閉集，又由定理3.2知，A 和B是X的β閉集，所以Cβ（A）=A，Cβ（B）=B，因為A和B是X的β隔離子集，所以A∩B=?，從而Cβ（A）∩Cβ（B）=?.顯然Cβ（Y）∩A≠?和Cβ（Y）∩B≠?.若Y∩A=?，則由Y?Cβ（Y）=A∪B得Y?B，故Cβ（Y）?Cβ（B），這與Cβ（Y）∩A≠?，A∩Cβ（B）=?矛盾，所以Y∩A≠?.同理Y∩B≠?.

由于當β是一個拓撲空間的基時，β開集與開集等價；β閉集與閉集等價，β隔離子集與隔離子集等價，β連通與連通等價，β不連通與不連通等價.因此上面所得的若干結果是文獻［11-12］中相應結果的推廣.例如：拓撲本身是子基，所以特別地取β=T，這時定理3.11就可表述為：“設Y和Z是拓撲空間（X，T）的子集.若Y和Z同時為X的閉集（開集），則Y-Z和Z-Y是X的隔離子集.”這正是文獻［11］中48頁上的重要定理.

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［12］凱萊J L.一般拓撲學［M］.北京：科學出版社，1982.

Note on connectedness relative to a subbase

Liu Dejin
（Department of Mathematics，Dezhou University，Dezhou253023，China）

Covering methods are widely used in rough set theory.The interior and the closure of a subset relative to a subbase for the topology are introduced to study the relationships between the rough sets and the topological space.This paper makes a further research on the separated subset and the connectedness relative to a subbase，and obtains some properties which generalize separated subset and the connectedness in a general topology.

subbase，the open set relative to a subbase，the close set relative to a subbase，the separated subset relative to a subbase，the connectedness relative to a subbase

O189.1；TP18

A

1008-5513（2015）03-0231-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.002

2014-11-16.

劉德金（1957-），教授，研究方向：幾何與一般拓撲學.

2000 MSC：56A10，68T01