淺談解決立體幾何中“動態問題”的幾種方法

葉昭蓉

摘 要：立體幾何中的“動態問題”主要是研究空間點、線、面位置關系，當某些點、線、面位置變化時，尋找變化量與不變量的關系，將高中階段所學函數、向量、解析幾何等相關知識有機結合起來，培養學生分析問題、解決問題的能力，從而提高學生的數學思維。

關鍵詞：動態問題;函數法;解析法;等價轉換法

立體幾何中的“動態問題”是指空間圖形中的某些點、線、面的位置是不確定的或可變的一類開放性問題。由于某些點、線、面位置的不確定，對學生的空間想象能力、知識的綜合能力、思維的轉化能力提出了更高的要求。因此，在教學過程中非常有必要對知識進行活化，引導學生通過觀察、分析、比較、聯想、轉化等思維過程，開拓學生的思維;動靜結合，化動為靜，找到相應的幾何關系; ?在原有的認知結構中，用熟悉的平面幾何知識、代數方法等進行解答。下面淺談幾種解決立體幾何中“動態問題”的方法。

一、函數法

由于某些點、線、面在動，必然導致某些位置關系或一些量的變化。當變量變化時會引發其他量的變化，從而建立函數關系，則可將立體幾何問題轉化為函數來解。

例1.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P1，P2分別是線段AB、BD1（不包括端點）上的動點，且線段P1P2平行于平面 A1ADD1，則四面體P1P2AB1的體積的最大值為______.

【解析】因為點P1、P2分別是線段AB，BD1上的動點，所以線段 P1P2在平面ABD1內，又∵P1P2∥平面A1ADD1，∴P1P2∥平面AD1作P2O⊥BD于點O，連接OP1，則P2O⊥平面ABCD，OP1⊥AB，即OP1為三棱錐P2-P1AB1的高，設AP1=x，0

∴VP-PAB=S△ABP·OP1=··x·（1-x）≤（）2=

當且僅當x=1-x？圯x=時，四面體P1P2AB1的體積的最大值為。

二、解析法

利用空間直角坐標系解決立體幾何問題，即實現幾何問題代數化。由于空間向量集代數（坐標）運算和幾何運算于一體，成為溝通空間“數”和“形”的最佳載體，因此，利用空間直角坐標系將空間圖形中的若干構成元素坐標化后，借助于向量進行運算和分析， 是解決這類問題常用的方法。

例2.已知四面體ABCD中，DA=DB=DC=3，且DA，DB，DC兩兩互相垂直，點O是△ABC的中心，將△DAO繞直線DO旋轉一周，則在旋轉過程中，直線DA與直線BC所成角的余弦值的最大值是 ? .

【解析】以O為坐標原點，以OD及平行于BC的直線分別為y，z軸建立空間直角坐標，則B（-，3，0），C（-，-3，0），D（0，0，），

設A（2cosθ，2sinθ，0），則=（2cosθ，2sinθ，-），=（0，-6，0），

設直線DA與直線BC所成角為α，則cosα==≤

三、等價轉換法

“動”與“靜”是相對的，在運動變化過程中，要善于尋求或構造與之相關的一些不變因素，將一些變化的點、線、面進行合理轉換，以實現變量與不變量的有機結合。

例3.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2.若存在各棱長均相等的四面體P1P2P3P4，其中P1，P2，P3，P4分別在棱AB，A1B1，C1D1，CD所在的直線上，則此長方體的體積為 ? .

【解析】由正四面體相對的棱間的距離相等，即P1P2，P3P4間距離與P2P3，P1P4間距離相等，所以求長方體的高問題轉化為P2P3，P1P4間的距離問題，∵P1P2，P3P4間距離等于AD，∴長方體的高為2，∴長方體的體積為4.

四、定義法

當點、線、面的變化滿足某些約束條件時，往往能夠形成其變化的軌跡，若變化的軌跡符合某已知的定義，則可直接得出其軌跡。

例4.棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1在空間直角坐標系中移動，但保持點A，B分別在x軸、y軸上移動，則點C1到原點O的最遠距離為（ ?）

A.2?B.2?C.5 D.4

【解析】點A，B分別在x軸、y軸上移動可看作為x軸、y軸分別繞點A，B移動，

∵∠AOB=90°，∴當正方體固定時，坐標原點O的軌跡為以AB為直徑的球面，設AB的中點為E，則C1O最大值為C1E+1=3+1=4.

以上解決立體幾何中“動態問題”的幾種方法，相互間互相滲透，教師在教學過程中應充分加強知識間相互聯系，讓動態元素動起來，在運動變化中探求與之相關的不變的元素及元素間相互關系。在解決具體問題時，要善于從多角度進行思考，培養學生數學思維，激發學生學習數學的興趣，避免產生數學焦慮，從而很好地達到教學相長的境界。

？誗編輯 楊兆東