數(shù)列教學(xué)中的四個探索性問題探討

蔣鑫

【摘 要】探討數(shù)列所涉及的幾個探索性問題，闡述學(xué)習(xí)數(shù)列的幾種策略：夯實基礎(chǔ)，掌握基礎(chǔ)概念;熟練掌握通項公式和方法;利用數(shù)列求和，拓展思維;結(jié)合函數(shù)，提高數(shù)列問題的解題能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)列 ?通項公式 ?拓展思維

【中圖分類號】G ?【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）12B-0065-02

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，數(shù)列的知識在必修五整本中雖然所占比重不多，但是它卻具有重要的作用，具有實際應(yīng)用的價值。不管是現(xiàn)階段高中生期中、期末的考試，還是公務(wù)員考試、事業(yè)編考試，數(shù)列這一題型都常常出現(xiàn)。所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)列教學(xué)成了我們必不可少的重要內(nèi)容，數(shù)列教學(xué)中所涉及的問題也成為我們要研究的對象。

一、夯實基礎(chǔ)，掌握基礎(chǔ)概念

在數(shù)列學(xué)習(xí)中，首先應(yīng)該把基本概念理解并記住，然后才能掌握其核心內(nèi)容。只有把基本的知識把握好，才能進行更深入的學(xué)習(xí)，打好基礎(chǔ)才能走得更遠。對于數(shù)列學(xué)習(xí)也是這樣，那么如何把握數(shù)列的基本概念呢？數(shù)列的基本概念就是它的定義，它的核心是通項與求和公式及其運用。接下來我們通過幾個實例來探究數(shù)列教學(xué)中基礎(chǔ)概念的學(xué)習(xí)。

比如在蘇教版高中數(shù)學(xué)《數(shù)列》第一節(jié)等差數(shù)列的學(xué)習(xí)中，課本上已經(jīng)把等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式明確告訴我們了，等差數(shù)列的通項公式為an=a1+（n-1）×d，等差數(shù)列的前n項和公式為，所以遇到求通項公式或求和的題目時，我們直接套用公式即可。比如：

例1 ?已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項的和，（n∈ N+），若a3=6，S20=20，那么S10=（ ?）。

這是一個基礎(chǔ)的題目，根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)帶入上面的兩個公式，很快就能算出a1=20，d=-2，最后求出S10=110。又比如：

例2 ?等差數(shù)列{an}中，S10=120，那么a1+a10=（ ?）。

這也是一道基礎(chǔ)的題目，根據(jù)公式，數(shù)列和=（首項+末項）×項數(shù)÷2，即，把題目所提供的數(shù)字帶入上式，直接可以求出a1+a10=24。這種類型的題目只要把公式記牢，然后直接套用就可以了。

所以學(xué)習(xí)數(shù)列時一定要把公式、基本概念弄明白，這樣才能迅速地求出答案。萬變不離其宗，只要掌握好基本概念，打好基礎(chǔ)，就能解決更深奧的問題，提高知識能力。

二、熟練掌握通項公式和方法

有很多題目類型是求數(shù)列的通項公式的，這種類型就需要我們把握解題方法，正確使用解題方法，才能解決問題。在數(shù)列這一系列問題中，采用比較多的方法就是累加法或累乘法求數(shù)列通項公式，根據(jù)Sn和an之間的數(shù)量關(guān)系或者遞推關(guān)系求通項公式。下面通過兩個例題來觀察解題方法。

在蘇教版高中數(shù)學(xué)《數(shù)列》的等差數(shù)列學(xué)習(xí)中，我們可以運用累加法來進行計算，通過累加法會使數(shù)列問題變得容易。比如：

例3 ?數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+n×d（d是常數(shù)，n為1，2，3…），且a1，a2，a3成公比不為1的等比數(shù)列。求d的值以及{an}的通項公式。

根據(jù)題意，我們不難求出d的值為2，但是{an}的通項公式就需要運用累加的方法來進行計算。在n≥2的情況下，有

a2-a1=d，a3-a2=2d，a4-a3=3d

以此類推得

an-an-1=（n-1）d

在等式的左邊相加得到

an-a1=[1+2+3+…+（n-1）]d=n（n-1）÷2×d

即an=n2-n+2

當(dāng)n=1的時，a1=2也適用于上式，那它的通項公式就是an=n2-n+2。這就是運用累加法求得數(shù)列的通項公式。值得注意的一點是，在求出數(shù)列{an}的通項公式時，別忘了驗證當(dāng)n=1的情況，有時候n=1不適合通項公式，這就需要我們把兩種情況分別列出來，保證答案的準(zhǔn)確性。對于等比數(shù)列通項公式的求法，則需要借助累乘法，不能用累加法。但基本原理與累加法大同小異，學(xué)會用累乘法解決等比數(shù)列的問題，會降低解題難度。

所以在解決一些比較復(fù)雜的等差數(shù)列或等比數(shù)列問題時，我們一定要把握好方法，合理運用累加法或累乘法，這樣做能取得事半功倍的效果，讓難懂的數(shù)列知識變得簡單，避免學(xué)生對數(shù)列題產(chǎn)生枯燥厭煩的心理。

三、利用數(shù)列求和，拓展思維

學(xué)習(xí)數(shù)列知識時，進行數(shù)列求和過程就是我們拓展思路、活躍思維、提高數(shù)學(xué)能力的過程，因為相比于其他數(shù)學(xué)知識點，數(shù)列的難度還是較大的。要解決數(shù)列問題，不僅需要熟練掌握基本概念，而且還需要掌握合理的方法。解決數(shù)列問題也是考驗?zāi)芰Φ囊环N方法，在解題的過程中提高了能力、增強了數(shù)學(xué)思維。下面筆者通過實例來研究在解決數(shù)列求和的過程中培養(yǎng)的數(shù)學(xué)能力的方法。

比如在蘇教版高中數(shù)學(xué)《數(shù)列》這一章的學(xué)習(xí)中，出現(xiàn)一類既有等差數(shù)列，又有等比數(shù)列，而且是“等差乘以等比”類型的題目，對于這種有深度的問題，我們單單采用套用公式的做法是不能解決的。為了順利便捷地解決這類問題，我們探索出了一種“錯位相減”的方法。比如：

例4 ?已知{an}是等差數(shù)列，其前n項和是Sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1=b2=2，a4+b4=27，S4-b4=10。

（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;

（2）記Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn（n∈ N+），證明Tn+12=-2an+10bn（n∈ N+）。

第一問很簡單，只需要根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)就可以求出。第二問比較復(fù)雜，仔細觀察發(fā)現(xiàn)，要求Tn，其實也就是求等差乘以等比數(shù)列的前n項和。對這種類型，我們可以采取錯位相減法。先把等差數(shù)列的前n項和與等比數(shù)列的前n項和列出來，然后在式子的兩邊分別乘以等比數(shù)列的公比，最后錯一位，兩個式子相減就可以得出答案。當(dāng)然這種錯位相減法需要大量的運算，對于一些沒有耐性的同學(xué)來說，會有一定的難度。對于這一部分同學(xué)來說，可以選擇另一種方法，用裂項相消的方法求和。所以在解決數(shù)列求和這一類型的數(shù)學(xué)題目時，有多種解題方法，同學(xué)們應(yīng)該選擇適合自己的一種方法來做，并熟練掌握，這樣才能不斷提高學(xué)習(xí)和解決問題的能力。

在數(shù)列求和這一問題的探索中，同學(xué)們可以在學(xué)習(xí)中多做一些有關(guān)數(shù)列求和的問題的題目，這樣做既能活躍思維，又能提高學(xué)習(xí)能力。

四、結(jié)合函數(shù)，提高數(shù)列問題的解題能力

我們知道，其實數(shù)列也是一種函數(shù)，只不過它的定義域是在正整數(shù)集，是一種特殊性質(zhì)的函數(shù)。既然數(shù)列是一種函數(shù)，那么它就具有函數(shù)的性質(zhì)。這給命題者一種方向，就是把數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合來命題，考查學(xué)生綜合運用知識的能力。下面主要通過具體的事例來探索如何利用數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合的關(guān)系來求解相關(guān)問題。

比如在高中數(shù)學(xué)蘇教版《數(shù)列》這一章的學(xué)習(xí)中，我們遇到這樣的習(xí)題。

例5 ?設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n，（n∈ N+）。

（1）當(dāng)bn=Sn-3n，求數(shù)列{bn}通項公式;

（2）若an+1≥an，（n∈ N+），求a的取值范圍。

在這一題中，第一問很簡單，把an+1=Sn+3n帶入bn=Sn-3n，很快就能求出答案。現(xiàn)在觀察第二題，從題意我們可以看出，an+1≥an，所以這是一個單調(diào)遞增的數(shù)列，那我們可以列關(guān)系式an+1-an≥0是恒成立的，因此從這個等式中得出a的取值范圍。從這一題型看出，把數(shù)列與函數(shù)的單調(diào)性相結(jié)合，就可求出取值范圍。這就要求同學(xué)們學(xué)會靈活運用公式。當(dāng)遇到這種類型題時，要想到函數(shù)的單調(diào)性，而不是運用什么“錯位相減法”“裂項相消法”等來解題。又比如在練習(xí)時，同學(xué)們會遇到數(shù)列的最值問題，其實要解決這種題，我們也可以運用函數(shù)的知識來解決。我們可以把等差數(shù)列當(dāng)作未知數(shù)是n的一次函數(shù)，把等比數(shù)列當(dāng)作未知數(shù)是n的指數(shù)函數(shù)，這樣我們在求極大值或極小值時，運用函數(shù)圖象就容易得到答案。

所以在運用函數(shù)進行解答數(shù)列問題時，需要同學(xué)們靈活運用，拓展思路，在不斷訓(xùn)練中，提高學(xué)生們的解題能力，拓展同學(xué)們數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生們的推理、計算的邏輯能力，同時不斷提高學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)成績。

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)知識中非常重要的知識點，它還可以與三角函數(shù)、曲線方程等相交叉。命題者很喜歡把它們放在一起來考查學(xué)生們的綜合能力，所以數(shù)列知識的學(xué)習(xí)對每一位同學(xué)都有重要的意義。因此探索數(shù)列問題是必不可少的，它的研究有著極大的教學(xué)價值。教師要積極探索，盡可能詳細、簡單的地把數(shù)列知識點傳授給學(xué)生。

【參考文獻】

[1]陳子杏.淺談數(shù)列教學(xué)中的幾個問題[J].新課程（教師），2008（8）

[2]白曉潔.新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題的研究[D].鄭州：河南師范大學(xué)，2013