更新舊觀念 開創(chuàng)新概念——基于前概念的數(shù)學單元核心概念建構與創(chuàng)構的實踐研究

王靜

摘 要：用數(shù)學探究活動幫助學生建構數(shù)學概念是當前數(shù)學教學的重點和熱點。針對目前數(shù)學探究活動設計中過于局限教材、偏重某一課時細小活動設計，缺乏目標性、學生能力提升等不足，提出在數(shù)學探究過程中建構與創(chuàng)構單元核心概念應該以學生的前概念及前概念與待建數(shù)學概念的認知沖突中產生的問題為立足點，充分考慮教材和學生兩個教學設計中最主要的變量，按“知識邏輯與認知邏輯相統(tǒng)一”的思路進行有效設計，建立以探知到的前概念為基礎，積極導出有價值的問題，及時反饋探究結果，幫助學生進行數(shù)學概念的意義建構，并結合具體的單元提出了核心概念建構與創(chuàng)構的操作策略。

關鍵詞：前概念;自主探究;核心概念;創(chuàng)構

以自主探究為核心的活動已經成為數(shù)學課教學的主要方式。許多教師在設計活動時有意將“自主探究”思想融入并能在教學中一定程度的實施。不過通過調查發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)今課堂由于受教學任務重、自身專業(yè)知識不足等因素的限制，仍然存在一些不合理現(xiàn)象。

一、“數(shù)學概念”建構現(xiàn)狀分析

1.零起步——概念建構起點低

有些新教師，在新授課時總把學生認知水平當成“零”起點。生怕自己講的有所遺漏，課堂出現(xiàn)地毯式轟炸的“滿堂灌”。雖然有精彩的課件、生動的課堂教學、大量的習題演練。但課后訪談學生，效果卻不理想。

2.盲目性——概念建構缺方向

許多教師設計自主探究活動及進行教學環(huán)節(jié)時，目的性不強，抓不住關鍵，解決不了教學中的難點、重點，對其教學設計的目的是什么，是為了學生獲得哪一方面的發(fā)展，可幫助學生習得哪些概念，教師自己都不是很清楚，致使許多工作缺乏明確的指向。而這與現(xiàn)今“用自主探究活動幫助學生建構數(shù)學概念”，著力體現(xiàn)關注學生數(shù)學概念建構的教學改革新思路不符合。

3.單方面——概念建構關注窄

設計活動時主要關注零星的個案或者一課一例的探究活動，主要圍繞探究活動優(yōu)劣或者多樣化設計，很少能聯(lián)系學生的前概念（包括小學數(shù)學知識建構點及現(xiàn)今初中教材體系），進行單元整體設計的研究。

4.提升淺——概念建構能力虛

有些教師在教材處理時，缺乏理性深度，有知識缺方法，有方法少能力，重解題能力輕數(shù)學素養(yǎng)，導致教學設定的三維目標被虛化，不能真正實現(xiàn)能力提升。

本文嘗試借用學生的數(shù)學前概念支撐，以初中數(shù)學模塊整體核心概念創(chuàng)構為研究視角，通過探究活動體驗探討模塊核心概念建構與創(chuàng)構的基本思路和操作策略，解決教師在“用教材教”過程中所面臨的“無處下手”“難以下手”“隨便下手”等諸多問題，提高數(shù)學教學的實效。下面圍繞數(shù)學“函數(shù)”模塊下與“一次函數(shù)”“二次函數(shù)”等相關內容，談核心概念的“建構”“創(chuàng)構”策略，并以“認識函數(shù)”為課例對核心概念建構進行解讀。

二、理性思考

1.研究綜述

在核心概念教學調控的實踐研究中，根據(jù)所確定的核心概念框圖，以一系列的習題和探究活動為主要載體，在課前、課中、課后等教學流程環(huán)節(jié)中對學生的活動和學習行為實施調控，使概念教學在師生雙邊活動中得到內化提升。核心概念框圖調控模式可以用圖1來表示：

2.概念界定

（1）核心概念

核心概念是位于學科中心的概念性知識，包括重要概念、原理、理論等基本理解和解釋，這些內容能夠展現(xiàn)當代學科圖景，是學科結構的主干部分。

（2）據(jù)探究活動體驗學習（圖2）理論“基于前概念的數(shù)學單元核心概念建構模式”

在引導學生進行核心概念的建構過程之前，教師要充分了解學情（即原有的前概念或相關直接經驗），再圍繞課標、教材體系總體形成相關核心概念框圖，進而確定課題的三維教學目標，并鑒于學生的知識邏輯、認知邏輯等設計好教學情景活動，將設置的情景按核心概念框圖有序開展教學活動。

設計的操作步驟如圖3：

三、實踐研究

1.建構——從前概念及課標出發(fā)建構核心概念框圖

初中數(shù)學從以基礎知識和基本技能為中心的課程設計發(fā)展到圍繞數(shù)學概念探究為中心的課程設計，這是數(shù)學教育發(fā)展的必然。如何根據(jù)學生的前概念及課標、教材體系來綜合建構核心概念框圖呢？

（1）分析前概念，定位核心概念

了解“函數(shù)”的數(shù)學教材體系及主要內容分布，理清在初中階段中已建立的前概念構架。再與我們初中數(shù)學的課標進行整體對照（表一），可以從數(shù)學概念和活動構成出發(fā)解讀教材，對單元的核心概念在教材體系中的位置、具體數(shù)學概念和與之相應的探究活動等諸要素逐一進行梳理，從總體上把握單元的教學目標取向、內容特點和活動，即讀懂讀通教材，逐步構建“一次函數(shù)”“反比例函數(shù)”“二次函數(shù)”等知識體系。

表一 初中數(shù)學在“函數(shù)”主題下“一次函數(shù)”“反比例函數(shù)”“二次函數(shù)”部分比較

由比較可知，“函數(shù)”這塊知識與學習不同類型的函數(shù)有很大一致性。我們可結合教材構建核心概念框圖：函數(shù)中兩個變量的關系;函數(shù)的表達式及圖象，根據(jù)圖象歸納函數(shù)的性質。拓展出的具體概念（見表一和圖4）。于是我們就可將“一般表達式—圖象—性質—應用”串成一條主線，依據(jù)教材編者意圖系統(tǒng)地進行設計。

（2）巧置情景序，活動建構概念

數(shù)學自主探究活動是數(shù)學概念教學的外顯，是看得見的、可操作的內容，是促進學生數(shù)學概念發(fā)展的有效載體。當然，必須珍惜學生已有的知識、經驗以及對探究過程的感受，并將之作為所有內容呈現(xiàn)、教學的起點和學生建構的支點。所以，對教材設計了哪些探究活動？這些活動對應于哪些數(shù)學概念？這是解讀教材時必須把握的關鍵，我們也需要對這些情景體驗活動根據(jù)教學核心概念的呈現(xiàn)設置情景，使其有效服務于教學目標實現(xiàn)及整體體系建立。

例如，學習“二次函數(shù)”這個概念時，是在學習了“一次函數(shù)”后，故新課前可以讓學生先完成一組練習：

請用適當?shù)暮瘮?shù)解析式表示下列問題中情景中的兩個變量y與x之間的關系：

①面積y（cm2）與圓的半徑x（cm）;

②王先生存入銀行2萬元，先存一個一年定期，一年后銀行將本息自動轉存為又一個一年定期，設一年定期的年存款利率為x，兩年后王先生共得本息y元;

③擬建中的一個溫室的平面圖（如圖5），如果溫室外圍是一個矩形，周長為120m，室內通道的尺寸（如圖5），設一條邊長為x（cm），種植面積為y（m2）

圖5

接著，教師組織合作學習活動：

①先個體探求，嘗試寫出y與x之間的函數(shù)解析式。

②上述三個問題先易后難，在個體探求的基礎上，小組進行合作交流，共同探討。

y=πx2 ?y=20000（1+x）2=20000x2+40000x+20000

y=（60-x-4）（x-2）=-x2+58x-112

上述三個函數(shù)解析式具有哪些共同特征？

讓學生充分發(fā)表意見，提出各自的看法。

最后教師歸納總結：

上述三個函數(shù)解析式經化簡后都具y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的形式.

板書：我們把形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)（quadraticfuncion）

通過自己課前體驗，再聯(lián)系之前學過的一次函數(shù)相關知識（前概念），學生能迅速將原有表象結構恢復，在實例體驗之后會與先前的“一次函數(shù)”概念產生沖突，進而尋求新的探知點來解決矛盾，自然聯(lián)系到自變量的次數(shù)為二次的函數(shù)叫做二次函數(shù)。這樣在課堂學習前學生已有相應的學習方法，核心概念也已初步建立起來。而“二次函數(shù)”概念建立之后就可作為一個切入口，圍繞“一般表達式”“圖象及其性質”“二次函數(shù)的應用”子主題，教材主要設計了：二次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的性質和二次函數(shù)的應用等章節(jié)，教材主要建構了以下探究活動（圖6）：

2.解構——從知識邏輯和認知邏輯出發(fā)解構認知序

在對課標、教材等的核心概念初步感知和整體把握后，建構出核心概念框架，并根據(jù)教材體系及學生身心特點梳理出“數(shù)學概念”和“探究活動”的邏輯關系，并對其展開“剖析”和“解構”，以理清隱匿于教材活動背后的邏輯關系，即活動結構的分析。在“一次函數(shù)”和“二次函數(shù)”主題下幾個章節(jié)的設計，是先建立函數(shù)概念并在其基礎上聯(lián)系函數(shù)圖象。再利用圖象上點的坐標與變量之間的關系，研究變量與變量之間的關系。這樣的探究學習活動設計順序是否符合知識邏輯和認知邏輯協(xié)調發(fā)展的關系？試作如下討論：

（1）從知識邏輯來看，教材設計了一個怎樣的知識發(fā)生、發(fā)展過程？

知識邏輯指的是知識間的相互聯(lián)系，前面知識應該是后面知識的鋪墊，后面知識是前面知識的發(fā)展，兩者形成緊密的結構，不可隨意設置，前后顛倒。

從教材的設計思路看，一次函數(shù)的探究思路是“一次函數(shù)的一般表達式→一次函數(shù)的圖象→一次函數(shù)的性質→一次函數(shù)的應用”;反比例函數(shù)和二次函數(shù)的探究思路也如此。因此，教材設計了先學習“一次函數(shù)的表達式”“一次函數(shù)的圖象”，再研究“一次函數(shù)的應用”進程，這符合知識邏輯嗎？事實上，在教學中我們從直觀入手，讓學生用描點法親自動手畫出函數(shù)圖象，根據(jù)自己畫出的圖象與同伴的圖象相比較，得出一次函數(shù)的性質，最后結合圖象理解記憶，培養(yǎng)學生對數(shù)形結合思想的理解和應用，在學習的過程中遵循著由易到難、由簡到繁、由直觀到抽象的原則。

隨著知識問題的解決，逐步引導學生成功地向抽象認識邁進，學生所獲得的知識也將是一種開放式的、更具良好結構的體系，它能使學生更好地接受新的知識和形成新的技能，有利于他們繼續(xù)學習。

（2）從認知邏輯來看，學生經歷了一個怎樣的認知發(fā)展過程？

認知邏輯就是認識事物的一般過程和基本規(guī)律，自主探究活動設計要符合學生的年齡特點和認知水平，數(shù)學概念的發(fā)展應與學生的認知能力發(fā)展相適應，遵循由易到難、由具體到抽象、由簡單到復雜、循序漸進的原則。如在函數(shù)的學習中，認識“一次函數(shù)”在前，認識“反比例函數(shù)”和“二次函數(shù)”在后，這樣的順序是否符合學生的認知邏輯呢？通過教學實踐發(fā)現(xiàn)：

八年級的學生認識“反比例函數(shù)”“二次函數(shù)”是有難度的，難點在于“函數(shù)”本身是一個抽象概念，何況二次函數(shù)還常常與所學的其他問題綜合運用，雖說有之前所學、生活經驗的鋪墊，也有實際問題的支持，但當中一些反思維及數(shù)形結合思想學生還是不易理解。對大部分學生來說，理解“一次函數(shù)”比“二次函數(shù)”要直觀些，也簡單些。因此，“一次函數(shù)”“反比例函數(shù)”是在八年級需呈現(xiàn)一個階段性的認識，逐步提升發(fā)展，所以二次函數(shù)及其綜合運用內容就編排在九年級中。

到九年級學習了幾何圖形的相關概念，這是在八年級建構的前概念基礎上進行一個重新加構的過程。通過教學發(fā)現(xiàn)在“二次函數(shù)”這塊概念建立是個難點，教材編者為減輕九年級中內容量的問題，將九上的“反比例函數(shù)”下移到八年級，從教學內容量來說是不錯的措施，但從實效及知識系統(tǒng)結構上感覺并不是很理想，畢竟學生的抽象思維能力在八年級中還是比較有限的，雖經有老師多方面的引導和幫助，學生還是半惑半解，到了九年級還是需要再建構。

3.重構——從學生主體和概念發(fā)展出發(fā)重構教學序

了解學生的前概念和“以學為中心”，是對教材進行解構和重構的根本出發(fā)點。如何圍繞數(shù)學概念重構出形式活潑、難度適中、結構合理的探究活動并形成合理的教學序呢？這是我們必須要考慮的。

在活動重構中，我們應遵循的原則是：自主探究活動設計要符合學生的年齡特點和認知特點，站在學生的角度設計教學活動，體現(xiàn)核心概念建構的階段性和發(fā)展性特點。所謂階段性，是指自主探究活動要符合學生的年齡特征，在不同年級建構的數(shù)學概念層次不同，年級越低越要關注具體概念;所謂發(fā)展性，是指具體概念要圍繞核心概念展開，由淺入深，形成梯度，逐步向核心概念方向發(fā)展。

以《一次函數(shù)》之“認識函數(shù)”教學為例：

（1）創(chuàng)設情境導入主題

同學們，上一節(jié)課我們對現(xiàn)實世界數(shù)量關系中的常量和變量進行了認識與研究，請同學們看一下材料一中的四個問題，你能說出常量和變量，并把它們用數(shù)學表達式表示出來嗎？（學生口答，教師板書）。

材料1：①火車以60千米/時的速度行駛，它行駛的路程S（千米）和所用時間t（時）的關系式;

②圓的周長C和半徑r的關系式;

③n位同學購買單價為9元/本的教科書，每人一本，總金額y元與的n關系式;

④設地面氣溫是18℃，高度每升高1千米，氣溫就下降6℃，高度h千米處的氣溫t（℃）與h（千米）的關系式。

接下來，我們再來看幾個比較復雜的問題，并思考：有幾個變量？變量和變量之間有怎樣的關系？

關系式 常量 變量

S=60t 60 S，t

C=2πr 2π C，r

y=9n 9 y，n

T=18-6h 18，-6 T，h

設計意圖：通過實際生活中的實例，讓他們感受到兩個變量之間的關系。

材料2：銀行對不同的存款方式都規(guī)定了相應的利率，下表是銀行2011年最新調整的“整存整取”年利率表：

觀察上表，說一說隨著存期x的增大，相應的利率y是如何變化的？

如果存期x確定了，年利率y的值確定了嗎？此時y的值有幾個？

設計意圖：利用表格的形式，讓他們進一步感受兩個變量之間的關系。

材料3：下圖是桐廬某天的氣溫變化圖，從這張圖上，我們能得出哪些信息呢？

在上圖表示的變化過程中，有幾個變量？

如果t確定了某個特定的時間，溫度T的值是否也確定了？此時溫度T的值有幾個？

設計意圖：讓學生感受圖象中兩個變量之間的關系。

活動分析：在學生匯報過程中，教師完成了引課、設疑、追問的環(huán)節(jié)，把導入直接引導了本課的主題“函數(shù)”上來。學生在自主探究的基礎上經過教師的適當引導，自然體會到函數(shù)是研究兩個變量之間的關系。

（2）分析性討論建構“函數(shù)”

師：在前面的匯報中，同學們都提到“變量”這一概念，其實這個概念在我們上節(jié)課中已學過，那么請同學們來說說，這里有幾個變量？

生：兩個變量（板書：兩個變量x，y）

師：兩個變量之間有什么關系？

生①：一個變量隨著另一個變量的變化而變化。

生②：一個變量確定，另一個變量也確定。

生③：x確定后，y有唯一對應的值。

師：請同學們共同給函數(shù)下一個定義。

生：一般的，在某個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x和y的每一個值，y都有唯一的值，則稱y是x的函數(shù)，此時x是自變量，y是因變量。

活動分析：學生數(shù)學概念的建構過程歷經：“熟悉事物（前概念）→小觀念→大觀念→更大的觀念→理論和原理”這一系統(tǒng)的順序。因此，要根據(jù)學生的經驗一步一步拓展他們的觀念。學生已經具有常量、變量、對應等前概念，也有函數(shù)關系的一些常識和經驗。為此，在弄清學生前概念的基礎上，充分挖掘學生前概念中可以利用的因素，努力尋找學生前概念與新概念之間的差異與內在聯(lián)系，為新概念的建立牽線搭橋。從多個角度出發(fā)，通過舉例、類比、歸納等方法刺激建立大腦皮層的多處興奮點，以激活學生的思維，充分調動學生的已有經驗來逐步構建函數(shù)的概念。

（3）數(shù)學史解說重構“函數(shù)”

數(shù)學史解說就是從數(shù)學史的角度加以重組前概念，進而概括推理出數(shù)學概念的過程。數(shù)學發(fā)展的歷史也是學生數(shù)學學習和探究的歷程，學生數(shù)學探究的歷程是數(shù)學發(fā)展進程的縮影，數(shù)學史應該成為學生數(shù)學學習之源。

師：同學們知道函數(shù)的英文怎么表示嗎？是什么意思？

生：函數(shù)的英文是function，它的意思是作用、用途?？墒?，為什么翻譯成中文卻成了函數(shù)？

師：在中國清代數(shù)學家李善蘭（1811-1882）翻譯的《代數(shù)學》一書中首次用中文把“function”翻譯為“函數(shù)”，此譯名沿用至今。對為什么這樣翻譯這個概念，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”;這里的“函”是包含的意思。其實就代表了數(shù)學中的對應法則，通過一定的作用使x映射到y(tǒng)。

生：哦，原來這個“函”通包含的“含”。

活動分析：有意義的學習應該是學生將經驗、概念、原理、知識框架建構起聯(lián)系的過程，也只有在概念之間和概念內建立聯(lián)系的過程才產生了有意義的學習。本課的數(shù)學概念包括常量、變量、對應等，而函數(shù)概念是這些具體概念之間的聯(lián)結點，是學生建立函數(shù)概念的焦點。對變量和常量的認識若沒有具體條件支持，而采用直接定義的方法，則會由于沒有有力的結構支持而使概念的建構缺乏穩(wěn)定性。函數(shù)的發(fā)展史使學生對一系列有關函數(shù)概念的建立起著關鍵的支持作用。通過了解函數(shù)的由來，提供情景性支持以建構系列概念。

（4）歸納性小結補構“框圖”

讓學生自主歸納本節(jié)課學習的內容及所用的數(shù)學思想和數(shù)學方法，其他學生補充。

活動分析：逐步培養(yǎng)學生的歸納、語言表達等能力，也提升了學生對學習方法的小結。在小組合作的互助下能對自身原有的知識框圖進行重新構建，彌補了知識鏈的斷檔。

（5）鞏固性作業(yè)創(chuàng)構“核心思維”

結合學過的函數(shù)相關知識，嘗試完成下題。

在國內投寄平信應付郵資如下表：

（1）y是關于m的函數(shù)嗎？為什么？

（2）分別求出當m=5，10，30，50時的函數(shù)值，并說明它們的實際意義。

（3）你能畫出y關于m的函數(shù)圖象嗎？（探究活動一）

（4）你能寫出y關于m的函數(shù)解析式嗎？（探究活動二）

設計意圖：將所學的知識進行綜合運用，并對函數(shù)的概念進行拓展。并讓學生感受到：函數(shù)的三種表示法有時可以互相轉化！

選做：觀察你生活中所遇到或熟悉的某個變化過程是否存在函數(shù)關系，嘗試用兩個變量來描述。S=60t

活動分析：新課程強調培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力，以學生為本，改進學習訓練方式、完善學習評價。如何落實減負增效，對學生課外作業(yè)的研究和實踐也是我們需要積極探索的問題。比如結合生活中的一些實際問題，或者布置“研究性學習”，讓學生進行研究性學習，在研究過程中可以更深入地理解數(shù)學概念和規(guī)律，對培養(yǎng)學生理論聯(lián)系實際、數(shù)學學習的興趣都非常有效。同時還可以把學生課外活動中的一些設計方案，作為課堂教學的資源，拓寬了課堂教學的時空，整合了課內外的數(shù)學資源，改變了作業(yè)的內容和形式，使學生的興趣、能力及探究意識得到培養(yǎng)。

數(shù)學概念的建構是一個概念的改變的過程。從學生在教師的引導下回現(xiàn)前概念（包括具體事物的現(xiàn)象及外表特征的感受）開始，進而啟動思維，對事物的現(xiàn)象及外表的特征進行分析、抽象、歸納、推理和概況出事物的共性及本質的東西，在探究中認知，在聯(lián)系中強化，在實踐中運用，從而在頭腦中建構出對事物認識的數(shù)學概念?！读x務教育數(shù)學課程標準》中提出：數(shù)學的學習活動應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的探究過程。課程內容要反映社會的需要、數(shù)學的特點，要符合學生的認知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學的結果，也包括數(shù)學結果的形成過程和蘊涵的數(shù)學思想方法。在數(shù)學活動中使自主探究活動的本質加以凸顯，學生在自我建構中對數(shù)學概念既“知其然”亦“知其所以然”，學生數(shù)學思維的發(fā)展得到真正的關注。

綜上所述，我們認為自主探究活動結構化設計時要處理好以下三個關系：

●要把握課標、教材目標和單元目標的關系。單元設計時了解學生的前概念，關注“數(shù)學概念和自主探究”目標指向，向上追溯本單元在全冊教材中的位置，向下要了解目標的分解和單元間的結構。

●要把握單元目標和課時目標的關系。單元設計時關注單元導入課、展開課、小結課的不同目標定位，各課之間互相呼應，形成結構化效益。

●要把握活動和活動間的結構關系。單元設計時要體現(xiàn)“知識邏輯”和“認知邏輯”的協(xié)調發(fā)展，由淺入深，體現(xiàn)活動的結構化效益。

參考文獻：

[1]殷佳子.從建構主義視角研究數(shù)學前概念的轉變策略[J].淮陰師范學院教育科學論壇，2008（11）.

[2]鄭毓信.數(shù)學思維與數(shù)學方法論[M].四川教育出版社，2001-01.

[3]段永梅.初中數(shù)學教學如何利用學生的前概念[J].教育教學論壇，2011（11）.

？誗編輯 孫玲娟