巴拿赫代數上錐b-距離空間中壓縮映射不動點定理

李文娟，薛西鋒

（西北大學數學學院，陜西西安710127）

巴拿赫代數上錐b-距離空間中壓縮映射不動點定理

李文娟，薛西鋒

（西北大學數學學院，陜西西安710127）

給出了巴拿赫代數上錐b-距離空間的概念，利用迭代法探究了巴拿赫代數上錐b-距離空間中壓縮映射不動點定理，證明了廣義利普希茨映射在沒有正規性的條件下，仍存在不動點并且是唯一的.

巴拿赫代數上錐b-距離空間；廣義利普希茨映射；不動點定理；c-序列

1　引言

文獻［1］提出了巴拿赫代數上錐距離空間中廣義利譜希茨映射不動點定理，文獻［2］提出了巴拿赫代數上錐距離空間中在沒有正規性的條件下廣義利譜希茨映射不動點定理，文獻［3］提出了錐b-距離空間中壓縮映射不動點定理.在文獻［1-3］的基礎上，本文提出了巴拿赫代數上錐b-距離空間的概念，并得到了巴拿赫代數上錐b-距離空間中壓縮映射在沒有正規性的條件下仍存在唯一不動點，從而推廣了文獻［1-3］中的主要結果.

2　預備知識

設A是巴拿赫代數，θ和e分別為A的零元和單位元，取x∈A，若x的譜半徑r（x）＜1，則e-x可逆且設P是A中的一個錐，設x，y∈A，若和則稱“≤”和“?”都為A中的偏序.假定P是A中的體錐（即int P≠Φ）.

定義2.1設X是非空集，A是巴拿赫代數，s≥1為給定的實數，假設映射d：X×X→A，對于任意的x，y，z∈X，滿足：

（1）θ≤d（x，y），且d（x，y）=θ當且僅當x=y；

（2）d（x，y）=d（y，x）；

（3）d（x，y）≤s（d（x，z）+d（z，y）），

則稱（X，d）為巴拿赫代數A上的錐b-距離空間.

定義2.2設（X，d）是巴拿赫代數A上的錐b-距離空間，映射T：X→X稱為廣義利普希茨映射，如果存在向量k∈P并且r（k）＜1，對于任意的x，y∈X，有d（Tx，Ty）≤k（x，y）.

注2.1如果r（k）＜1，則‖kn‖→0（n→∞）.

定義2.3設（X，d）為巴拿赫代數A上的錐b-距離空間，x∈X，｛xn｝是X上一序列，則

（1）｛xn｝收斂于x當且僅當對于任意的c∈A并且θ?c，都存在自然數N，當n≥N時，有d（xn，x）?c，記為或xn→x（n→∞）；

（2）｛xn｝是柯西序列當且僅當對于任意的c∈A并且θ?c，都存在自然數N，當n，m≥N時，有d（xn，xm）?c；

（3）（X，d）是完備的，如果每個柯西序列都收斂.

引理2.1［4］設x，y，z∈A，如果x≤y且y?z，則x?z.

引理2.2［4］設P是一個錐，如果對于任意的c∈int P，有θ≤u?c，則u=θ.

引理2.3［5］設P是一個錐，如果‖xn‖→0（n→∞），則對于任意的c∈A并且θ?c，都存在自然數N，當n＞N時，有xn?c.

定義2.4［6］設P是巴拿赫空間中的一個體錐，序列｛xn｝?P稱為c-序列，如果對于任意的θ?c，都存在自然數N，使得當n≥N，有xn?c.

引理2.4［2］設（X，d）為巴拿赫代數A上完備的錐距離空間，P是A上的一個體錐，｛xn｝、｛yn｝?P，如果｛xn｝、｛yn｝都是c-序列，并且α，β＞0，向量k∈P，則｛αxn+βyn｝，｛kxn｝都是c-序列.如果｛xn｝收斂于x∈X，則｛d（xn，x）｝也是c-序列.

引理2.5［2］設A是巴拿赫代數，向量x，y，k∈A，如果x，y可交換，則下列式子成立：

（1）r（sx）=sr（x）；

（2）r（xy）≤r（x）r（y）；

（3）r（（e-k）-1）≤（1-r（k））-1，其中0≤r（k）＜1.

3　主要結果及其證明

定理3.1設（X，d）是巴拿赫代數A上完備的錐b-距離空間，系數s≥1，P是體錐，向量k∈P，其中假設映射T：X→X滿足廣義利譜希茨條件：

則T在X上存在唯一的不動點，并且對于任意的x∈X，迭代序列｛Tnx｝收斂于該不動點.

定理3.2設（X，d）是巴拿赫代數A上完備的錐b-距離空間，系數s≥1，P是體錐，向量k∈P，其中假設映射T：X→X滿足廣義利譜希茨條件：

則T在X上存在唯一的不動點，并且對于任意的x∈X，迭代序列｛Tnx｝收斂于該不動點.

［1］Liu H，Xu S Y.Cone metric spaces with Banach algebras and fixed point theorems of generalized Lipschitz mappings［J］.Fixed Point Theory and Applications，2013，DOI：10.1186/1687-1812-2013-320.

［2］Xu S Y，Stojan R.Fixed point theorems of generalized Lipschitz mappings on cone metric spaces over Banach algebras without assumption of normality［J］.Fixed Point Theory and Applications，2014，DOI：10.1186/1687-1812-2014-102.

［3］Huang H，Xu S Y.Fixed point theorems of contractive mapping in cone b-metric spaces and applications［J］.Fixed Point Theory and Applications，2013，DOI：10.1186/1687-1812-2013-112.

［4］Jankovic S，Kadelburg Z，Radenovic S.On cone metric spaces：a survey［J］.Nonlinear Analysis，2011，4（7）：2591-2601.

［5］Hussian N，Shah M H.KKM mappings in cone b-metric spaces［J］.Comput.Math.Appl.，2011，62（4）：1677-1684.

［6］Dordevi? M，Dori? D，Kadelburg Z，et al.Fixed point results under c-distance in tvs-cone metric spaces［J］.Fixed Point Theory Appl.2011，DOI：10.1186/1687-1812-2011-29.

Fixed point theorems of contraction mapping in cone b-metric spaces with Banach algebra

Li Wenjuan，Xue Xifeng

（College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China）

This paper introduces the concept of cone b-metric spaces with Banach algebras，by using iterative method we explore some fixed point theorems of contraction mapping in cone b-metric spaces with Banach algebra，and obtain some new fixed point theorems for the generalized Lipschitz mapping without the assumption normality.

cone b-metric spaces with Banach algebras，the generalized Lipschitz mapping，fixed point theorems，c-sequence

O177.91

A

1008-5513（2015）05-0537-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.015

2014-12-16.

陜西省自然科學基金（2012JM1017）.

李文娟（1990-），碩士生，研究方向：非線性泛函分析.

2010 MSC:60B12