一個(gè)與小函數(shù)有關(guān)的微分多項(xiàng)式不等式估計(jì)

徐俊峰

（1.湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院，長沙湖南410082；2.五邑大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，江門廣東529020）

一個(gè)與小函數(shù)有關(guān)的微分多項(xiàng)式不等式估計(jì)

徐俊峰1，2

（1.湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院，長沙湖南410082；2.五邑大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，江門廣東529020）

利用精簡計(jì)數(shù)函數(shù)證明了關(guān)于φf2f（k）-1的定量估計(jì)不等式，這里f是一個(gè)超越亞純函數(shù)，φ是關(guān)于f的小函數(shù).此不等式推廣了以往的結(jié)果.

亞純函數(shù)；微分多項(xiàng)式；值分布；小函數(shù)

1　引言與定理

設(shè)f（z）是亞純函數(shù)，如果a（z）是一個(gè)非恒為零亞純函數(shù)滿足T（r，a）=S（r，f），這里S（r，f）=o（T（r，f））（r→∞），除了關(guān)于r的一個(gè)可能存在的有限例外集，稱a（z）是f（z）的小函數(shù).假設(shè)讀者熟悉值分布的相關(guān)理論（參考文獻(xiàn)［1-6］）.

定義1.1設(shè)k是一個(gè)正整數(shù)，a是任意一個(gè)復(fù)數(shù).Nk）（r，1/（f-a））表示關(guān)于f-a的零點(diǎn)重?cái)?shù)小于等于k的計(jì)數(shù)函數(shù)，N（k（r，1/（f-a））表示關(guān)于f-a的零點(diǎn)重?cái)?shù)大于等于k的計(jì)數(shù)函數(shù)，Nk（r，1/（f-a））表示關(guān)于f-a的零點(diǎn)重?cái)?shù)等于k的計(jì)數(shù)函數(shù).另外，與分別表示上述函數(shù)相應(yīng)的精簡計(jì)數(shù)函數(shù).

1982年，文獻(xiàn)［7］證明了下述結(jié)果.

自然地，當(dāng)n=2時(shí)上述定理對(duì)應(yīng)的情況怎么樣？最近，文獻(xiàn)［8］得到了一個(gè)關(guān)于f2f（k）-1的結(jié)果.

定理1.2設(shè)f是一個(gè)超越亞純函數(shù)及k是一個(gè)正整數(shù)，那么

注1.1事實(shí)上，文獻(xiàn)［9］證明了k=1的情況.文獻(xiàn)［8］證明了k≥2的情況.文獻(xiàn)［10］利用精簡計(jì)數(shù)函數(shù)改進(jìn)了定理1.2得到了如下結(jié)果.

定理1.3設(shè)f是一個(gè)超越亞純函數(shù)，k是一個(gè)正整數(shù).那么

當(dāng)k=1或k≥3時(shí)，M=6；當(dāng)k=2時(shí)，M=10.

對(duì)應(yīng)于定理1.1，自然地考慮f2f（k）-a（z）的值分布情況，這里a（z）是f（z）的一個(gè)小函數(shù).本文研究了這個(gè)問題得到了下述結(jié)果.

2　引理

為了證明主要的結(jié)果，引入下述引理.

假設(shè)z0是f的重?cái)?shù)為q的零點(diǎn)且是φ的重?cái)?shù)為t的極點(diǎn).

情況I假設(shè)t≤2q-1，如果q≤k，那么z0是（φf2f（k））′的重?cái)?shù)至少為2q-1-t的零點(diǎn)；如果q≥k+1，那么z0是（φf2f（k））′的重?cái)?shù)至少為3q-（k+1）-t的零點(diǎn).

情況II假設(shè)t≥2q，z0至多是φ2的極點(diǎn).因而有

由（3）-（6）式，有

下面，首先構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)來去掉（1）中極點(diǎn)的限制.

證明（I）如果H（z）≡0.通過對(duì)等式（7）兩邊的積分，有

這里C是一個(gè)非零的復(fù)常數(shù).

由（8）式知道f（z）的零點(diǎn)來自于φ（z）的極點(diǎn).如果f（z）存在一個(gè)零點(diǎn)z1，設(shè)z1是f（z）的零點(diǎn)具有重?cái)?shù)p（≥3），且為φ（z）的極點(diǎn)具有重?cái)?shù)q（≥1）.如果p＞2q，那么z1是φf2的零點(diǎn)具有重?cái)?shù)p-2q.因而C=0.這是一個(gè)矛盾，因而p≤2q，有

（8）式可以改寫為

也就是說

設(shè)Er=｛θ||f（z）|≤1；z=reiθ，θ∈［0，2π］｝.如果|f（z）|≤1，有

因而有

（II）設(shè)z2是f（z）的單極點(diǎn)而不是φ（z）的零點(diǎn)和極點(diǎn)，那么f（z）和φ（z）在z2的鄰域有下列展開式：

由此容易得到

將（10）式-（13）式代人（7）式，得到

因而z2是H（z）的零點(diǎn).即f（z）的單極點(diǎn)若不是φ（z）的零點(diǎn)和極點(diǎn)必為H（z）的零點(diǎn).

引理2.3設(shè)f是一個(gè)超越亞純函數(shù)，且k是一個(gè)正整數(shù).那么

引理2.4設(shè)f是一個(gè)超越亞純函數(shù)，且k是一個(gè)正整數(shù).那么

3　定理1.4的證明

分兩種情況證明：

情形1k=1.

情形2k≥2.

因而有

完成了定理1.4的證明.

［1］Hayman W.Meromorphic Functions［M］.Oxford：Clarendon Press，1964.

［2］Laine I.Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations［M］.New York：Walter de Gruyter，1993.

［3］徐俊峰，儀洪勛.微分方程的解和小函數(shù)的關(guān)系［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2010，53（2）：85-90.

［4］Yamanoi K.The second main theorem for small functions and related problems［J］.Acta Math.，2004，192：225-294.

［5］Yang L.Value Distribution Theory［M］.New York：Springer，1993.

［6］儀洪勛，楊重駿.亞純函數(shù)唯一性理論［M］.北京：科學(xué)出版社，1995.

［7］Doeringer W.Exceptional values of differential polynomials［J］.Pacific J.Math.，1982，98（1）：55-62.

［8］Huang X J，Gu Y X.On the value distribution of f2f（k）［J］.J.Aust.Math.Soc.2005，78：17-26.

［9］張慶德.亞純函數(shù)的一個(gè)增長性定理［J］.成都信息工程學(xué)院學(xué)報(bào)，1992，20：12-20.

［10］Xu J F，Yi H X，Zhang Z L.Some inequalities of differential polynomials II［J］.Mathematical Inequalities and Applications，2011，14（1）：93-100.

An inequality of differential polynomials related to small function

Xu Junfeng1，2
（1.Department of Mathematics，Hunan University，Changsha 410082，China；2.School of Mathematics and Computational Science，Wuyi University，Jiangmen529020，China）

In this paper，a quantitative estimate of the differential polynomials φf2f（k）-1 is obtained，where f is a transcendental meromorphic function，φ is a small function and k is a positive integer，by the reduced counting function when f has few simple zeros.This result improves the existed theorems.

meromorphic functions，differential polynomials，value distribution，small functions

O174.52

A

1008-5513（2015）05-0441-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.001

2015-03-10.

國家自然科學(xué)基金（11126327）；廣東省自然科學(xué)基金（9452902001003278）；廣東省高校優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)對(duì)象項(xiàng)目（Yq2013159）.

徐俊峰（1979-），博士后，教授.研究方向：主要從事復(fù)分析研究.

2010 MSC:30D35