巧用數學活動解決數學問題

陳坤孝

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2015）20-0077-02

哲學讓我們知道，沒有實踐的理論是空洞的理論，沒有理論的實踐是盲目的實踐，中學數學充分體現了從實踐到理論，再從理論到實踐的認知過程和用知過程，本文中我主要選擇了數學中的應用題、排列與組合問題、公理證明三方面的知識的教學進行論述，旨在和老師們探討一下通過開展數學活動來解決數學問題的必要性。

一、在數學活動中解應用題

解應用題是中學數學的重要組成部分，它充分體現了數學知識在實踐中的重要作用，對培養學生的邏輯思維能力、空間想象能力和探究能力都有很好的作用。因此，根據應用題的特點、來源和實用范圍開展實踐教學活動是很有必要的。

問題1：甲乙二人在長400米的環行跑道上跑步，他們同向而行，甲每秒鐘跑6米，乙每秒鐘跑4米，甲在乙后100米，若他們同時起跑，問：經過多少時間，甲、乙二人第二次相遇？

分析：這道題對于少部分學生可能難度不大，但對于大多數學生來說還是有一定難度的。教師又是畫圖又講解，仍然有一部分人聽不懂，其關鍵就是找不出等量關系。此時，我們不妨來做做這樣的實踐活動：由學生在班上推薦兩位同學，平時活潑好動的做甲，誠實穩重的做乙，來操場上做演示，要求甲快一些，乙慢一些，教師讓同學們記住：甲、乙的起點；甲、乙間的距離S=100米；第一次相遇的地點；第二次相遇的地點；當甲第二次追上乙時，教師讓他們都站著別動，問：

當甲第一次追上乙時，甲比乙多跑了多少米？（S=100米）。

當甲第二次追上乙時，甲比乙又多跑了習米？學生觀察思考后答：一圈=400（米）。

（3）從起跑到甲第二次追上乙，甲一共多跑了多少米？

100+400=500（米）

你能說出此題的等量關系嗎？

S甲-S乙=100+400

這樣只要學生知道速度、路程、時間的關系，讓學生設未知數列方程已變得很輕松了。

當然如果要把行程問題上成實踐課，教師在備課前需要作充分的準備，可把同一直線上的追擊問題、相遇問題，以及環形道上的相遇與追擊問題各出一題提前給學生做，然后教師準備用1～2課時來完成此活動以及課后的相應習題，在以后遇到相應的問題時，他們也就能輕松地解題了，正所謂“磨刀不誤砍柴工”。

其實，除了上述的行程問題外，還有許多應用題也可以讓學生在自己的實踐生活中學習，比如濃度問題、市場營銷問題、工程問題、銀行存款問題，這些都是無處不在的數學，學生除了向教師學習之外，還可以向自己的長輩們和其他人學習這些知識，學生有了這些基礎之后，我想課堂上將會多一些輕松愉快，少一些愁眉苦臉。

二、在數學活動中初步學習組合知識

排列與組合知識雖然初中和小學沒有專門作為一個單元來安排，但小學和初中其實都已涉入了，并且此類題對學生來說往往也都是難題，學好這些初步知識對升入高中的學生是很有幫助的，并且也是九年義務教育后對畢業生的基本要求，那么用什么方法能幫助學生認識和理解排列組合知識呢？數學實驗和數學活動方法是比較有效的方法之一。

問題2：（1）有10位好朋友相遇了，他們都要彼此握手一次，問，他們一共握了幾次手？如果是60位朋友也要彼此握一次手的話，他們又握了幾次手？n個人呢？（n≥2）。

下列圖形中各有幾條線段或幾個角？

（3）下列各多邊形各有幾條對角線？

分析：上述三類問題雖然是在初中的問題，其實質是高一的組合問題，怎么樣讓初中生也能初步學會此類簡單問題的解法呢？我在上課時做了如下實驗，這里只是對第（1）題作敘述；第（2）（3）題由學生畫圖歸納后，教師作指導。

第一步：讓10位學生上講臺站成一排報數。

第二步：讓第一位開始出列握手，握完即回到座位，記住自己握了幾次手（9）次。然后順次出列握手，每位同學都記住共握了幾次手（9）次；與此同時，臺下的學生和老師也數他們握手的次數，當握完時，他們共握了9+8+7+6+5+4+3+2+1=45次。

第三步：握手者每人握了幾次？（都是9次）。照這樣算應當握了9€？0=90次，而實際只握了45次，到底錯在了哪里？由學生討論、思考后，找出錯誤原因，當甲與乙握手的時候，甲算了一次，乙也算了一次，這樣實際每握一次手都多算了一次，即重復了一次，因此正確的算法是（9€？0）€？=45（次）。活動到此，教師問：60個好朋友又握了幾次手呢？絕大多數都能準確地計算：[（60-1）€？0]€？=1770（次），教師進一步講解：因為60個人握手。每個人都握了59次，但由于每握一次手都多算了一次，因此實際握手的次數為[（60-1）€？0]€？=1770（次）。n個人握手的次數：次，（由學生歸納得出）。

對于上述的第（2）題，它的解法與第一題完全相同。

第三小題：教師要引導學生弄清：從n邊形的一個頂點出發，最多能畫（n-3）條對角線，這樣，n邊形的對角線的條數（N）為：N=（n≥3）。

三、在數學活動中學習“公理”

所謂公理，它是人們在長期的生產實踐和生活中總結出來的道理，用大眾的話說它是一種經驗，但這種經驗必須是對的才稱它為公理，由此可見，公理來自于生產實踐，數學教學是一個“再認識，再創造”的過程，學生只有充分認識了知識的形成過程，理解了知識，進而上升為自己的理論，才算是真正掌握了知識，所以，用實驗或活動來教學也是比較符合認知規律的一種方法。

總之，從數學的來源與數學的最終目標來看，數學知識最初都來源于生活實踐，通過推理、抽象概括成為數學理論，最終這些理論又被應用于生活與實踐，服務于社會、生產與生活，引導學生在實踐中學會學習，學到數學知識，并在實踐中應用知識都是數學學科最根本的要求。數學活動形象、生動，它豐富了學生的數學生活，加強了對基礎知識的理解，增強了學生的空間觀念。如果我們能做到“因材施教”和“因人施教”，選取恰當的數學活動，讓學生在實踐或活動中去做、去嘗試和創新，就能夠培養學生的實踐能力和創新能力，提高教育教學質量。

（責任編輯 文 思）