社會擴大再生產(chǎn)的“納什討價還價解”

陶為群

摘要：馬克思社會再生產(chǎn)公式是一個宏觀經(jīng)濟模型，其解的一種模式表示社會擴大再生產(chǎn)的具體安排。在市場經(jīng)濟條件下，可以基于市場經(jīng)濟中兩大部類具有平等的主體地位，以及每個部類使預(yù)付資本不斷地增殖的內(nèi)在要求，構(gòu)建擴大再生產(chǎn)中兩個部類的合作博弈機制。在這個機制和資本積累均衡條件約束下，兩大部類作為“局中人”可以各自為了實現(xiàn)本部類利益進行合作博弈，形成“兩人討價還價”過程，最終產(chǎn)生全社會資本積累均衡的“納什討價還價解”，實現(xiàn)社會擴大再生產(chǎn)。

關(guān)鍵詞：擴大再生產(chǎn)；求解；實現(xiàn)機制；合作博弈；“納什討價還價解”

中圖分類號：F014.4 文獻標識碼：A 文章編號：1005-2674（2015）05-021-06

一、社會擴大再生產(chǎn)的求解與實現(xiàn)機制的關(guān)系

馬克思社會再生產(chǎn)理論在兩大部類社會再生產(chǎn)公式中得到集中體現(xiàn)。社會再生產(chǎn)公式是一個宏觀經(jīng)濟模型，對于國民經(jīng)濟運行有重要的理論指導(dǎo)意義。長期以來，盡管有很多研究都涉及到社會再生產(chǎn)模型，但這些文獻并沒有給出其嚴謹?shù)臉?gòu)建和求解方法。馬克思《資本論》也只是以舉例形式給出擴大再生產(chǎn)公式形式及其個別解，這種辦法被普遍使用。《資本論》中的數(shù)例是以一個部類的積累為主導(dǎo)的，即是先確定一個部類的資本積累，再根據(jù)擴大再生產(chǎn)均衡條件的要求，相應(yīng)確定另一個部類的資本積累。筆者對這種以一個部類的資本積累為主導(dǎo)的模型進行了重構(gòu)，并嚴格地給出了馬克思擴大再生產(chǎn)公式有解的充分必要條件和一般求解方法。但是，在市場經(jīng)濟條件下，兩個部類具有平等的主體地位，因此，這種以一個部類的資本積累為主導(dǎo)的社會擴大再生產(chǎn)公式在理論上仍存在缺陷。

正如《資本論》中的數(shù)例所示，擴大再生產(chǎn)公式的一種解的模式，表示著社會擴大再生產(chǎn)的一種具體安排。那么，社會擴大再生產(chǎn)公式的一般解的模式表示著社會擴大再生產(chǎn)的一般實現(xiàn)方法。在一般實現(xiàn)方法的背后，還有深層次的實現(xiàn)機制問題。那么，以一個部類的資本積累為主導(dǎo)的擴大再生產(chǎn)是基于什么樣的實現(xiàn)機制？在計劃經(jīng)濟的體制下，這個問題比較容易回答：可以由計劃機制來決定哪一個部類的資本積累為主導(dǎo)。在擴大再生產(chǎn)公式有解的充分必要條件下，可以通過兩個部類都服從全社會的計劃安排，先確定一個部類的資本積累為主導(dǎo)，再根據(jù)擴大再生產(chǎn)均衡條件的要求，相應(yīng)確定另一個部類的資本積累，從而獲得擴大再生產(chǎn)的一種解的模式。但是，在市場經(jīng)濟的體制下，兩個部類都是平等的市場主體，不存在某種權(quán)威安排來決定一個部類的資本積累為主導(dǎo)。因此，以一個部類的資本積累為主導(dǎo)的社會擴大再生產(chǎn)，就缺少了深層次的實現(xiàn)機制的支撐，嚴格地講不大適用于市場經(jīng)濟條件下的擴大再生產(chǎn)問題。所以，必須基于市場經(jīng)濟條件，提出一種新的擴大再生產(chǎn)實現(xiàn)機制，并且以這個實現(xiàn)機制作為支撐，獲得新的實現(xiàn)模式，即一般解形式。

二、兩大部類擴大再生產(chǎn)的資本積累均衡方程

馬克思再生產(chǎn)理論中，由于有生產(chǎn)資料、消費資料兩個部類，因而擴大再生產(chǎn)需要兩個部類的資本積累保持均衡。已有文獻的社會擴大再生產(chǎn)模式，大多是基于兩個部類的資本積累均衡方程，確定兩個部類資本積累之間的相互依賴、相互匹配關(guān)系，進而通過優(yōu)先確定一個部類（一般是生產(chǎn)資料部類）的資本積累，相應(yīng)再確定另一個部類產(chǎn)的資本積累，實現(xiàn)資本積累均衡。然而，這類文獻沒有考慮到兩部類平等的主體地位關(guān)系。但是，無論以什么樣的機制實現(xiàn)擴大再生產(chǎn)，其模式都必須滿足兩個部類的資本積累均衡方程。

兩個部類的資本積累均衡方程，是從馬克思再生產(chǎn)公式導(dǎo)出的。社會生產(chǎn)部門劃分成生產(chǎn)生產(chǎn)資料和生產(chǎn)消費資料的兩個部類，分別記為第1、Ⅱ部類。第j部類（j=I，Ⅱ，下同）在年初時點的總資本分解成用于購買生產(chǎn)資料的不變資本、購買勞動力的可變資本兩個部分，分別記為 。遵照經(jīng)典的馬克思再生產(chǎn)公式，即假定： 和 都是每年周轉(zhuǎn)一次；當年 作為中間消耗轉(zhuǎn)移到產(chǎn)品當中， 在產(chǎn)品當中新創(chuàng)造出來，并帶來它的剩余價值 ；以第j部類產(chǎn)品中消耗的不變資本對于可變資本的固定不變倍數(shù) 來表示該部類的資本有機構(gòu)成；剩余價值 與可變資本 之間保持固定不變的比率（即不變的剩余價值率），該比率記為 ；以 分別表示第 部類新創(chuàng)造價值、總產(chǎn)值。那么按照經(jīng)典的馬克思再生產(chǎn)公式，在每個部類內(nèi)部，不變資本、可變資本、剩余產(chǎn)品、新創(chuàng)造價值（產(chǎn)品）、總產(chǎn)值（產(chǎn)品）之間的關(guān)系由下面的定義方程來確定。

式（1） -式（5）合在一起，就是完整的再生產(chǎn)公式。其中，式（l）是定義方程；式（2）、式（3）是行為方程；式（4）、式（5）是均衡條件，就是政治經(jīng)濟學(xué)教科書中指出的社會再生產(chǎn)的實現(xiàn)條件。 實現(xiàn)社會再生產(chǎn)就是從再生產(chǎn)公式中獲得一組待定變量 的解。把行為方程式（2）代入式（4）或和式（5），可得到一個相同的結(jié)果，即：

這說明，由于再生產(chǎn)公式中存在著行為方程式（2），因而均衡條件式（4）和式（5）只有一個是獨立的。式（6）是社會再生產(chǎn)的兩大部類不變資本積累均衡條件，而變資本積累均衡條件對應(yīng)著全部資本積累均衡條件。所以，式（6）是社會再生產(chǎn)的兩大部類資本積累均衡方程。

根據(jù)式（2）、式（3）和 ，得到待定變量 和 的約束條件：

擴大再生產(chǎn)是指在至少每個部類的資本都不減少的前提下，社會總資本的擴大。根據(jù)式（1）表明的每個部類的不變資本與總資本的固定關(guān)系，有：

和

已有研究根據(jù)擴大再生產(chǎn)資本積累的約束條件式（7）、式（8）、式（9）以及資本積累均衡方程式（6），證明了兩大部類擴大再生產(chǎn)的充分必要條件是：

已有的社會擴大再生產(chǎn)公式的一般求解方法，是以資本積累均衡方程式（6）中兩個待定變量 中的一個作為自變量，另一個作為這個自變量的函數(shù)，并給出自變量的定義域，從而獲得資本積累均衡方程式（6）的解，也就是兩大部類擴大再生產(chǎn)的解。當選擇以 作為自變量，從式（6）將ACn解出作為△C l的函數(shù)，擴大再生產(chǎn)的解是：

其中自變量 的定義域是： 當選擇以ACn作為自變量，從式（6）將 解出作為 的函數(shù)，擴大再生產(chǎn)的解是：

其中自變量ACn的定義域是：

式（11）與式（12）以及式（13）與式（14）都是資本積累均衡方程式（6）的解函數(shù)，并且互為反函數(shù)。事實上直至目前，政治經(jīng)濟學(xué)教科書以及有關(guān)的研究文獻中，都是依照這樣的函數(shù)關(guān)系，確定擴大再生產(chǎn)的不變資本積累 與 之間的一個匹配。譬如《資本論》第二卷第二十一章中關(guān)于擴大再生產(chǎn)的兩個舉例， 都是先確定 再確定 。可以驗證，這些文獻中不變資本的積累都滿足式（11）與式（12）給出的解函數(shù)。式（12）和式（14）中，自變量 的定義域的左端點是自變量的最小值，分別以min（ ）和min（ ）表示。

三、社會擴大再生產(chǎn)的兩大部類合作博弈機制和“討價還價”

社會擴大再生產(chǎn)是有資本積累的再生產(chǎn)。在市場經(jīng)濟中，每個部類都期望本部類的預(yù)付資本不斷地增殖，不可能舍棄本部類的資本積累去成全另一個部類的資本積累。所以，實現(xiàn)社會擴大再生產(chǎn)必然是兩個部類都形成資本積累。那么.這里就存在著每個部類都形成資本積累的數(shù)量多少怎樣確定的問題。很自然，每個部類都期望本部類的盡可能多一些。而根據(jù)資本積累均衡方程式（6），兩個部類的不變資本積累是此長彼消的，因此，兩個部類對于不變資本積累形成博弈關(guān)系。根據(jù)式（1）和式（3），每個部類的不變資本、全部資本積累具有固定比例關(guān)系，所以，兩個部類對于全部資本積累形成博弈關(guān)系。同時，由于兩個部類的不變資本積累必須滿足資本積累均衡方程式（6），才能夠?qū)崿F(xiàn)本部類的資本積累，這意味著一個部類的資本積累必須獲得另一個部類的認可才能夠得到實現(xiàn)，所以，作為博弈雙方的兩個部類又必須合作才能夠?qū)崿F(xiàn)自身利益。于是，兩個部類關(guān)于資本積累形成合作博弈機制。

利益分配是博弈中的一個基本概念。按照馬克思再生產(chǎn)理論，資本積累均衡方程式（6）表明了，（

）是能夠被兩個部類作為不變資本積累 的全部生產(chǎn)資料資源。每個部類從中獲得的數(shù)量越多，本部類的不變資本積累和全部資本積累就越多，從再生產(chǎn)中可以獲得的利益也越大。所以，由資本積累均衡方程式（6）直接確定了（ ）成為利益分配的具體對象。同時，由于兩個部類的積累必須滿足資本積累均衡方程式（6）才能夠?qū)崿F(xiàn)，這意味著一個部類的積累率必須獲得另一個部類的認可才能夠得到實現(xiàn)。所以，當一個部類向另一個部類提出自身的期望的不變資本積累，實質(zhì)上是就本部類根據(jù)可分配利益（ ）中所占數(shù)量，而向另一個部類所提出的“要價”。如果另一個部類認可這一“要價”，就得按照資本積累均衡方程式（6），將（ ）扣除對方的期望的不變資本積累后作為自身的不變資本積累，于是一方的“要價”經(jīng)過認可也成為對方的“出價”，兩個部類關(guān)于（ ）的利益分配最終成交。如果另一個部類不認可這一“要價”，就得反過來提出本部類的期望不變資本積累，實質(zhì)上是就可分配利益（ ）又向?qū)Ψ教岢觥耙獌r”。如此過程進行下去，兩個部類成為合作博弈中的兩個“局中人”，合作博弈形成“兩人討價還價問題”。

“兩人討價還價問題”中有一個重要的概念是談判破裂點。一方的談判破裂點指本方即使放棄談判和爭取利益也應(yīng)當獲得的利益分配。由于兩個部類利益分配的具體對象（YI -CⅡ）數(shù)量在當年是既定的，根據(jù)資本積累均衡方程式（6），需要被兩個部類作為不變資本積累 全部分配掉，才能夠?qū)崿F(xiàn)社會再生產(chǎn)。而每個部類的不變資本積累受到剩余價值數(shù)量的限制，所以，在（ ）數(shù)量較多的情形下，就需要另一個部類的不變資本積累達到最低數(shù)量，才可能使資本積累均衡方程式（6）得到滿足。而在（ ）數(shù)量較少的情形下，即使另一個部類不形成不變資本積累（不變資本積累為零），也能夠使資本積累均衡方程式（6）得到滿足。這里，把（ ）數(shù)量較多、較少兩種不同情形下，資本積累均衡方程式（6）需要每個部類達到的不變資本積累的最低數(shù)量，統(tǒng)一以min（ACl）和min（ACⅡ）表示。那么，min（ ）和min（ ）分別是第1、Ⅱ部類作為局中人，在關(guān)于（ ）的利益分配合作博弈中必須獲得的最低數(shù)量，也就是談判破裂點。而假如分別優(yōu)先考慮第1、Ⅱ部類的不變資本積累，那么min（ ）和min（ ）就分別是第1、Ⅱ部類的不變資本積累自變量 的定義域下限。所以，不等式（12）、（14）所表明的變量 、 取值區(qū)間的左端點分別就是min（ ）和min（ ），它們是由每個部類資本積累的約束條件式（7）和式（8）以及資本積累均衡方程式（6）共同決定的。當然，也可以根據(jù)式（12）和式（14）寫出min（ ）和min（ ）的具體表達式，這里從略。

在“討價還價問題”中，一方的效用是與利益分配有聯(lián)系又有區(qū)別的概念，通常效用是利益分配的函數(shù)。這里以第j部類新增的新創(chuàng)造產(chǎn)品（價值） 一般地代表該部類的效用；由于每個部類內(nèi)部各部分的相互關(guān)系固定不變，效用最大化與利潤最大化具有等價性。第j部類的期望效用 與新增不變資本 間的關(guān)系與式（1）表明的 與 的關(guān)系相同。所以，第j部類的效用是：

四、社會擴大再生產(chǎn)的“納什討價還價解”

對于合作博弈的“兩人討價還價問題”，早已有著名的“納什討價還價解”。這就是對于一個“兩人討價還價問題”，在由個體理性、帕累托強有效性、對稱性、等價盈利描述的不變性、無關(guān)選擇的獨立性五個公理組成的“納什公理”下，存在滿足“納什公理”的唯一討價還價解，它是使“納什積”達到最大的解。對于兩大部類擴大再生產(chǎn)的“兩人討價還價問題”，“納什積”是：

因此，這個“兩人討價還價問題”的目標函數(shù)是：

無論怎樣討價還價，式（17）中的待定變量 必須滿足約束條件式（7）、式（8）和式（9）。所以，待定變量 的取值區(qū)間分別由不等式（12）和不等式（14）確定；（ ）的取值區(qū)間仍然被必要條件式（10）確定。這個約束最優(yōu)化問題的唯一解 就是兩大部類擴大再生產(chǎn)的“納什討價還價解”。

用拉格朗日乘數(shù)法求解含有資本積累均衡約束條件式（6）的目標函數(shù)式（17）最大值問題，獲得最優(yōu)解：

式（18）就是兩大部類社會擴大再生產(chǎn)的“納什討價還價解”。

將已有研究結(jié)果給出的min（ ）和min（ ）的具體表達式代人式（18），可以進一步寫明這個“納什討價還價解”的具體表達式。

五、社會擴大再生產(chǎn)的“納什討價還價解”的經(jīng)濟含義

擴大再生產(chǎn)的“納什討價還價解”式（18）表明，實現(xiàn)納什均衡，首先要保證每個部類的不變資本積累分別達到最小值min（ ）和min（ ），然后，將為全社會不變資本積累提供全部生產(chǎn)資料來源的（ Cu），扣除另一個部類的最小不變資本積累之后剩余數(shù)量的一半，與一個部類的最小不變資本積累的一半相加，最終作為該部類的不變資本積累。這個結(jié)果充分體現(xiàn)了兩大部類不變資本積累的公平性、對稱性。因為，實現(xiàn)納什均衡時，每個部類的不變資本積累與全部資本積累的比例保持固定不變，所以，這個結(jié)果同時充分體現(xiàn)了兩大部類全部資本積累的公平性、對稱性。

在以一個部類的資本積累為主導(dǎo)的社會擴大再生產(chǎn)的解式（13）與式（14），或者式（15）與式（16）當中，將起主導(dǎo)作用的那個部類的不變資本積累作為自變量，設(shè)自變量可以在一定范圍內(nèi)取不同的數(shù)值，但這類模式缺乏說明存在著某種機制來決定自變量取哪一個具體數(shù)值。除非在計劃經(jīng)濟體制下，可以由計劃機制來決定自變量的具體數(shù)值。如果在式（13）中將自變量ACi按照“納什討價還價解”式（18）當中的 來取值，那么因變量 得到的具體數(shù)值就與式（18）中的 完全相同。或者在式（13）中將自變量 按照“納什討價還價解”式（18）中的 來取值，那么因變量 得到的具體數(shù)值就與式（18）中的 完全相同。這就說明了，社會擴大再生產(chǎn)的“納什討價還價解”，是對于一個部類的資本積累為主導(dǎo)的解的一種改進，這種改進使獲得的解能符合市場經(jīng)濟的體制。

社會擴大再生產(chǎn)優(yōu)化問題的最優(yōu)解，可以以全社會新增的新創(chuàng)造產(chǎn)品最大化作為社會擴大再生產(chǎn)的目標函數(shù)而得到，每個部類的利益都服從于全社會的利益，是“公平服從效率”原則下的最優(yōu)解。 社會擴大再生產(chǎn)的“納什討價還價解”也是一種最優(yōu)解，是以“納什積”達到最大作為目標函數(shù)而得到的，是由“納什公理”保證了擴大再生產(chǎn)對于每個部類的公平性、對稱性，因而可以說是“效率服從公平”原則下的最優(yōu)解。

本文基于市場經(jīng)濟條件下兩大部類的平等地位關(guān)系，提出了在擴大再生產(chǎn)的兩個部類合作博弈機制。在合作博弈機制和資本積累均衡條件約束下，兩個部類作為“局中人”為了各自實現(xiàn)本部類利益，形成“兩人討價還價”過程，最終獲得資本積累均衡的“納什討價還價解”，實現(xiàn)社會擴大再生產(chǎn)。這是對已有文獻從一個部類的資本積累為主導(dǎo)來構(gòu)建擴大再生產(chǎn)模式方法的一個改進。