一類分數階奇異微分方程積分邊值問題正解的存在性

王曉，劉錫平，鄧雪靜

（上海理工大學理學院，上海200093）

一類分數階奇異微分方程積分邊值問題正解的存在性

王曉，劉錫平，鄧雪靜

（上海理工大學理學院，上海200093）

研究一類具有Riemann-Liouville導數的分數階奇異微分方程積分邊值問題的可解性.運用Guo-Krasnoselskii不動點定理，得到了奇異微分方程積分邊值問題正解的存在性定理.最后，給出了一個實例，用于說明所得結論的有效性.

分數階奇異微分方程；積分邊值問題；正解；不動點定理

1　引言

近年來，分數階微分方程廣泛地出現在現代科學研究與技術的各個領域，其理論研究備受關注［1］.由于在實際問題中常常遇到非線性項奇異的情況，因此，國內外學者對奇異微分方程的邊值問題進行了大量研究（見參考文獻［2-9］）.文獻［8］研究了非線性分數階微分方程滿足邊值條件u（0）=u（1）=u′（0）=u′（1）=0的邊值問題，分別在奇異和非奇異情況下，得到了邊值問題具有多個正解的存在性定理.

本文研究一類非線性奇異分數階微分方程

滿足積分邊界條件的非局部邊值問題正解的存在性，其中3＜α≤4，f是一個非負函數且f（t，x）可以在x=0處奇異，g1，g2∈L1［0，1］，Dα0+是標準的Riemann-Liouville分數階導數.運用Guo-Krasnoselskii不動點定理，得到了奇異積分邊值問題正解的存在性定理.

設函數f在［0，1］×（0，+∞）上有定義，且滿足：

1）對幾乎處處的t∈［0，1］，f（t，·）：（0，+∞）→［0，+∞）連續；

2）對所有的x∈（0，+∞），f（·，x）：［0，1］→［0，+∞）可測；

3）對任意r＞0，存在函數φr∈L1［0，1］，使得當0＜x≤r時，對幾乎處處的t∈［0，1］，有0≤f（t，x）≤φr（t）.則稱f在［0，1］×（0，+∞）上滿足Carath é odory條件，記作f∈Car（［0，1］×（0，+∞））.

2　預備知識及引理

有關分數階導數，分數階積分的定義及性質請參見文獻［1-2］.

引理2.1（Guo-Krasnoselskii定理［2，10］）設X為實賦范線性空間，K?X是錐，?1，?2? K為非空相對開集，且設F：?2→K為全連續算子，滿足：

1）‖F（x）‖≤‖x‖，?x∈??1；‖F（x）‖≥‖x‖，?x∈??2，或

2）‖F（x）‖≥‖x‖，?x∈??1；‖F（x）‖≤‖x‖，?x∈??2.則F在上存在不動點.

下面考慮滿足邊界條件（2）的分數階線性微分方程

由函數G（t，s）的定義（5）容易證明下面的引理成立.

引理2.3函數G（t，s）滿足如下性質：

1）G（t，s）＞0，t，s∈（0，1）；

2）（α-2）q（t）k（s）≤Γ（α）G（t，s）≤M0k（s）≤M0，t，s∈［0，1］；

3）G（t，s）在（t，s）∈［0，1］×［0，1］上連續.

3　奇異積分邊值問題正解的存在性

令P=｛x∈C［0，1］：x（t）≥0，t∈［0，1］｝，則P是C［0，1］中的錐，記表示L1［0，1］上的范數.

引理3.1設條件（H0）成立，則算子A具有如下性質：

1）A是有界線性算子；

2）A（P）?P；

3）I-A可逆；

引理3.2假設條件（H0），（H1）成立，則Φn：Pδ→Pδ為全連續算子.

定理3.1假設條件（H0），（H1）成立，則邊值問題（2）-（8）至少存在一個正解xn∈P0.

下面討論奇異邊值問題（1）-（2）正解的存在性.

定理3.2若條件（H0），（H1）成立，則邊值問題（1）-（2）至少存在一個正解.

4　應用舉例

本節應用前面所得到的結論，討論一個具體的奇異分數階微分方程邊值問題.

由定理3.2知，邊值問題（10）至少存在一個正解.

［1］Kilbas A A，Srivastava H M，Trujillo J J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations［M］.Amsterdam：Elsevier B.V，2006.

［2］白占兵.分數階微分方程邊值問題理論及應用［M］.北京：陜科學技術出版社，2012.

［3］張立新，王海菊.含積分邊界條件的分數階微分方程邊值問題的正解的存在性［J］.純粹數學與應用數學，2013，29（5）：450-457.

［4］Liu Xinping，Wu Guiyun.Existence of positive solutions for integral boundary value problem of fractional differential equations［J］.Journal of Shanghai Normal University：Natural Sciences：Mathematics，2014，43（5）：496-505.

［5］劉帥，賈梅，秦小娜.帶積分邊值條件的分數階微分方程解的存在性和唯一性［J］.上海理工大學學報，2014，36（5）：409-415.

［6］金京福，劉錫平，竇麗霞，等.分數階積分微分方程邊值問題正解的存在性［J］.上海理工大學學報，2011，49（5）：824-828.

［7］Bai Zhanbing，Sun Weichen.Existence and multiplicity of positive solutions for singular fractional boundary value problems［J］.Computers and Mathematics with Applications，2012，63（9）：1369-1381.

［8］Xu Xiaojie，Jiang Daqing，Yuan Chengjun.Multiple positive solutions for the boundary value problem of a nonlinear fractional differential equation［J］.Nonlinear Analysis TMA，2009，71（10）：4676-4688.

［9］Agarwal R P，O′Regan D，Stanek S.Positive solutions for Dirichlet problems of singular nonlinear fractional differential equations［J］.J.Math.Anal.Appl.，2010，371（1）：57-68.

［10］郭大鈞，孫經先，劉兆理.非線性常微分方程泛函方法［M］.濟南：山東科學技術出版社，2006.

The existence of positive solutions for a class of fractional singular differential equations with integral boundary conditions

Wang Xiao，Liu Xiping，Deng Xuejing

（College of Science，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai200093，China）

This paper investigates the solvability for a class of fractional singular differential equations involving the Riemann-Liouville fractional derivative with integral boundary conditions.By means of Guo-Krasnoselskii fixed point theorem，the existence theorems of positive solutions for the boundary value problem are established.Finally，an example is presented to illustrate the main results.

fractional singular differential equation，integral boundary value problem，positive solution，fixed point theorem

0175.8

A

1008-5513（2015）05-0509-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.011

2015-03-01.

國家自然科學基金（11171220）；滬江基金（B14005）.

王曉（1989-），碩士生，研究方向：常微分方程理論與應用.

劉錫平（1962-），碩士，教授，研究方向：常微分方程理論與應用.

2010 MSC:34B08，34B18，26A33