小議“求參數(shù)的取值范圍”問題

賈金鵬

摘 要：歸納總結(jié)了含絕對值不等式求參數(shù)取值范圍和在線性規(guī)劃問題中求參數(shù)取值范圍的常見題型及解決方法，并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行了分析和說明。

關(guān)鍵詞：不等式;線性規(guī)劃;參數(shù);取值范圍

本文歸納總結(jié)出了常見問題的基本類型及解決方法，并結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行了分析和說明。

問題一：含絕對值不等式求參數(shù)取值范圍

類型一：解集相同問題

這類問題在題目中經(jīng)常有“解集是……求a的值”等關(guān)鍵詞，處理的方法就是利用不等式的解集與所給解集相同建立方程。

下面以2013年遼寧高考題為例進(jìn)行分析和說明。

已知函數(shù)f（x）=x-a，a>1，已知關(guān)于x的函數(shù)不等式f（2x+a）-2f（x）≤2，解集為，求a的值。

分析：我們注意到題目中給出了含參不等式的具體解集，因而應(yīng)明確題型——“集合相等”（即含參不等式解集的左、右端點(diǎn)分別是1和2），化簡含參不等式，我們得到f（2x+a）-2f（x）=-2a，x≤04x-2a，0

類型二：恒成立問題

這類問題在題目中經(jīng)常有“任意x屬于某個(gè)區(qū)間某個(gè)式子都成立、不等式解集包括某個(gè)指定區(qū)間”等關(guān)鍵語句，我們可利用這些關(guān)鍵語句來確定題目的基本類型，處理的方法就是a≥f（x）？圯a≥f（x）max，a≤f（x）？圯a≤f（x）mix。

下面以2013年新課標(biāo)一卷高考題為例進(jìn)行分析和說明。

已知函數(shù)f（x）=2x-1+2x+a，g（x）=x+3

設(shè)a>-1，且當(dāng)x∈[-，〕時(shí)， f（x）≤g（x），求a的取值范圍。

分析：我們注意到題目中求的是a的取值范圍，并且是x取指定區(qū)間的任意一個(gè)值，不等式都成立，應(yīng)屬于“恒成立”問題。化簡不等式f（x）≤g（x），得出a≤x+2，應(yīng)滿足a≤x+2對x∈[-，]恒成立，也就是a≤x+2的最小值，即a≤-+2，進(jìn)而得到a的取值范圍。

類型三：存在性問題

這類問題在題目中經(jīng)常有“有解、解集非空”等關(guān)鍵詞，可利用這些關(guān)鍵語句來確定題目的基本類型，處理方法為：

a≥f（x）？圯a≥f（x）mix，a≤f（x）？圯a≤f（x）max。

下面以2012年唐山一模題為例進(jìn)行分析和說明。

設(shè)f（x）=2x-x+3，若關(guān)于x的不等式f（x）+2t-3≤0有解，求參數(shù)的t的范圍。

分析：我們注意到題目中說的是不等式有解（即至少有一個(gè)解），應(yīng)屬于“存在性”問題。化簡不等式得到2t-3≤x+3-2x，應(yīng)滿足x至少取一個(gè)值，使得這個(gè)不等式成立。也就是2t-3≤x+3-2x的最大值，求x+3-2x的最大值，我們利用圖象可知它的最大值是3，因而得到2t-3≤3，進(jìn)而求出t的取值范圍。

問題二：在線性規(guī)劃問題中求參數(shù)取值范圍

類型一：求約束條件中參數(shù)的取值范圍

線性目標(biāo)函數(shù)z=x+y在線性約束條件x+y-3≤02x-y≤0y≤a下取得最大值的最優(yōu)解只有一個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：依據(jù)題意，畫出可行域（如圖1）。由于a的值待求，因此特別要注意y=a這條直線的位置。由于線性目標(biāo)函數(shù)z=x+y在線性約束條件x+y-3≤02x-y≤0y≤a下取得最大值的最優(yōu)解只有一個(gè)，我們注意到直線y=-x+z（注意z的幾何意義）與直線x+y-3=0平行，這就要求可行域的右上方的邊界位置只能出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)，而不是一條線段。因此y=a這條直線一定就不能在直線x+y-3=0和2x-y=0交點(diǎn)的上方。我們只需求得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，a不大于它就可以了。

類型二：求目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)的取值范圍

1.最優(yōu)解無窮問題

此類問題的參數(shù)往往是線性目標(biāo)函數(shù)中x或y的系數(shù)，其處理方法是如果最優(yōu)解有無窮多個(gè)，則說明目標(biāo)函數(shù)所在直線的斜率等于某一邊界線的斜率，則由此列出方程而求出某系數(shù)的具體數(shù)值。我們以下面這道題為例進(jìn)行分析和說明。

已知三點(diǎn)A（5，2），B（1，1），C（3，4），平面區(qū)域?yàn)椤鰽BC的內(nèi)部及邊界，若使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)，求實(shí)數(shù)a的值。

分析：依據(jù)題意，畫出可行域（如圖2）。我們可以把目標(biāo)函數(shù)z=ax+y寫成y=-ax+z的形式，z的幾何意義就是該直線在y軸上的截距。因此直線y=-ax+z越向上平移z值越大。因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)，所以就需要直線y=-ax+z與向上的邊界直線平行。由于a符號(hào)不確定，因此要對a進(jìn)行討論。當(dāng)a=0時(shí)，直線y=a與邊界直線都不平行，不合題意;當(dāng)a>0時(shí)，直線y=-ax+z的斜率為負(fù)值，該直線應(yīng)與直線CA平行，即-a=kAC;當(dāng)a<0時(shí)，直線y=-ax+z的斜率為正值，該直線應(yīng)與直線CB平行，即-a=kBC，進(jìn)而求出a的兩個(gè)值。

2.最優(yōu)解唯一問題

此類問題的參數(shù)往往是線性目標(biāo)函數(shù)中x或y的系數(shù)，其處理方法是如果最優(yōu)解有唯一一個(gè)，則說明目標(biāo)函數(shù)所在直線的斜率大于（或小于）某一邊界線的斜率，或者介于兩條邊界線斜率之間，則由此列出不等式（組）而求出某系數(shù)的取值范圍。我們以下面這道題為例進(jìn)行分析和說明。

已知變量x，y滿足x+2y-3≤0x+3y-3≥0y-1≤0，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)（3，0）處取得最大值，則a的取值范圍。

分析：依據(jù)題意，畫出可行域（如圖3）。我們可以把目標(biāo)函數(shù)z=ax+y寫成y=-ax+z的形式，z的幾何意義就是該直線在y軸上的截距。因此直線y=-ax+z越向上平移z值越大。我們發(fā)現(xiàn)直線x+2y-3=0與x+3y-3=0交點(diǎn)恰好是（3，0），因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)（3，0）處取得最大值，所以就需要直線y=-ax+z經(jīng)過點(diǎn)（3，0）的向上的傾斜程度最大。由于a符號(hào)不確定，因此要對a進(jìn)行討論。顯然當(dāng)a=0時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=ax+y在（3，0）取得最小值;當(dāng)a<0時(shí)，直線y=-ax+z的斜率為正值，目標(biāo)函數(shù)z=ax+y在（3，0）仍然取得最小值;只有當(dāng)a>0時(shí)，直線y=-ax+z的斜率為負(fù)值，經(jīng)過（3，0）點(diǎn)時(shí)向上的部分在直線x+2y-3=0的上方，即-a=kAB，進(jìn)而求出a的取值范圍。

？誗編輯 溫雪蓮