推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)的Simpson型不等式

李玉嬌，杜廷松，2

（1.三峽大學(xué)理學(xué)院，湖北宜昌443002；2.武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過(guò)程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢430081）

推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)的Simpson型不等式

李玉嬌1，杜廷松1，2

（1.三峽大學(xué)理學(xué)院，湖北宜昌443002；2.武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過(guò)程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢430081）

提出了一個(gè)稱為推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)的新概念.在此基礎(chǔ)上，針對(duì)三階導(dǎo)函數(shù)是推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)，建立了一些新的Simpson型積分不等式，并應(yīng)用這些不等式導(dǎo)出了一些特殊均值不等式.

凸函數(shù)；推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)；Simpson型不等式

1　引言

設(shè)f：［a，b］→R在（a，b）上是一個(gè)四次連續(xù)可微映射，即

則下面的不等式成立：

眾所周知，這是經(jīng)典的Simpson型不等式.已有眾多學(xué)者對(duì)其作了廣泛研究.例如，文獻(xiàn)［1］介紹了凸函數(shù)的Simpson型不等式；文獻(xiàn)［2］建立了s-凸函數(shù)的Simpson型不等式；文獻(xiàn)［3］對(duì)三階導(dǎo)函數(shù)是推廣的s-凸函數(shù)做了研究，并建立了一些Simpson型積分不等式；文獻(xiàn)［4］研究了一類（α，m）-凸函數(shù)的Simpson型不等式.

最近，已有一些學(xué)者關(guān)注到了GA-凸函數(shù)和（s，m）-凸函數(shù)的Hadamard型不等式，比如，文獻(xiàn)［5］和文獻(xiàn)［6］研究了GA-s-凸函數(shù)，建立一些GA-s-凸函數(shù)的Hadamard型不等式；文獻(xiàn)［7］針對(duì)二次可微的（α，m）-GA-凸函數(shù)構(gòu)造了新的Hermite-Hadamard-like型不等式；文獻(xiàn)［8］對(duì)推廣的（s，m）-凸函數(shù)的Hadamard型不等式也進(jìn)行了研究.此外，廣義凸函數(shù)相關(guān)類型的不等式以及Simpson型不等式的改進(jìn)和推廣研究可參看文獻(xiàn)［9-16］.

受文獻(xiàn)［6］中GA-s-凸函數(shù)以及文獻(xiàn)［8］中關(guān)于推廣的（s，m）-凸函數(shù)的Hadamard型不等式研究的啟發(fā)，先將GA-s-凸函數(shù)的概念拓展到推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)，再結(jié)合文獻(xiàn)［3］中推廣的s-凸函數(shù)的Simpson型不等式的構(gòu)造思想，本文研究了一類推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)的Simpson型不等式.需要強(qiáng)調(diào)的是，盡管本文與文獻(xiàn)［7］均考慮的是GA-凸函數(shù)，但是本文研究的是推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)的Simpson型不等式，而文獻(xiàn)［7］中研究的是GA-（α，m）-凸函數(shù)的Hadamard型不等式.另外，本文與文獻(xiàn)［8］均涉及到推廣的（s，m）-凸函數(shù)，但文獻(xiàn)［8］考慮的是推廣的（s，m）-凸函數(shù)的Hadamard型不等式，而本文是對(duì)推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)的Simpson型不等式進(jìn)行研究.

2　預(yù)備知識(shí)

本文中，考慮實(shí)區(qū)間I?R，R0=［0，∞），I?表示區(qū)間I的內(nèi)部.

定義2.1［13］函數(shù)f：［0，b］→R被稱為第二種意義下的（s，m）-凸函數(shù)，如果對(duì)任意的x，y∈［0，b］，t∈［0，1］且（s，m）∈（0，1］2，有下面的不等式成立：

定義2.2［8］函數(shù)f：［0，b］→R被稱為推廣的（s，m）-凸函數(shù)，如果對(duì)任意的x，y∈［0，b］，λ∈（0，1）且（s，m）∈［-1，1］×（0，1］，有下面的不等式成立：

定義2.3［7］函數(shù)f：I?R0→R被稱為I上的GA-凸函數(shù)，如果對(duì)任意的x，y∈I且t∈［0，1］，有下面的式子成立：

其中xty1-t稱為正實(shí)數(shù)x和y的加權(quán)幾何平均，tf（x）+（1-t）f（y）稱為f（x）和f（y）的加權(quán)算術(shù)平均.

3　（s，m）-GA-凸函數(shù)和引理

首先，介紹一個(gè)稱為推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)的新概念.

定義3.1函數(shù)f：［0，b］→R被稱為推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)，如果對(duì)任意的x，y∈［0，b］，t∈［0，1］且（s，m）∈［-1，1］×（0，1］，有下面的不等式成立：

注3.1當(dāng)s∈（0，1］，m=1時(shí)，上面定義的推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)即是文獻(xiàn)［5-6］中定義的GA-s-凸函數(shù).

為了建立并證明本文主要結(jié)果，我們需要下面的引理.

引理3.1［3］設(shè)f：I?R→R是定義在I?上的一個(gè)三次可微映射，a，b∈I且a＜b.如果f′′∈L［a，b］，則有下面的式子成立：

引理3.2［14］對(duì)于任意的t∈［0，1］，a，b＞0，有

4　主要結(jié)果

下面提出并證明我們的主要結(jié)果.

定理4.1設(shè)f：I?R0→R是定義在I?上的一個(gè)可微映射，a，b∈I且0＜a＜b＜∞，且在［a，b］上遞減.如果是定義在上的推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)，s∈［-1，1］且q≥1，則

（1）當(dāng)-1＜s≤1時(shí)，有

（2）當(dāng)s=-1時(shí)，有

推論4.1在定理4.1中，

推論4.2在定理4.1中，

定理4.2設(shè)f：I?R0→R是定義在I?上的一個(gè)可微映射，a，b∈I且0＜a＜b＜∞，f′′∈L［a，b］且|f′′|在［a，b］上遞減.如果|f′′|q是定義在上的推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)，s∈（-1，1］且q＞1，則

是著名的Beta函數(shù)，其中x＞0，y＞0.

證明類似定理4.1的證明方法，并利用H?lder積分不等式，可得

推論4.3在定理4.2中，當(dāng)s=1且m=1，則

定理4.3設(shè)f：I?R0→R是定義在I?上的一個(gè)可微映射，a，b∈I且0＜a＜b＜∞，f′′∈L［a，b］且|f′′|在［a，b］上遞減.如果|f′′|q是定義在上的推廣的（s，m）-GA-凸函數(shù)，s∈（-1，1］且q＞1，則

證明類似定理4.2的證明方法，用H?lder積分不等式的另外一種形式，有

推論4.4在定理4.3中，當(dāng)s=1且m=1，則

5　應(yīng)用

命題5.1設(shè)f：［a，b］→R，0＜a＜b，0＜r＜1且q≥1，則

命題5.2設(shè)f：［a，b］→R，0＜a＜b，0＜r＜1且q＞1，則

命題5.3設(shè)f：［a，b］→R，0＜a＜b，0＜r＜1且q＞1，則

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On Simpson type inequalities for functions whose derivatives are extended（s，m）-GA-convex functions

Li Yujiao1，Du Tingsong1，2

（1.College of Science，China Three Gorges University，Yichang 443002，China；2.Hubei Province Key Laboratory of System Science in Metallurgical Process，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430081，China）

Firstly，the authors propose a new concept，which called extended（s，m）-GA-convex function.Then，we establish some new inequalities of Simpson type for functions whose third derivatives are extended（s，m）-GA-convex functions，and apply these inequalities to derive some inequalities of special means.

convex function，extended（s，m）-GA-convex functions，Simpson type inequality

O178；O174.6

A

1008-5513（2015）05-0487-11

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.008

2015-03-15.

國(guó)家自然科學(xué)基金（61374028）；湖北省自然科學(xué)基金（2013CFA131）；三峽大學(xué)培優(yōu)基金（2015PY075）.

李玉嬌（1989-），碩士生，研究方向：分析不等式和凸分析.

杜廷松（1969-），碩士，教授，研究方向：凸分析及最優(yōu)化理論與算法.

2010 MSC:26D15，26D10