障礙期權定價的混合Laplace—Adomian方法探討

李曉敏

【摘要】 期權是一種重要的金融衍生工具，價格作為期權最核心的部分得到人們極大的關注。其中最著名的是布萊克與斯科爾斯在20世紀70年代提出的Black-Scholes公式，許多學者將該公式運用于不同種類的期權計價中，并且在具體求解過程中試用了大量不同思路的數學方法。本文沿著這一思路，將雙障礙期權抽離出來，研究它價格的計算方法，具體做法為將Laplace變換與Adomiam分解方法結合，希望能得到計算更為簡潔的求解模型。

【關鍵詞】 期權 布萊克-斯科爾斯公式 拉普拉斯變換 Adomian分解

一、背景介紹

1、期權定義

期權是指在特定時間內以特定價格買賣一定數量交易品種的權利。合約買入者或持有者以支付期權費的方式擁有權利；合約賣出者或立權者收取期權費，在買入者希望行使權利時，必須履行義務。由于對期權的擁有者而言，它代表的是一項權利而不是義務，因此在金融市場中它是有一定價值的金融工具，而又由于期權是在它所對應的標的資產基礎上衍生而來的，因此它被稱作為金融衍生工具。

2、期權價值

期權的價值是研究期權問題的核心，它主要由內涵價值和時間價值兩部分組成。內含價值又稱履約價值，指期權本身所具有的價值，也是期權履行合約時所能獲取的利潤。它反映了期權的敲定價格與標的資產市場價格之間的變動關系。時間價值是指期權買方隨著時間的延續及相關商品的價格波動可能使期權增值時，買入這一期權所付出的權利金金額。期權時間價值的變化規律為：隨著期權合約剩余有效期的縮短而減小。因為對權力買方而言，市場發生有利變化的可能性越大，獲利的機會也就越多，他愿意支付的時間價值也就越高；從期權賣方而言，有效期越長，他需履行義務的時間也就越長，因此承擔的風險較大，收取的時間價值也就較高。影響期權價格的因素主要有以下幾點。

（1）與標的資產有關的因素。標的資產的當前價值。由于看漲期權規定了由固定價格購買標的資產的權利，因此標的資產當前價格的上升能增加看漲期權的價值；看跌期權則恰好相反。

標的資產價格變化的方差。到期日內標的資產價格的波動性，對看漲看跌期權一樣，在其他因素不變的情況下，標的資產價格變化的幅度越大，期權的價值越高。因為期權買方的損失最大不會超過所支付的期權費，但卻會從標的資產價格的劇烈變化中獲取巨大收益。

標的資產支付的紅利。標的資產支付現金紅利會影響標的資產的價值，從而進一步影響期權的價值。

（2）與期權合約相關的因素。期權的執行價格。期權的執行價格在期權的到期日之內是固定的。對看漲期權而言，由于合約規定了由固定價格購買標的資產的權利，期權的價值隨執行價格的上升而下降。如股票以100元的價格交易，執行價格是80元的看漲期權內在價值為20元，而執行價格為90元的看漲期權的內在價值為10元。

期權的到期期限。無論是看漲期權還是看跌期權，在其他因素都一定的情況下，期權的價值都會隨到期日的臨近而減小。

與金融市場相關的因素。主要是無風險利率的影響，利率升高會使得看漲期權的價值增加，而使看跌期權的價值減小。

3、期權計價模型

期權定價是指期權價格的確定，期權的價格為期權買方為獲得期權合約所賦予的權利而向賣方所支付的費用。在期權的交易中，它有很重要的意義，同時也是十分復雜的。

1973年，美國的Fisher Black和Myron S.Scholes聯合發表了題為“期權和公司債務的定價”的文章，該文章被刊登在《政治經濟學》雜志上。文中提出了Black-Scholes公式用來計算歐式看漲期權的定價問題。公式的最終表達式為：

其中，C代表期權價格，它是關于股票價格s和時間？子的函數，？滓指股票價格的波動性，rf代表無風險利率。

盡管B-S模型的提出具有重要的意義，但是它也并不是完美的。因此，它并沒有終止人們對期權定價領域的研究，而是為更進一步的研究奠定了基礎。在此之后的40多年來，主要出現了如下重要的成果：Merton（1973）考慮了股利和隨機利率模型；Brennan（1978）闡述了跳躍過程模型；Macbeth和Merville（1980）檢驗了B-S模型；Leland（1985）、Dokuchaev（1998）和Lionel Martellini（2000）將交易成本納入考慮之中；P.P.Boyle（1998，1999）對多變量或有衍生物進行了求解；Vasicek（1997）、Cox Ingersoll和Ross（1985）、Ho和Lee（1986）研究了短期利率模型；Scott（1987）、Steeley（1997）、Finance和Tomas（1997）、Nandi（1999）、Zran和Forsyth（1998）、Danielsson（1998）、Duan（2001）研究了隨機波動率問題；Chang（2001）研究了隨機利率問題；Ball和Torous（1983）、Black 和Karasinski（1991）、Jamashidian（1989）、Das（1997）、Ho和Stapleton（1997）探討了債券期權；Garman和Kohlhagen（1983）、Amin和Jarrow（1991）研究了貨幣期權；Campbell和Whaley（1992）研究了指數期權；Wall和Pringle（1989）、Hagn和Bazley（1997）、Hubner（2001）研究了利率互換問題；Rubinstein（1979，1994）對二叉樹方法進行了系統闡述；P.P.Boyle （1994）對障礙期權的求解進行了研究；P.P.Boyle（1999）對服從CEV的回望期權和障礙期權進行了系統研究；J.Hull A.White（1990，1993，1994）對股票期權及利率期權進行了大量闡述；D.Heath R.Jarrow（1990，1992）和Black（1995）也對利率期權定價問題進行了闡述；另外，Boris（1998，2002）等對仿射期限結構問題進行了研究。在完全金融市場的環境下，期權定價方法除了B-S模型之外，還有二叉樹模型、蒙特卡羅模型及有限差分法等。

4、本文內容

障礙期權作為眾多期權中的一種，由于其價格比普通期權要便宜得多，因此在市場上交易十分活躍。障礙期權的價值不僅取決于標的資產到期日的價格，還取決于標的資產的價格在到期日之前是否會超過合同所限定的“障礙”，這也為期權價值的確定帶來了阻礙。已有的計算障礙期權的方法往往要消耗大量的計算時間，本文試圖將Laplace變換同Adomian分解法結合，希望得出計算障礙期權價格的更有效的算法。本文的主要內容包括：第一，介紹期權的基本含義，主要類型；第二，簡單介紹Black-Scholes公式及期權定價方面的研究現狀；第三，重點將奇異期權中的雙障礙期權提出來，計算它的價格，主要思路為先將Black-Scholes公式中的偏微分方程經過Laplace變換，再將變換后的方程用Adomian分解法進行求解，最后再經Laplace逆變換求出我們所要的方程解；第四，對障礙期權定價的混合Laplace-Adomian方法的優劣進行分析，并加以總結。

二、模型

在此部分我們以雙障礙看漲期權為例，探討混合Laplace-Adomian方法的具體步驟。

首先從Black-Scholes公式開始：

其中，C代表期權價格，它是關于股票價格s和時間？子的函數，？滓指股票價格的波動性，rf代表無風險利率，Cs是指期權價格C對股票價格的一階偏導，Css是期權價格對股票價格的二階偏導，C？子是期權價格對時間的一階倒數。

邊界條件和起始條件如下：

為了進行下面的步驟，我們把經過Laplace變換后的式（6）先放一放，先來討論Adomian分解方法在解常微分方程中的應用。

已知待定求解方程形式為：

邊界條件為：

運用Adomian方法得到：

圖2同樣說明：n越大，？準n（x）越接近于u（x），而n=7時，？準n（x）與u（x）幾乎重合。

以上兩個例子可說明，Adomian算法對于求解某些常微分方程是可行的，由n的數值較小時？準n（x）便可以趨近于u（x），還說明該方法是簡潔有效的。

接下來要做的工作是將經Laplace變換后的方程（6）用Adomian方法進行求解，將（6）式作適當變形得到如下方程：

最終得到的是期權價值C關于股票價格s和時間？子的關系式。當無風險利率和股票價格波動性均給定的情況下，每一組s和？子的值可得到相應的C值。

三、數據分析

對以上提出的混合Laplace-Adomian方法，我們希望能通過具體的數字計算與已知的解析解進行比較進，由此來判斷該方法的可行性。我們挑選的具體數值如下：

運用Matlab程序將前面所討論的Laplace-Adomian方法的過程編寫出來，結果證明n？叟4時便開始收斂，即 n？叟4后結果穩定在10.4724。

最后，將n=4時得到的？準4（x）帶回到方程，移動項后得到誤差，證明誤差范圍在0.5%以內，如圖3所示。

而按照傳統的算法，解出的期權價值C為5.9968。

從計算步驟的簡便程度以及計算量大小方面來看，此方法的優越性還是很明顯的。傳統的二叉樹、三叉樹或是有限差分法，n的值往往要取到幾百甚至幾千才能夠收斂，這大大增加了計算的時間，從而降低了效率，而Laplace-Adomian方法的收斂性是非常好的，n取值很小時便可收斂，由此提高了效率。

四、結論

本文從Black—Scholes公式出發，研究了雙障礙期權價格的求解問題。首先將Laplace變換運用到公式中，使得方程對中期權價格對時間的偏導數得以消除，大大簡化了方程求解的難度；再用Adomian分解法來求出經變換后方程的近似解，此方法相較于以往的方法也體現出了收斂性好、節約計算時間的優點。如果所變程序經調試后可以得到較精確的結果，則可以說明該混合方法是確實可行的。而且該方法不僅局限于計算期權定價的問題，帶雙邊界值的類似形式的偏微分方程均可用它來求解，因此應用將是十分廣泛的。

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（責任編輯：劉冰冰）