非緊系統的次可加拓撲壓

楊宇，張秀芬

（西北大學數學學院，陜西 西安　710127）

非緊系統的次可加拓撲壓

楊宇，張秀芬

（西北大學數學學院，陜西 西安710127）

利用逆緊映射、容許覆蓋等概念，將緊系統上的次可加拓撲壓推廣到非緊系統上，給出了次可加拓撲壓的定義，并討論了非緊系統上次可加拓撲壓的性質.

非緊系統；逆緊映射；容許覆蓋；次可加拓撲壓

1　引言

在測度論中，古典的Carathéodory構造是由Carathéodory在文獻［1］中給出的.文獻［2］介紹了一種新的構造，這種構造是古典Carathéodory構造的推廣，它引出了一些具有維數性質的量，例如Hausdorff維數、拓撲熵等，稱這種構造為Carathéodory-Pesin結構（簡稱為C-P結構），它是研究維數論和動力系統的重要工具.此外，文獻［3］利用C-P結構給出了緊系統上不可加拓撲壓的維數定義.文獻［4］利用逆緊映射、容許覆蓋等概念以及C-P結構給出了非緊系統上拓撲熵的定義.受文獻［3-4］的啟發，本文利用文獻［4］的方法，將緊系統上的次可加拓撲壓推廣到非緊系統上，同時給出了拓撲壓、下容量拓撲壓和上容量拓撲壓的定義，并介紹了非緊系統上次可加拓撲壓的性質，如：拓撲壓的維數性質、拓撲壓關于半范數連續的性質以及拓撲壓的一些等價刻畫等.

2　預備知識

本文恒設（X，d）是局部緊的可分度量空間.

定義2.1［5］設X是拓撲空間.稱f：X→X是逆緊映射，如果f是連續的，并且任意緊集在f下的原像是緊的.

定義2.2［5］稱開集U為容許開集，如果U的閉包或補集是緊的.

定義2.3［5］稱X的開覆蓋U為容許覆蓋，如果U有限并且對任意A∈U，A是容許開集.

定義 2.4［5］稱度量d是容許的，如果滿足下列條件：

（1）如果對任意δ∈（a，b）（0＜a＜b），Uδ=｛B（x1，δ），···，B（xk，δ）｝是X的開覆蓋（B（x，δ）表示以x為球心，以δ為半徑的開球），那么存在δε∈（a，b），使得Uδε是容許覆蓋.

（2）X的每個容許覆蓋都有Lebesgue數.

定義2.5［6］稱函數列Φ=（φn）n∈N是次可加的，如果對任意m，n∈N和x∈X有

定義2.6設（X，d）是局部緊的可分度量空間，f是逆緊映射，則稱（X，f）是逆緊系統.

3　非緊系統上次可加拓撲壓的定義

設（X，f）為非緊的逆緊系統，對任意n∈N和X的容許覆蓋U，用Wn（U）表示所有長度為n的向量U=（U1，···，Un）構成的集合，U1，···，Un∈U.對任意U∈Wn（U），記向量U的長度為m（U）.定義

引理 3.1［4］設X是局部緊的可分度量空間，是X 的單點緊化，如果d是的某一度量限制在X上的度量，那么d是容許度量，并且對任意ε＞0，存在X的容許覆蓋，使得這個覆蓋的直徑小于ε.

引理3.2設（X，f）為逆緊系統，對任意次可加的緩變連續函數列Φ，極限

存在.

4　非緊系統上次可加拓撲壓的性質

本節介紹非緊系統上次可加拓撲壓的性質.例如：拓撲壓的維數性質、拓撲壓關于半范數連續的性質以及拓撲壓的一些等價刻畫.

定理4.1設（X，f）為逆緊系統，Φ是次可加的連續函數列，那么關于拓撲壓有以下性質：

定理4.2設（X，f）為逆緊系統，Φ是次可加的連續函數列，那么關于上容量拓撲壓、下容量拓撲壓有以下性質：

定理4.1和定理4.2的證明可參考文獻［2］.

定義X上函數列Φ空間中的一個半范數

下面的定理表明拓撲壓關于這個半范數是連續的.

定理4.3設（X，f）為逆緊系統，對任意次可加的緩變連續函數列Φ=（φn）n∈N和Ψ=（ψn）n∈N，下面的性質成立：

（1）當n充分大時，如果φn≤ψn，那么

（2）如果∥Φ∥＜∞，∥Ψ∥＜∞，那么

定理4.4設（X，f）為逆緊系統，Φ是次可加的連續函數列.對任意n∈N，定義

其中下確界取遍所有覆蓋Z的Γn?Wn（U）.那么

定理4.5設（X，f）為逆緊系統，Φ是次可加的有界連續函數列.

［1］Carathéodory C.über das lineare mass［J］.G?ttingen Nachr.，1914，1914：406-426.

［2］Pesin Y.Dimension Theory in Dynamical Systems［M］.Chicago：the University of Chicago Press，1997.

［3］Barreira L.A non-additive thermodynamic formalism and applications to dimension theory of hyperbolic dynamical systems［J］.Ergod.Theory and Dyn.Syst.，1996，16：871-828.

［4］Ma Dongkui，Cai Bin.Topological entropy of proper map［J］.Taiwanese Journal of Mathematics，2014，18（4）：1219-1241.

［5］Patr?o M.Entropy and its variational principle for non-compact metric spaces［J］.Ergodic Theory Dynam.Systems，2010，30：1529-1542.

［6］Barreira L.Thermodynamic Formalism and Applications to Dimension Theory［M］.Basel：Birkh?user，2011.

［7］廖公夫，王立冬，范欽杰.映射迭代與混沌動力系統［M］.北京：科學出版社，2013.

The subadditive topological pressure of a noncompact system

Yang Yu，Zhang Xiufen

（College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China）

By the notions of proper mapping，admissible cover and so on，subadditive topological pressure of the compact system is generalized to the noncompact system.The notion of subadditive topological pressure is given and some properties of subadditive topological pressure of the noncompact system are studied.

the noncompact system，proper mapping，admissible cover，subadditive topological pressure

O189.1

A

1008-5513（2015）03-0265-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.007

2015-01-16.

國家自然科學基金（11301417）.

楊宇（1991-），碩士生，研究方向：拓撲動力系統及其遍歷理論.

2010 MSC：54A10