自動平衡搜索車物理模型的控制系統分析以及對小偏差線性化方法的研究思考

郭振緯 王中豪

摘要：通過對自動平衡搜索車建立物理模型，建立物理方程式，在工作平衡點附近進行小偏差線性化。然后通過求解特征方程以及勞斯判據進行系統穩定性分析。結果發現系統是不穩定的。但實際系統是穩定的，得出結論系統線性化后可能會導致穩定性變化。但是該線性化系統在小偏差范圍內是合理的。進而對小偏差線性化方法進行學習研究。

關鍵詞：自動平衡搜索車;穩定性分析;小偏差線性化

1.自動平衡搜索車系統分析

1.1自動平衡搜索車系統物理模型圖

1.2物理量

M-小車的質量，kg;

m-擺桿的質量，kg;

u（t）-外作用力，N;

z（t）-小車的移動距離，m;

θ（t）-擺桿相對于直立方向的偏離角，rad。

1.3系統原理介紹

自動平衡搜索車由小車以及車上的倒置擺桿組成，實際上是一個空間起飛助推器的姿態控制模型。姿態控制的目的是保持空間起飛助推器在垂直位置上。因此控制系統的作用是在施加控制作用u（t）后，使擺直立不倒。

1.4系統假設

假設1：小車與擺桿僅作平面運動，擺桿質量，風力，摩擦等略去不計。

假設2：擺桿只在垂直位置附近作微小的擺動。由于該系統的目的就是使擺桿保持直立不倒，因此該假設合理。

假設3：閉環系統反饋的作用是力圖抑制或消除偏差，因此可以認為θ，dθ/dt接近于零，從而可以忽略微小的高次項，而保留θ，dθ/dt項。

1.5系統分析

1.5.1擺的運動可看作由牽引運動（小車平移）和相對運動（擺桿轉動）的合成。擺的水平運動為： 。

1.5.2在垂直于擺桿的方向，擺的運動也由兩部分合成;一部分為小車平移運動在該方向的投影 ;另一部分為擺的圓周運動 。

1.6系統方程式

1.6.1根據牛頓定律，沿水平方向：

根據牛頓定律，沿擺桿轉動方向：

1.6.2在運動方程式中，有變量的乘積和三角函數，這是非線性方程，我們需要線性化方程

由假設2可知，θ很小，那么三角函數就可以簡化。

則微分方程可近似為：

① ?②

1.6.3由①②兩式可得θ與u以及z與u的數學模型

1.7系統穩定性分析

1.7.1傳遞函數：

1.7.2方法1：特征方程求解：

分析：由于均存在一個大于0的特征根，因此系統均不穩定。

1.7.3方法2：勞斯判據

勞斯陣列1

勞斯陣列2

分析：第一列的符號均發生了變化，系統均不穩定。

1.7.4那么問題來了，z（t）是不穩定的容易理解，隨著u（t）的作用，z（t）是不斷增大的，不會趨于一個穩定值。但是θ（t）應該是穩定的，那么問題出在哪里？

在上述的分析過程中，我們將原方程線性化了，而線性化需要一個前提條件，這個前提條件就是θ十分小。因此，該線性化方程只能在θ很小的條件下使用，當θ增大到一定角度時就不能使用該數學模型。所得的數學模型只有在所取的平衡工作點附近的小范圍內才能保證線性化的準確性。

1.7.5由上述穩定性分析可知系統在平衡工作點小偏差線性化后可能會改變系統穩定性。

1.7.6由假設3可知當系統趨于穩定時，θ的高階微分項可以消除，可以得到，當θ穩定時， 。

2.小偏差線性化

該模型是非線性系統，但是由于閉環反饋使得輸出值是十分微小的，就可以通過小偏差線性化的方法將其線性化。非線性系統的線性化是控制系統中十分重要的部分，對系統的分析和設計起到十分重要的作用。通過思考和查閱資料，我更加深入地學習了小偏差線性化方法。

2.1小偏差線性化定義

自動控制系統通常情況下都有一個正常的工作狀態，即穩態。我們想要研究的問題往往是系統在正常工作狀態附近的行為。當系統的輸入或輸出相對于正常工作狀態發生偏差時，即所謂的“小偏差”。因此，在這樣的一個小偏差范圍內，可以將非線性部分準確地用直線來代替，這就是小偏差線性化方法。

2.2泰勒級數展開

將非線性函數圍繞平衡點展開成泰勒級數并保留其線性項的方法，是一種最基本的小偏差線性化方法。該方法廣泛地應用于實際系統中[1]。

2.3泰勒展開局限性

一般認為只要對非線性方程采用泰勒展開式就是線性化，但是泰勒展開法只適用于原始的非線性函數。一般實際的非線性系統的方程式是經過許多復雜的推導而得到的，如果只根據推導出的方程式簡單地采用泰勒展開法來進行線性化，那么所得的結果有可能是錯誤的[2]。

2.4取偏導數線性化

有些非線性方程在導出過程中包含有求偏導的過程，可以通過在工作點取偏導數得出線性化方程。

2.5平衡工作點

如果系統中非線性元件不只是一個，則必須依據實際系統中各元件所對應的平衡工作點建立線性化增量方程，才能反映系統在同一個平衡工作狀態下的小偏差運動特性。

3.結語

通過對自動平衡搜索車的控制系統分析，了解到實際中很多系統都有非線性部分，在進行系統分析時，都需要進行線性化，而線性化最基本方法就是小偏差線性化。但是小偏差線性化可能會導致系統的穩定性變化，即線性化后的系統穩定性可能改變。但是在小偏差的范圍內該線性系統是合理的。因此，小偏差線性化系統存在局限性。小偏差線性化方法最常用的是泰勒級數展開取線性部分，而實際系統十分復雜，該方法是不合理的，只能使用于一個非線性元件。實際中的系統線性化需要在同一個平衡工作點建立線性化增量方程。

參考文獻：

[1]欒秀春，陽光，袁麗英等.一類非線性系統小偏差線性化的計算機求解[N].哈爾濱商業大學學報（自然科學版），2007-4 Vol.23 No.2.

[2]孟范偉，何朕，王毅等.非線性系統的線性化[N].電機與控制學報，2008-1 Vol.12 No.1.

作者簡介：郭振緯（1993-），浙江大學控制科學與工程學系，指導老師：宋春躍、楊秦敏。