置換空間PXXn的范數k-粗性

秦璇，蘇雅拉圖

（內蒙古師范大學數學科學學院，內蒙古呼和浩特010022）

置換空間PXXn的范數k-粗性

秦璇，蘇雅拉圖

（內蒙古師范大學數學科學學院，內蒙古呼和浩特010022）

利用Banach空間理論的方法，主要研究了k-粗性和k-強粗性從Banach空間Xn到置換空間PXXn上的提升問題，證明了這兩種k-粗性都可以在置換空間PXXn上得到提升.

置換空間；k-粗范數；k-強粗范數；k-點態粗范數

1　引言

Banach的凸性與光滑性研究是Banach空間幾何學的主要研究對象之一.為了研究光滑性較差的Banach空間范數的性質，文獻［1］提出并研究了粗范數這一概念，在此基礎上，文獻［2］中引進并討論了強粗范數這一概念，強粗范數是比粗范數更強的概念，即具有強粗范數的Banach空間的光滑性要比具有粗范數的Banach空間的光滑性差.這兩個概念在刻畫光滑性較差的Banach空間特征時起到了重要作用，它們也成為了研究光滑性較差的Banach空間的有力工具.文獻［3］中進一步研究了粗范數和強粗范數的特征刻畫及性質，完善了光滑性較差的Banach空間的研究.為了研究光滑性更差的Banach空間范數的性質，文獻［4-5］作為粗范數和強粗范數的相應推廣引入了k-粗范數與k-強粗范數（k=1時，1-粗范數與1-強粗范數分別等價于粗范數與強粗范數），研究了k-粗范數與k-強粗范數，并把k-粗性和k-強粗性提升到了Banach序列空間lp（Xi）.文獻［6］于1977年引入的置換空間是包含lp（Xi）在內的更廣泛的一類Banach空間，于是本文考慮了k-粗性和k-強粗性在置換空間PXXn上的提升問題，并對此問題得到了肯定的回答.

本文中，X表示Banach空間，S（X）和S（X?）分別表示X及X?的單位球面，對x∈X，令∑（x）=｛f∈S（X?）：f（x）=‖x‖｝，對x1，x2，···，xk+1∈S（X），令

2　定義及引理

定義2.1［4］Banach空間X的范數稱為k-粗的，若存在ε＞0，使?x∈S（X），f∈∑（x）和δ＞0，存在y1，···，yk∈S（X）及gi∈∑（yi），i=1，···，k，使得當‖yi-x‖＜δ時，有A（f，g1，g2，···，gk）≥ε.

定理2.1［4］Banach空間X的范數是k-粗的當且僅當對任意的x∈S（X），存在ε＞0和fn1，···，fnk+1∈S（X?），使得當

定理2.2［5］Banach空間X的范數稱為k-強粗的，若存在ε＞0，使?x∈S（X），f，g1，g2，···，gk∈∑（x），有

定理2.3［4］設X是Banach空間，x∈S（X）稱為范數的k-粗糙點，若存在ε＞0，使?f∈∑（x）和δ＞0，存在y1，···，yk∈S（X）及gi∈∑（yi），i=1，···，k，滿足

定義2.1［4］Banach空間X的范數稱為k-點態粗的，若S（X）的點是范數的k-粗糙點.

定義2.2［7］設X是有超正交基（xn）的空間，（Xn）是一列Banach空間，令

引理2.1［7］如果X有超正交基（xn），且（xn）的共軛序列是（X?）的基，則（x?n）是（X?）的超正交基且（PXXn）?等距同構于PX?X?n，即

3　主要結果

定理3.1 Xn的范數是k-粗的當且僅當PXXn的范數是k-粗的.

定理3.2 Xn的范數是k-強粗的當且僅當PXXn的范數是k-強粗的.

證明充分性是顯然的.

定理3.3Xn的范數是k-點態粗的當且僅當PXXn的范數是k-點態粗的.

證明證法與定理3.1類似.

［1］Leach E B，Whitfield J H M.Differentiable functions and rough norms on Banach spaces［J］.Proc.A.M.S，1972，33：120-126.

［2］John K，Zizler V.On rough norms on Banach spaces［J］.Comment.Math.Univ.Carolinae，1978，19：335-349.

［3］Godini G.Rough and strongly rough norms on Banach spaces［J］.Proc.of the Amer.Math.Soc.，1983，87：239-245.

［4］義徳日胡，蘇雅拉圖.Banach空間范數的k-點態粗性和k-粗性［J］.純粹數學與應用數學，2012，28（4）：553-558.

［5］義徳日胡，蘇雅拉圖，李婷婷.Banach序列空間的范數粗性［J］.寶雞文理學院學報：自然科學版，2012，3（8）：6-9.

［6］Partington J R.On the Banach-Saks property［J］.Proc.Cambridge Philos.Soc.，1977，82：369-374.

［7］束立生，王建華.置換空間的一些性質［J］.南京大學學報：數學半年刊，1994，11（1）：50-58.

The k-roughness on substitution space PXXn

Qin Xuan，Suyalatu

（College of Mathematics Sscience，Inner Mongolia Normal University，huhhot 010022）

Based on the method of Banach space theory，the lifting results of k-roughness and k-strongly roughness from Banach space Xnto substitution space PXXnare researched mainly.These two k-roughness are improved on substitution space PXXn.

substitution space，k-rough norm，k-strongly rough norm，k-pointwise rough norm

O178

A

1008-5513（2015）05-0518-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.012

2015-05-09.

國家自然科學基金（11561053）；內蒙古師范大學人才工程基金（RCPY-2-2012-K-034）.

秦璇（1991-），碩士生，研究方向：Banach空間理論.

2010 MSC:46B25