關于雙參數廣義三角函數與雙曲函數的不等式

尹櫪，黃利國

（濱州學院數學系，山東濱州256603）

關于雙參數廣義三角函數與雙曲函數的不等式

尹櫪，黃利國

（濱州學院數學系，山東濱州256603）

利用經典的Bernoulli不等式，通過初等解析方法與不等式理論建立了帶雙參數廣義三角函數與雙曲函數的Grünbaum型不等式；另外，還得到了推廣超幾何級數3F2的兩個雙邊不等式.

不等式；廣義三角函數與雙曲函數；推廣超幾何級數

1　引言

帶參數的廣義三角函數與雙曲函數的研究是最近發展起來的一個新課題.文獻［1］引入了廣義三角函數（如：sinp）的定義.當p=2時，這些函數包含了通常的三角函數.2010年，文獻［2］發展了一套計算sinp的數值方法.最近，文獻［3］介紹了（p，q）-三角函數的定義，并研究相關的性質和不等式.目前，國內外越來越多的科研工作者展開了對此領域的研究［3-8］.

定義高斯超幾何函數如下：

其中a，b，c為復數，c≠0，-1，-2，···，（a，0）=1（a≠0），（a，n）=a（a+1）···（a+n-1）.容易知道，一些常見的函數和（p，q）-三角函數都是高斯超幾何函數的特殊情況，具體表示見文獻［10］.

定義帶雙參數廣義反正弦與反雙曲函數arcsinpqx與arcsinhpqx如下：

其中p＞1，q＞1，x∈（0，1）.之后，通過定義其反函數并連續延拓到R，可以定義（p，q）-三角函數如sinpqx，cospqx，sinhpqx，coshpqx等，詳見文獻［4］.

推廣的超幾何級數3F2定義如下：

易知此級數當|z|＜1時收斂.

2　主要結果

引理2.1［7］設f：（a，+∞）→R，（a＞0）.函數上的單調遞增函數，令h（x）=f（x2），則Grünbaum不等式

成立.其中x，y≥a且z2=x2+y2.若g為（a，+∞）上的單調遞減函數，則

引理2.2［4］當p＞1，q＞1時，對任意x∈（0，1），有

定理2.1當p＞1，q＞1時，對任意x，y，z∈（0，1），只要滿足z2=x2+y2，則有Grünbaum型不等式

成立.

定理2.2當p＞1，q≥2時，對任意x，y，z∈（0，1）且滿足z2=x2+y2時，有

下面推導兩種不同類型的推廣超幾何函數3F2（或clausen函數）的上、下界.其主要思想是通過考慮和差形式arcsinpqx±arcsinhpqx，利用推廣三角函數的上、下界來進行估計.

定理2.3當p＞1，q＞1時，對任意x∈（0，1），有

定理2.4當p＞1，q＞1時，對任意x∈（0，1），有

注2.2推廣超幾何函數3F2的研究已有一些成果，如文獻［10-12］，但是估計上下界的成果并不多.值得注意的是Karp得到了推廣超幾何函數q+1Fq的一些估計［13］.

在文獻［7］中，Baricz等利用單參數廣義三角函數與雙曲函數的估計給出了一種特殊形式下3F2的上下界，本文結果推廣了上述情況.

3　一些新的研究問題

（1）對于三角函數，有簡單的倍角公式sin（2x）=2sinxcosx，自然希望把此公式推廣到帶參數的廣義三角函數中去.目前唯一的結果是Edmunds-Gurka-Lang等式，這個公式巧妙的利用了Jacobi橢圓函數的性質處理了這種特殊情況.即

一般情況下還沒有解決.

（2）廣義三角函數與雙曲函數的Turán型不等式，這個課題已有一些結果，但仍有很多猜想沒有解決，讀者可參看文獻［7，13］.

（3）廣義三角函數與雙曲函數的各類平均不等式.目前，對于冪平均（Power mean）、對數平均（Logarithmic mean）和恒等平均（Identic mean）等已有研究（可見文獻［6，14-15］）.

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Some inequalities for the generalized trigonometric and hyperbolic functions with two parameters

Yin Li，Huang Liguo

（Department of Mathematics，Binzhou University，Binzhou256603，China）

In this paper，we present some Grünbaum type inequalities for the generalized trigonometric and hyperbolic functions with two parameters by applying classical Bernoulli inequality.Meanwhile，we obtain two bilateral inequalities for the generalized hypergeometric function3F2.

inequality，generalized trigonometric and hyperbolic functions，generalized hypergeometric function

O178

A

1008-5513（2015）05-0474-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.006

2014-11-09.

國家自然科學基金（11401041）；濱州學院科研基金（BZXYL1303，2013Y02）.

尹櫪（1979-），碩士，講師，研究方向：特殊函數的不等式及其應用.

2010 MSC:33B10