《初等數學研究》課程教學的實踐與探索

和玉梅　陳映明　趙建紅　楊麗星

《初等數學研究》是麗江師專數學教育專業的一門重要的專業基礎課程，通過本課程的學習，使學生學會用現代數學來考察傳統的初等數學并對初等數學系統歸納深化、思想方法分類總結，對初等數學的一些主要專題進行深入研究；理解“中學數學”的理論基礎；靈活運用數學思想方法；探討與延伸一些初等數學問題，使學習者能“居高臨下”，而且能形成較穩固的數學觀念、掌握數學方法，提高自身解決問題的能力。更重要的是使學生掌握中小學數學教學所需的初等數學的基礎理論、基本知識和基本技能；了解中小學數學的內容和知識結構；在數學思想上得到啟發，在數學方法上得到初步培訓，為教好中小學數學打下較堅實的基礎。多年來我從事《初等數學研究》課程的教學，通過不斷的實踐與探索，積累了一些經驗，現與大家共享。

1 通過一題多解，培養學生的解題能力

一題多解是從不同的角度，不同的方位審視分析同一題中的數量關系，用多種方法解答同一道數學題.教學中適當的一題多解，用不僅能更牢固地掌握和運用所學知識，而且，通過一題多解，分析比較，尋找解題的最佳途徑和方法，可以激發學生去發現和去創造的強烈欲望，加深學生對所學知識的深刻理解，訓練學生對數學思想和數學方法的嫻熟運用，鍛煉學生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨創性，從而培養學生的思維品質，發展學生的創造性思維.多做一些一題多解的練習題，對鞏固知識，增強解題能力，提高學習成績大有益處。

由（1）（2）知，命題成立。

2 滲透數學思想和方法

數學思想是指人們對數學理論和內容的本質的認識，數學方法是數學思想的具體化形式，實際上兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通常混稱為“數學思想方法”。常見的數學四大思想為：函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合。而基本的數學方法有：代人法、配方法、換元法、消元法、待定系數法、面積法、反證法、同一法、分析法、綜合法、歸納法、演繹法、類比法、拆項法、割補法、面積法、截長補短法、特殊化、一般化、數學模型等。下面通過舉例介紹幾種數學思想方法

2.1 數形結合思想

所謂數形結合是指抽象的數學語言與形象直觀的圖形結合起來，從而實現由抽象向具體轉化的一種思維方式 數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。

2.2 轉換思想

所謂轉化思想是指一種研究對象在一定條件下轉化為另一為另一種研究對象的思維方式。轉化思想是數學思想方法的核心，其它數學思想方法都是轉化的手段或策略把新問題轉化為原來研究過的問題，如有理數減法轉化為加法，除法轉化為乘法等（2）把復雜的問題轉化為簡單的問題，新問題用已有的方法等。

2.3 公理化思想

所謂數學公理化方法，就是從盡可能少的無定義的原始概念（基本概念）和一組不證自明的命題（基本公理）出發，利用純邏輯推理法則，把一數學建立成為演繹系統的一種方法。

例如：學習研究數系的時候，通過皮亞諾自然數的公理化定義，體會公理化的思想方法，通過構建平面幾何知識的完整體系，來了解歐幾里得《幾何原本》的公理化思想，進一步理會公理化思想方法在數學中的應用以及在人類科學中的應用。

所有數學思想方法的滲透不是一朝一夕的就能實現的而要貫穿整個教學過程中，因此我們做了下面的嘗試：

（1）在知識的形成過程中滲透數學思想方法。數學知識的發生過程實際上也是數學思想方法的發生過程，任何一個概念，都經歷著由感性到理性的抽象概括過程；任何一個規律，都經歷著由特殊到一般的歸納過程，如果我們把這些認識過程返璞歸真，在教師的引導下，讓學生以探索者的姿態出現，去參與概念的形成和規律的揭示過程，學生獲得的就不僅是數學概念、定理、法則，更重要的是發展了抽象概括的思維和歸納的思維，還可以養成良好的思維品質。因此，概念的形成過程、結論的推導過程、規律的被揭示過程都是滲透數學思想方法的極好機會和途徑。

（2）在問題的解決過程中滲透數學思想方法。問題是數學的心臟，數學問題的解決過程，實質是命題的不斷變換和數學思方法的反復運用過程。數學思想方法是數學問題的解決觀念性成果，它存在于數學問題的解決之中，數學問題的步步轉化，無不遵循數學思想方法指示的方向。因此，通過問題解決，以培養數學意識，構造數學模型，提供數學想象；伴以實際操作，可以誘發創造動機，可以把數學嵌入活的思維活動之，并不斷在學數學、用數學的過程中，引導學生學習知識、掌握方法、形成思想，促進思維能力的發展。數學問題的解決過程是用“不變”的數學思想和方法去解決不斷“變換”的數學命題，在數學問題的解決過程中滲透數學思想和方法，不僅可以加快和優化問題解決的過程，而且還可以達到會一題而明一路，通一類的效果。

（3）在復習與小結中提煉、概括數學思想方法。小結與復習是數學教學的一個重要環節，揭示知識之間的內在聯系以及歸納、提煉知識中蘊含的數學思想方法是小結與復習的功能之一。數學的小結與復習，不能僅停留在把已學的知識溫記憶一遍的要求上，而要去努力思考新知識是怎樣產生、展開和證明的，其實質是什么？怎樣應用它等。小結與復習是對知識進行深化、精煉和概括的過程，它需要通過手和腦積極主動地開展活動才能達到。因此，在這個過程中，提供了發展和提高能力的極好機會，也是滲透數學思想方法的極好機會與途徑。學生學完一個單元的內容，應該在整體上對該單元的內容有一個清晰、全面的認識。因此，在小結與復習時應該提煉、概括這一單元知識所涉及的數學思想方法；并從知識發展的過程來綜觀數學思想方法所起的作用，以新的更為全面的觀點分析所學過的知識；從數學思想方法的角度進行提高與精練。由于同一內容可以體現不同的數學思想方法，而同一數學思想方法又常常蘊含在許多不同的知識點里，因此在小結與復習時，還應該從縱橫兩方面整理出數學思想方法及其系統。

3 以點帶面，構建初等數學研究的知識結構形成體系

一般來說，數學專業的學生中學數學知識掌握較好，教學中沒有必要把中學數學知識從頭到尾、面面俱到地講解。關鍵是將相關知識梳理形成體系，相互融合。另一方面，時間也不允許。例如，在學習尺規作圖的時候，先復習基本的尺規作圖方法：然后邊作圖邊復習作圖時用到的幾何知識，如兩點確定一條直線，全等三角形的判斷與性質，平行線截線段成比例定理、射影定理、角平分線定理、線段的垂直平分線定理，弦切角定理，比例線段、最后再來初等幾何變換：平移變換、軸對稱變換、旋轉變換、位似變換及其作圖。比如：畫三角形的內切圓和旁切圓的時候，先讓學生回憶角平分線的概念及其性質；作兩線段的比例中項，先讓學生回憶比例線段的概念，相似三角的判斷與性質以及射影定理。這樣教學，不僅掌握了作圖方法、還將平面幾何的知識梳理形成體系。

4 精心選擇例題

例題要主題明確，集中反映所要傳授的知識的核心部分。例題盡量要求方法上具有開放性，能夠從多角度、用多種方法予以解決，能夠舉一反三，培養學生思維的開闊性和靈活性。例題要有一定的難度，可以選用數學競賽題、高考題、中考題等。當然也不能太難讓學生無從下手。例題盡量要求內容上具有綜合性，能夠匯聚多個知識點，溝通數學內部的聯系。

總之，我校《初等數學研究》課程教學通過我們的努力取得了一些成績比如有些畢業生教師上崗和特崗考試取得好的數學成績，然而《初等數學研究》研究還在實踐和探索中，已有的探索還有些不成熟，課程內容變動也比較大，也還形不成體系，但起步總是可貴的，相信通過我們的努力，認真學習和借鑒其他高師院校的先進經驗深人中小學數學教學調查研究，并結合我校的具體情況和學生的實際水平，我們的教學會進展并取得實效。

【參考文獻】

[1]張奠宙，沈文選.中學幾何研究[M].高等教育出版社，2006.

[2]雷君，畢曉欣.三點一測叢書[M].科學出版社，龍門書局，1998.

[3]木振武，楊蘭軍.《標準》意義下的初等數學研究[M].云南人民出版社，2009.

[4]和玉梅.用面積法證線段間的關系[J].科技視界，2012（28）.

[5]和玉梅.數學分類思想及其應用[J].科技致富向導，2015（14）.

[責任編輯：湯靜]