數形結合在中學數學中的應用

胡容榕

[摘 要]數形結合思想在中學數學中有著重要的作用，數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。使抽象思維與形象思維結合起來，發揮數與形兩種信息的轉換及其優勢互補與整合。

[關鍵詞]中學數學；數形結合；重要性；培養方法 ；應用

數形結合是中學數學重要的基本思想方法之一，是數學的本質特征。在解決數學問題時，使數與形的信息相互滲透，可以開拓我們的解題思路，使許多數學問題簡單化。新教材打破了原來的代數、幾何分家的現象，不僅從形式上把代數、幾何統一編排，而且在內容的處理上也提出明確的要求，在很大程度上也體現了數形結合的思想。教師要充分利用教材，著力培養學生形成數形結合的思維。

一、數形結合思想在中學數學教學中的作用

1.數形結合思想可以激發學生學習數學的興趣。大多數的學生不喜歡學習數學的最主要的原因就是數學課程很單調而且有些數學問題非常復雜。教師要想使學生喜歡學習數學、樂于解決數學問題，就必須要克服學生的這兩點困難，而數形結合思想就是解決學生這兩點抵觸心理的最有效的方法。

數形結合思想中圖形與數值相結合的思想，就是最有效的克服學生枯燥心理的方法。數形結合通過圖形對學生思維的刺激，會使學生覺得學習數學是一件很有趣的事情。而數形結合思想往往可以使抽象復雜的數學問題變得具體簡單。這樣，激發了學生的興趣，學生就會變得喜歡學習數學，學生的數學成績也會得到相應的提高。

2.數形結合思想可以增加學生解決數學問題的方法。平面幾何問題和立體幾何問題是中學數學中非常重要的部分，在考試中也占有很大的比例，在我們的平時應用中也是一個很重要的數學應用問題。而數形結合思想在平面幾何問題和立體幾何問題的應用中可以說是非常常見的。“以數解形”，通過對幾何圖形所表示的軌跡用數量關系去表達，可以脫離固有圖形的復雜的幾何關系，利用數值計算將幾何關系限定在有限的幾個代數式中，通過計算得出最終結果，然后將代數式進行圖形還原，得到最終的數學問題的結果。

對于立體幾何中的問題可以通過平面向量知識來進行解決。運用向量知識進行數形結合，能很好地解決立體幾何中的圖形位置關系，使幾何問題得到很好的解決。

3.數形結合思想可以使學生加深對知識的印象。函數問題是中學數學中一個很重要的部分，它對于解決最優問題、規律性的問題都是非常簡單而直觀的。但是對于這些定義性質的問題，許多學生都會出現對于這些知識記得不牢或者不準確的問題，這樣在解題的過程中就會出現一些常識性的錯誤，使教師非常頭疼。而數形結合思想就很好地解決了這個問題。數形結合思想使這些單調的數值關系通過圖像描述變得直觀，這樣函數關系會在學生的頭腦中形成數學模型，使學生能夠很牢地記住這些函數問題。這樣，對于發展學生的數學思維、提高學生的綜合能力有很大的幫助。

4.數形結合思想能夠使學生的想象力得到培養。數形結合思想可以使學生從圖形中直觀地去聯想數值的更深層次的意義，使學生開拓自己的思維去思考，這樣就會提高學生的數學思維能力，提高學生的想象力。

二、如何在課堂教學中培養數形結合思想

1.滲透數形結合思想要有層次地進行。數學思想方法的內容相當豐富，任何一種數學知識的講解及數學思想的滲透都要注意學生的接受能力，認真鉆研課標和教材，結合學生實際，配備不同的例題，調動全體學生的學習積極性，由易到難，由淺入深，滲透數形結合這一數學思想。

2.調動學生的積極性，提高滲透的自覺性。數學概念、公式等知識都明顯地寫在教材中，是有形的，而數學思想卻隱含在數學知識體系里，是無形的，并且不成系統地分散于教材各章節中。因此，作為教師首先要更新觀念，從認識和思想上不斷提高在數學課堂教學中滲透數學思想方法的重要性，把掌握數學知識和滲透數學思想方法同時納入教學目標，把數學思想方法的滲透要求融入教學設計中.其次要深入鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行數形結合思想方法滲透的各種因素，對于可以應用數形結合的每一章每一節，都要考慮如何結合具體內容進行這一思想的滲透。同時要讓學生明白數形結合這一數學思想的重要性，在學習過程中提高自我學習的意識。

3.反復訓練，不斷總結反思，確保學生掌握數形結合這一數學思想。使學生形成數形結合的數學思想，必須經過循序漸進和反復訓練，才能使學生真正地有所領悟和掌握。教師的提煉和概括是十分重要的，教師還要有意識地培養學生自我提煉、揣摩、概括數學思想方法的能力，還應在適當的時候進行“畫龍點睛”式地總結，這樣才能把數學思想方法的滲透落在實處。

三、數形結合在教學中的應用

1.數形結合在函數教學中的應用。數形結合是中學數學思想中的重要數學思想之一，滲透于數學的各個環節之中。在函數教學中，函數及其圖像為數形結合的教學開辟了廣闊的天地。函數的圖像是從“形”的角度反映變量之間的變化規律，利用圖像的直觀性有助于題意的理解、性質的討論、思路的探求和結果的驗證。如二次函數、指數函數和對數函數等等，這樣使學生學得輕松有趣。既可以提高學生的識記能力，又可以加深對函數的圖像和性質的理解，使數與形在學生的頭腦中密切地結合起來。

2.數形結合在解題中的應用。利用數形結合進行解題，不僅能將優美的解題過程形象地展現在解題者的面前，而且給解題者帶來層次分明的思維訓練而回味無窮。在教學時，要引導學生從充分利用形的直觀性來揭示數的問題的本質屬性；由形思數，利用數研究形的各種性質，尋找運動規律；數形結合，促進矛盾的順利轉化，創造條件使對立雙方達到統一。這樣有利于培養學生多角度、多方面思考的習慣，有助于訓練學生思維的靈活性、廣闊性、創造性和辯證性，提高學生解決問題的能力和創新能力。

（1）由數想形，直觀顯現。某些看似簡單的數量關系的代數問題，如果能注意到它所包含的幾何意義，或者設計出一個與之相關的幾何模型，則可能找到新穎別致的解法，借助“形”使我們對問題本 身不但有直觀的分析，且能有更深刻和實質的了解。

（2）形中覓數，抽象變形象。某些代數三角問題，借助于圖形性質來探求思路或作出結論，而某些幾何問題，可通過計算或數量分析的方法，能準確和深刻地表述圖形的性質，獲得問題的結論。

（3）數形對照，相互滲透。由數想形、形中覓數是數形結合的兩個方面，有時又要綜合應用，既由圖形尋找出數量關系，又通過代數方法加以解決。

例 設D為△ABC邊上一點，而BD=2DC， 求證：AB2+2AC2=3AD2+6CD2.

分析 若單從幾何角度看，已知條件和論證的目標相距較遠，不易下手。如果我們建立直角坐標系，使數形結合，綜合應用解決。可設四點的坐標分別為A（x，y），B（-2a，0），C（a，0），D（0，0），則通過坐標系可以迎刃而解了。

四、結語

數形結合是一種重要的解題思想，在中學數學解題中具有重要的現實意義。因此，今后在中學數學教學過程中，我們需要根據教學大綱的要求，結合教學的實際情況，積極采取相應的策略，將數形結合思想更好地運用到中學數學解題中，以提高解題效率和學習成績，使中學生學習數學知識變得更加輕松，從而提高中學數學的教學效果和教學質量。

參考文獻：

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