高中數學總復習中易錯問題的探究

【摘 要】分析講解高考復習中有關易錯題的問題，提醒教師和學生要注重將平時錯題本中積累的易錯之處進行匯總，以防在考試中陷入易錯的陷阱。

【關鍵詞】數學 ? 高考復習 ? 易錯題 ? 整合

【中圖分類號】G ?【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）12B-0123-03

眾所周知，為了讓學生更有底氣地應對高考，高三數學教師基本上都采用“四回合：一過關斬將階段（本階段主要是通過找出各章節的基礎知識、基本技能和基本思想進行梳理，并將之連成系統有機的知識結構網絡）;二混戰體驗階段（通過訓練系列練習，讓學生將各章節知識結構形成基本題型、基本解題技能和基本解題方法）;三突破拓展階段（本階段是通過重點章節專題突破，主要是針對大題，特別是一些壓軸題的突破及各綜合知識整合與拓展，從而拓寬學生的解題思維能力）;四查缺補漏階段（再通過訓練系列練習，讓學生查擺每章節的知識缺漏及習題中的典型錯誤問題）”。以達到將高中數學知識“找點—聯線—構面—成體”的復習效果。特別是后期，已經準備到了高考的階段，要特別注重將平時錯題本中積累的易錯之處進行匯總，讓學生更加胸有成竹地面對高考的到來。筆者細心研究了高中數學各章節的內容，發現每部分都有易錯的陷阱。

一、“集合”中容易忽略空集的討論

空集是特殊的集合，稍微不注意，就會忘記它的存在。

例1.（2012年東北三校二模，18，12分）已知集合A=，B=，且BA，求實數m的取值范圍。

分析：要就B是否為空集進行討論，利用BA列出關于m的不等式（組）求解。

解析：∵BA

（1）當B=Φ 時，，解得

（2）當B≠Φ時，解得

∴ 綜合以上得

二、在簡易邏輯中易將“否命題和含一個量詞命題的否定”混淆

根據否命題的概念知道，否命題是既要將原命題的條件否定，又要否定結論，而命題的否定只需要否定命題的結論。

例2.（1）（2012年，遼寧，4，5分）已知命題，則是（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

（2）（2014年，陜西模擬，1，5分）設是向量，命題“若，則”的否命題是（ ）

（A）若，則

（B）若，則

（C）若，則

（D）若，則

（1）分析：根據含一個量詞命題的否定的定義，此類題的解題思路是“改量詞，否結論”。依解題思路易知選擇（C）

（2）分析：原命題的否定要求是既要否條件，又要否結論。依解題思路易知選擇（A）

三、在函數中要弄清函數定義的真面目

在高中數學中，大家接觸到了許多函數，如正比例函數、反比例函數、常數函數、一元一次函數、一元二次函數、指數函數、對數函數、冪函數、分段函數、復合函數等，無論何種函數，只要認清函數的三要素“定義域、值域和對應法則（即表達式）”，在解題中就不會丟三落四的了。

例3.（1）（2014年，廣西模擬，13，5分）已知，函數的圖象在x軸上方，則a的取值范圍

分析：一元二次函數的定義是“形如”，其中a≠0是定義中的重要條件，如果沒有這個條件，且題目沒有說明所給函數是一元二次函數時，則要記得對a的取值進行討論。

解析： ①當a=0時，滿足題設條件;

②當a≠0時，則

綜合①②知滿足題意的

（2）（2013年，無錫模擬）若，則滿足的x的取值范圍是

分析：此類題涉及對數函數，而對數函數最讓學生大意的是它的定義域的條件“真數大于 0，底數大于 0，且底數不等于 1”，在做題中稍不留神就會漏掉某個條件。

解析：∵

∴而f（x）是增函數

∴

∴或

解得或

四、三角函數中，涉及三角形問題時，很容易淡忘“A+B+C=π”

在解三角形時，除了運用三角函數的各組公式和正、余弦定理外，還應該注意三角形的邊角關系，如“A+B+C=π，大邊對大角，兩邊之和大于第三邊”等。

例4.（1）在?ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的 ? ? ? ? 條件？

分析：在解此類題時要記住角A、B、C的范圍為A+B+C=π，如題目中去掉“在?ABC中”這個條件，則答案是“充分非必要條件”。

解析：根據充要條件的判定方法及在三角形中A+B+C=π知答案為“充要條件”。

（2）在?ABC中，若a=18，b=24，A=45o，則此三角形（ ? ? ）

（A）無解 （B）有兩解 （C）有一解 （D）解的個數不確定

分析：在解題中，要注意到三角形的邊角關系。

解析：∵

∴

又∵a

∴B有兩個，即選（B）

五、在平面向量中，常常忽略“零向量”的存在及“共線向量中同向與反向的討論”

在平面向量這個內容的學習，主要掌握三個方面知識“一是向量的有關概念;二是向量的兩種運算方法（幾何法與坐標法）;三是向量運算在數學各領域的應用”。其中，在理解向量的概念中，最易忽略的概念是對“零向量和共線向量”的理解。

例5.（1）判斷命題“若，則”是不是正確？

分析：在初中所學的平面幾何中，已經知道“平行于同一直線的兩條直線平行”，但在向量這部分內容中，由于向量的特殊性，會有不同的結論。因為零向量平行任意向量，當時，命題不成立，所以此命題是錯誤的。

（2）對于非0向量，“”是“”的（ ）條件。

（A）充分非必要 ?（B）必要 ?（C）充要 ?（D）非充分非必要

分析：由于平行向量包括“方向相同和方向相反”兩種情況，在解題中要記住從兩種情況去分析。根據平行向量的概念及充要條件的判定方法知選擇（A）

六、在利用等比數列求和公式時，很容易忘記對q=1的討論

在等比數列求和公式的推導過程中知道，當q=1時，等比數列是一個非0的常數數列，即a1=a2=a3…，它的前n項和是Sn=na1=na2=na3…;當q≠1時，利用錯位相減法推出 ?，因此，在利用等比數列的求和公式進行解題時，要記得分類討論。

例6.（2013承德一模）在等比數列中，a3=7，S3=21，則公比q的值為（ ）

（A）1（B） （C）1或（D）-1或

分析：根據等比數列求和公式的特點，切記分類討論進行解題。

解析：①當q=1時，S3=3，a3=21，滿足題意;②當q≠1時，利用通項公式及求和公式列出方程組解出q=，綜合以上，選擇（C）

七、在解對數不等式時，要記住先保證對數符號有意義

在對數的學習中知道，要使對數符號有意義，必須使對數符號中的真數大于0、底數大于0且不等于1。

例7.解不等式log2（x2-3x）﹤2

分析：根據對數的特殊性，解對數不等式的思路是“先化同底，在有意義的前提下利用單調性去底后，再求出交集”。

解析：由log2（x2-3x）﹤2

∴ 不等式的解集為

八、判斷或證明立體幾何平行與垂直各定理的條件要充分

對立體幾何的學習，有一塊重要的內容，即判斷或證明線線、線面、面面的平行與垂直問題，這個大問題的證明方法通常有兩個：一是定理法;二是向量法。如果用定理來解決，則應該注意各定理成立的條件要充分，不要丟三落四。

例8.已知m，n為兩條不同的直線，a，β為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）

A.

B.

C.

D.

分析：這是一道判斷線線、線面、面面關系的客觀題，此類題的解題思路是運用判斷線線、線面、面面關系的判定定理及性質定理，但前提是要熟練記住各定理的條件。

解析：因為判斷，不僅需要，還要這個條件，所以A錯誤;B錯誤，因為結論不僅是，沒有m與n異面;C也錯誤，因為結論沒有;所以選擇D。

九、解析幾何中斜率是否存在的討論容易漏掉

解析幾何主要研究五條特殊線即直線、圓、橢圓、雙曲線、 拋物線的方程、要素（如直線有傾斜角、斜率等）和關系（點線、直線和直線、直線和曲線的關系），在直線的要素中，最容易出錯的是它的斜率，因為當直線的傾斜角為90°時，它的斜率不存在。

例9.已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，離心率，右準線方程為x=2。

（I）求橢圓的標準方程;

（II）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且，求直線l的方程。

分析：在解析幾何的題目中，如果遇到直線的斜率沒有確定是否存在時，要記得討論它的存在性。

解析：（I）由已知得，解得

∴

∴所求橢圓的方程為

（II）由（I）得F1（-1，0）、F2（-1，0）

①若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=-1，由得

設、，

∴

，這與已知相矛盾。

②若直線l的斜率存在，設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+1）。

設M（x1，y1）、N（x2，y2），聯立，消元得

（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0

∴

∴

又∵

∴

∴

化簡得，解得k2=1或（舍去）

∴k=±1

∴所求直線l的方程為y=x+1或y=-x-1

十、排列與組合的解題中切記“與順序有關是排列問題，反之是組合問題”

根據排列與組合的定義知道，區別它們最根本的方法就是抓住“是否跟參與元素的順序有關”，與順序有關的是排列問題，與順序無關的是組合問題。

例10.（1）將5個男生和3個女生排成一行，要求女生不在一起的排法有種？

（2）將5個相同紅球和3個相同藍球排成一行，要求藍球不在一起的排法有種？

分析：第一個問題是不同元素的排，跟元素排的順序有關，所以是排列問題，而第二個問題是相同元素的排，跟元素排的順序無關，故是組合問題。

解析：（1）用排列的插空法，=14400種

（2）用組合的插空法，=20種

總之，到了臨近高考的關鍵時候，我們要將每章節易錯及易漏之處系統歸納與總結，培養自己慎之又慎的良好品質，并將平時的練習和每次模擬測試自己做錯之處變為正確，從而達到“會、對、快”的效果，則高考成功絕對不是一句空話！

【作者簡介】黃懷芳（1969- ），男，壯族，來賓高級中學教師。

（責編 盧建龍）