排列、組合問題的破解之術

安榮

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2015）20-0052-02

排列、組合問題是高中數學中的重、難點之一，也是求解古典概型的基礎，這一類問題不僅內容抽象、解法靈活，而且在解決過程中極易出現“重復”或“遺漏”等錯誤，所以我們在解決此類問題時要不斷積累經驗，總結解題規律，掌握解題技巧。

排列組合問題，通常都是出現在選擇題或填空題中，或結合概率統計綜合出題，它聯系實際，生動有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握。實踐證明，解決問題的有效方法是：題型與解法歸類、識別模式、熟練運用。

下面就逐一談談破解常見排列、組合模型的基本思路：

一、處理排列組合應用題的一般步驟為

①明確要完成的是一件什么事（審題）；

②有序還是無序；

③分步還是分類。

二、處理排列組合應用題的規律

兩種思路：直接法，間接法。

兩種途徑：元素分析法，位置分析法。

三、常見的解題方法

1.特殊元素、特殊位置——優先法

對于有特殊要求的元素的排列、組合問題，一般應對有特殊要求的元素優先考慮。

例1 將數字1，2，3，4，5，6排成一列，記第i個數為ai（i=1，2…，6），若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1

解析：由題意，a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1

第一步，可以先排a1，a3，a5，只有5種方法；

第二步，再排a2，a4，a6，有A33種方法；

由乘法原理得，不同的排列方法有5A33=30（種）。

答案：30

2.相鄰問題——捆綁法

把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列。

例2 記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（ ）

A.1440種 B.960種 C.720種 D.480種

解析：先將兩位老人排在一起有A種排法，再將5名志愿者排在一起有A種排法，最后將兩位老人插入5名志愿者間的4個空位中有C種插入方法，由分步乘法計數原理可得，不同的排法有A·A·C=960（種）。

答案：B

3.不相鄰問題——插空法

某些元素不能相鄰或某些元素要在某個特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間。

例3 高三（1）班需要安排畢業晚會的4個音樂節目，2個舞蹈節目和1個曲藝節目的演出順序，要求兩個舞蹈節目不連排，則不同排法的種數是（ ）

A.1800 B.3600 C.4320 D.5040

解析：先排4個音樂節目和1個曲藝節目有A種方法，這5個節目之間以及兩端共有6個空位，從中選兩個放入舞蹈節目，共有A種放法。所以兩個舞蹈節目不相鄰的排法共有A55·A26=3600（種）。

答案：B

4.至多至少問題——間接法

對于某些排列、組合問題的正面情況較復雜而其反面情況較簡單，可先考慮無限制條件的排列，再減去其反面情況的種數。

例4 從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有________種。（用數字作答）

解析：從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員共有A種選法，其中甲、乙中有一人擔任文娛委員的選法有CA種，故共有A35-C12A24=36（種）選法。

答案：36

5.多類元素組合——分類取出

當題目中元素較多，取出的情況也有多種時，可按結果要求，分成不相容的幾類情況分別計算，最后總計。

例5 如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有________種（用數字作答）。

解析：如果用兩種顏色，則有C26種顏色可以選擇，涂法有2種。如果用3種顏色涂色有C36種顏色可以選擇，涂法有C13·C12（C12+1）=18（種）。所以，不同涂色種數為C26·2+C36·18=390（種）。

答案：390

6.排列、組合混合——先選后排

對于排列與組合的混合問題，宜先用組合選取元素，再進行排列。

例6 某校安排5個班到4個工廠進行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，不同的安排方法共有________種。（用數字作答）。

解析：首先把5個班分成4組，即2，1，1，1，有種方法。然后把4組分配到4個工廠，每個工廠安排一組有A種方法。由分步乘法計數原理可得不同的安排方法有·A44=240（種）。

答案：240

總之，排列、組合問題，說它難吧，其實挺簡單的，就是分析事件的邏輯步驟，然后用乘法原理、加法原理計算就可。說簡單點吧，排列、組合卻是同學們（包括很多學習很好的同學）最沒把握的事情，同樣難度的幾道題，做順了，三下五除二，幾分鐘內解決問題；做不順，則如一團亂麻，很長時間也理不順思路。

（責任編輯 劉 馨）