JB∞-環(huán)

孫曉青，田徑，肖燕婷

（西安理工大學(xué)數(shù)學(xué)系，陜西西安710054）

JB∞-環(huán)

孫曉青，田徑，肖燕婷

（西安理工大學(xué)數(shù)學(xué)系，陜西西安710054）

研究了JB∞-環(huán)，即滿足R/J（R）是QB∞-環(huán)，得到了很多JB∞-環(huán)的判定條件：R是JB∞-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意滿足條件aR+bR=R的a，b∈R，存在y∈R使得當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意滿足條件aR+bR=dR的a，b，d∈R，存在使得a+by=du.另外還討論了替換環(huán)是JB∞-環(huán)的充分必要條件，這些結(jié)論對(duì)QB∞-環(huán)提供了一些研究基礎(chǔ).

QB∞-環(huán)；JB∞-環(huán)；替換環(huán)

1　引言

1964年文獻(xiàn)［1］中給出了具有穩(wěn)定秩1的環(huán)的定義，如果對(duì)任意滿足條件aR+bR=R的a，b∈R，存在y∈R使得a+by∈U（R），那么稱環(huán)R具有穩(wěn)定秩1.這類環(huán)對(duì)研究代數(shù)K-理論有重要的意義，許多學(xué)者從不同的角度研究了這類環(huán)（見(jiàn)文獻(xiàn)［2-4］）.Ara在文獻(xiàn)［5］中提出了一類具有穩(wěn)定秩條件的無(wú)限環(huán)-QB-環(huán).受QB-環(huán)的啟發(fā)，文獻(xiàn)［6］研究了QB∞-環(huán).令

環(huán)R是局部環(huán)，指的是滿足條件R/J（R）是除環(huán).環(huán)R是半完備環(huán)，指的是滿足條件R/J（R）是artinian環(huán)且冪等元提升模J（R）.環(huán)R是半正則環(huán)，指的是滿足條件R/J（R）是正則環(huán)且冪等元提升模J（R）.環(huán)R是JB-環(huán)，指的是滿足條件R/J（R）是QB-環(huán).由此可見(jiàn)，環(huán)R和R/J（R）之間既有區(qū)別又有密切關(guān)系.

本文研究了JB∞-環(huán)，即滿足R/J（R）是QB∞-環(huán)，得到了很多JB∞-環(huán)的判定條件，R是JB∞-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意滿足條件aR+bR=R的a，b∈R，存在y∈R使得當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意滿足條件aR+bR=dR的a，b，d∈R，存在y∈R，u∈R-1∞使得a+by=du，其中=｛u∈R|存在a，b∈R使得（1-ua）?（1-bu）｝.另外也討論了替換環(huán)是JB∞-環(huán)的充分必要條件.該文中環(huán)是含單位元的結(jié)合環(huán)，理想是雙邊理想，模是指右模.令U（R）是R的可逆元的集合，J（R）是R的Jacobson根.環(huán)R的元素a是正則元指的是：如果存在b∈R滿足a=aba.

2　JB∞-環(huán)

如果存在m∈N使得（RxRyR）m?J（R），那么稱x，y是J-偽正交的，記作x?y.記=｛u∈R|存在a，b∈R使得（1-ua）?（1-bu）｝.類似于文獻(xiàn)［6］的引理2.1可知，當(dāng)且僅當(dāng)存在v∈R滿足（1-uv）?（1-vu）且u≡u(píng)vu，v≡vuv（mod J（R））.如果R/J（R）是QB∞-環(huán)，那么稱R是JB∞-環(huán).下面是JB∞-環(huán)的若干判定條件.

定理2.1設(shè)R是環(huán).則下列條件等價(jià)：

（1）R是JB∞-環(huán)；

（2）對(duì)任意滿足條件aR+bR=R的a，b∈R，存在y∈R使得

（3）對(duì)任意滿足條件Ra+Rb=R的a，b∈R，存在z∈R使得

推論2.1設(shè)R是環(huán).則下列條件等價(jià)：

（1）R是JB∞-環(huán)；

（2）對(duì)任意滿足條件aR+bR=dR的a，b，d∈R，存在y∈R，使得a+by=du；

（3）對(duì)任意滿足條件Ra+Rb=Rd的a，b，d∈R，存在z∈R ，使得a+zb=ud.

證明（1）?（2）設(shè)aR+bR=dR，則存在x，y，s，t∈R使得ax+by=d，a=ds，b=dt.因此dsx+dty=d.因?yàn)閟x+ty+（1-sx-ty）=1，所以存在z∈R使得u：=s+tyz+（1-sx-ty）z∈由此du=ds+dtyz=a+byz.

（2）?（1）由定理1.1易見(jiàn).

（1）?（3）類似于（1）?（2）的證明.

由推論2.1知，如果R是JB∞-環(huán)，那么aR=bR暗示著存在使得a=bu.

引理2.1設(shè)R是JB∞-環(huán).若x=xyx，則存在使得x=xyu=uyx.

證明假設(shè)x=xyx，令z=yxy，則有x=xzx，z=zxz.因?yàn)閤z+（1-xz）=1，由定理1.1知，存在t∈R使得v：=x+（1-xz）t∈從而z=zvz.

設(shè)u=（1-xz-vz）v（1-zx-zv），容易驗(yàn)證（1-xz-vz）2=1=（1-zx-zv）2，故有又因?yàn)?/p>

所以x=xzu=x（yxy）u=xyu且x=uzx=u（yxy）x=uyx.

文獻(xiàn)［10］中指出環(huán)R的元素a，b，如果存在x，y∈R使得a=xby，b=yax，x=xyx，y=yxy，那么稱a和b是偽相似的，記作

定理2.2設(shè)R是JB∞-環(huán)且a，b∈R.若則存在使得au=ub.

證明由已知存在x，y∈R使得a=xby，b=yax，x=xyx，y=yxy，根據(jù)引理2.1，存在使得x=xyu=uyx.易驗(yàn)證

因此

故au=xb=ub.

推論2.2設(shè)R是JB∞-環(huán)且e，f是R的冪等元.若則存在使得eu=uf.

證明由已知eR≌f(shuō)R得存在a∈eRf，b∈fRe滿足e=ab，f=ba.因此

3　替換環(huán)

環(huán)R為替換環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意a∈R，存在冪等元e∈aR使得1-e∈（1-a）R.本節(jié)研究替換環(huán)是JB∞-環(huán)的充分必要條件.

定理3.1設(shè)R是替換環(huán).則下列條件等價(jià)：

（1）R是JB∞-環(huán)；

推論3.1設(shè)R是替換環(huán).則下列條件等價(jià)：

（1）R是JB∞-環(huán)；

引理3.1設(shè)R是環(huán).則下列條件等價(jià)：

定理3.2設(shè)R是替換環(huán).則下列條件等價(jià)：

（1）R是JB∞-環(huán)；

推論3.2設(shè)R是替換環(huán).則下列條件等價(jià)：

（1）R是JB∞-環(huán)；

綜上，因環(huán)R和R/J（R）之間既有區(qū)別又有密切關(guān)系.本文研究的JB∞-環(huán)對(duì)QB∞-環(huán)的研究有重要意義.得到了JB∞-環(huán)的判定條件，以及替換環(huán)是JB∞-環(huán)的充分必要條件，這些結(jié)論對(duì)QB∞-環(huán)提供了一些研究基礎(chǔ).

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On JB∞-rings

Sun Xiaoqing，Tian Jing，Xiao Yanting
（School of Science，Xi′an University of Technology，Xi′an710054，China）

In this paper，we are intended to investigate JB∞-ring，which is provided that R/J（R）is a QB∞-ring.Various necessary and sufficient conditions，under which a ring is a JB∞-ring are established.R is JB∞-ring if and only if whenever aR+bR=R with a，b∈R，there exists a y∈R such that a+by∈if and only if whenever aR+bR=dR with a，b，d∈R，there exist y∈R ，such that a+by=du.Moreover，we characterize exchange JB∞-ring.These results enrich the research of QB∞-ring.

QB∞-ring，JB∞-ring，exchange ring

O153

E

1008-5513（2015）05-0449-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.002

2013-12-03.

國(guó)家自然科學(xué)基金（61402364）；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃（2015JM1039）；陜西省教育廳科學(xué)研究計(jì)劃（2014JK1544）.

孫曉青（1984-），博士，講師，研究方向：代數(shù)學(xué).

2010 MSC:16E50