巧用二次函數(shù)圖象及性質(zhì)解相關(guān)高考試題

劉海青

摘 要：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的靈魂，尤其是二次函數(shù)貫于穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)，是每年必考的內(nèi)容。通過它可以研究函數(shù)的很多性質(zhì)，并且與不等式、數(shù)列等有著廣泛的聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù);圖象;性質(zhì);應(yīng)用;解題規(guī)律

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的靈魂，尤其是二次函數(shù)貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)，是高考必考的內(nèi)容。通過它可以研究函數(shù)的很多性質(zhì)，并且與不等式、數(shù)列等有著廣泛的聯(lián)系。本文主要通過二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行歸類，以揭示二次函數(shù)的解題規(guī)律。

一、最值問題

一般先用配方法化為y=a（x-m）2+n的形式，得頂點(diǎn)（m，n）和對(duì)稱軸x=m，結(jié)合二次函數(shù)圖象求解，常見的有三種類型：

（1）頂點(diǎn)固定，區(qū)間也固定;

（2）即頂點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，區(qū)間固定，這時(shí)要討論頂點(diǎn)橫坐標(biāo)何時(shí)在區(qū)間之內(nèi)，何時(shí)在區(qū)間之外;

（3）頂點(diǎn)固定，區(qū)間變動(dòng)，這時(shí)要討論區(qū)間中的參數(shù)。

例：函數(shù)f（x）=x2+2mx+m2-m-，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有f（x）>0，求m的取值范圍。

思路點(diǎn)撥：此題為動(dòng)軸定區(qū)間問題，需對(duì)對(duì)稱軸進(jìn)行討論。

解：f（x）=（x+m）2-m-

當(dāng)-m≤0即m≥0時(shí)，f（0）≥0？圯m2-m-≥0，∴m≥;

當(dāng)-m>0即m<0時(shí)，-m->0，∴m<-3.

綜上得：m<-3或m≥.

點(diǎn)評(píng)：分類討論要做到不漏掉任何情況，尤其是端點(diǎn)處的數(shù)值不可忽視，最后結(jié)果要取并集。

二、一元二次方程ax2+bx+c=0的實(shí)根分布問題

在研究一元二次方程根的分布問題時(shí)，常借助于二次函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合來解，一般從二次函數(shù)的四個(gè)要素來考慮：開口;區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào);對(duì)稱軸;Δ。

例：已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a，如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍。

解析1：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，即方程f（x）=2ax2+2x-3-a=0在[-1，1]上有解。

a=0時(shí)，不符合題意，所以a≠0，方程f（x）=0在[-1，1]上有解？圳f（-1）·f（1）≤0或

af（-1）≥0af（1）≥0Δ=4+8a（3+a）≥0？圳1≤a≤5或a≤或a≥5？圳 a≤或a≥1-∈[-1，1]

點(diǎn)評(píng)：通過數(shù)形結(jié)合來解決一元二次方程根的分布問題。

三、在不等式方面的應(yīng)用

1.一元二次不等式恒成立問題

（1）在R上恒成立——利用開口及Δ;

（2）在某區(qū)間上恒成立——變量分離或畫圖利用四要素或轉(zhuǎn)化二次函數(shù)最值。

例：（2009年江西卷文17）設(shè)函數(shù)f（x）=x3-x2+6x-a.

對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，f ′（x）≥m恒成立，求m的最大值。（節(jié)選）

解析：f ′（x）=3x2-9x+6，∵對(duì)？坌x∈R，f ′（x）≥m，即3x2-9x+（6-m）≥0在x∈R上恒成立，∴Δ=81-12（6-m）≤0，得m≤-，即m的最大值為-.

例：（2009年全國(guó)卷II文21）設(shè)函數(shù)f（x）=x3-（1+a）x2+4ax+24a，其中常數(shù)a>1，若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍。

分析：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出a的范圍。

解：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值。

f（2a）=（2a）3-（1+a）（2a）2+4a·2a+24a=-a3+4a2+24a;f（0）=24a，則由題意得a>1f（2a）>0f（0）>0，解得1

四、在數(shù)列方面的應(yīng)用

利用二次函數(shù)的性質(zhì)來解答等差數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)最值問題比用其他知識(shí)簡(jiǎn)單。

例：（2010新課標(biāo)17）設(shè)等差數(shù)列an滿足a3=5，a10=-9。

（1）求an的通項(xiàng)公式;（2）求an的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號(hào)n的值。

解：（1）（略）;（2）Sn=na1+d=10n-n2=-（n-5）2+25，所以n=5時(shí)，Sn取得最大值。

二次函數(shù)有豐富的內(nèi)涵與外延。作為最基本的冪函數(shù)，以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，還與不等式、數(shù)列等有著廣泛的聯(lián)系。因此，二次函數(shù)可以稱為高中數(shù)學(xué)的靈魂。

？誗編輯 王夢(mèng)玉