初中數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)誤區(qū)及矯正方法

伍銀平++卜以樓

數(shù)學(xué)實驗是義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標準》（2011版）倡導(dǎo)的教育理念，其目的是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)習(xí)積極性，引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，不斷提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。數(shù)學(xué)實驗不同于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，它強調(diào)以學(xué)生動手實驗來探索數(shù)學(xué)結(jié)論、研究數(shù)學(xué)問題、體驗解題過程。為此，作為拓展學(xué)生學(xué)習(xí)空間、改變學(xué)習(xí)方式的數(shù)學(xué)實驗，對于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、法則、鼓勵學(xué)生創(chuàng)造性思維有其不可替代的積極作用。因而，初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)實踐中自覺踐行數(shù)學(xué)實驗教學(xué)理念，勇于創(chuàng)新數(shù)學(xué)實驗教學(xué)設(shè)計，積極開展數(shù)學(xué)實驗活動，形成了一批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)實驗教學(xué)成果。但是，當前數(shù)學(xué)實驗教學(xué)存在良莠不齊的現(xiàn)象，甚至還存在一些教學(xué)誤區(qū)，喪失了數(shù)學(xué)實驗特有的教學(xué)價值。

一、教學(xué)誤區(qū)

1.數(shù)學(xué)思維的含金量不高

蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下稱“蘇科版”）八年級上冊教材，在“等腰三角形的軸對稱性”這一內(nèi)容中，就探究“等腰三角形的性質(zhì)”提供了下列教學(xué)素材：把等腰三角形紙片（圖1）沿頂角平分線折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)？

……

探究“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一內(nèi)容，又提供了下列教學(xué)素材：剪一張直角三角形紙片，如圖2（1）。

……

把紙片按圖2（2）所示的方法折疊，再把紙片展開并連接CD（如圖2（3）），你發(fā)現(xiàn)了什么？

……

教材的編寫意圖，顯然是要讓學(xué)生通過實驗操作來獲取等腰三角形的性質(zhì)及“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”等一系列的結(jié)論。這種由操作到結(jié)論的方法，解決問題的入口寬，操作簡便，不失是一種幫助學(xué)生探究問題的好辦法。

教學(xué)中，如果將教材中的操作原封不動地呈現(xiàn)給學(xué)生，對于基礎(chǔ)差一點的學(xué)生，運用這種方法，顯然在激發(fā)學(xué)生興趣的同時也獲取了知識。而對于基礎(chǔ)好一點、思維能力強一點的學(xué)生，讓他們被動地按照上述的操作指令進行實驗，即使得到有效結(jié)論，也只是在茫然中獲取的。這種“指令性操作”，只有折疊的技術(shù)要求，沒有思維的活動內(nèi)涵，久之，勢必削弱學(xué)生數(shù)學(xué)思維的含金量。如果只是用技術(shù)做實驗，那么數(shù)學(xué)課與技術(shù)課、勞技課還有差別嗎？建立在“指令性操作”這一層面上的實驗與教學(xué)中一貫反對的“告訴式”、“注入式”教學(xué)有差別嗎？這值得研究與探討。

2.實驗價值利用率不大

“蘇科版教材”（八年級上冊），在“多邊形的內(nèi)角和與外角和”這一內(nèi)容中，提供了下列教學(xué)素材：

在小學(xué)里，我們曾經(jīng)把一個三角形的3個角拼在一起，發(fā)現(xiàn)了“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論。（筆者以下稱“拼角實驗”）

如圖3，在△ABC的邊AC所在的直線繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，直線AC與邊BC的延長線分別交于點C1、C2、C3……

（1）在上述過程中，哪些角的大小發(fā)生了變化？

（2）度量∠BAC與∠ACB，并求它們的和;度量∠BAC1與∠AC1B、∠BAC2與∠AC2B、∠BAC3與∠AC3B……并分別求它們的和。你發(fā)現(xiàn)了什么？

（3）當直線AC繞點A旋轉(zhuǎn)到AC′，使AC′∥BC′時，度量∠BAC′的度數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？（筆者以下稱“轉(zhuǎn)角實驗”）

“拼角實驗”主要是發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理，并由拼角實驗的啟發(fā)，得到證明三角形內(nèi)角和的輔助線。而在實際教學(xué)中，老師只開發(fā)出實驗的發(fā)現(xiàn)價值，實驗結(jié)束后，沒有將研究的價值從拼角的過程中遷移到論證的輔助線的作法上來，這樣就喪失了這個實驗的教學(xué)價值。

同樣，在“轉(zhuǎn)角實驗”中，其價值一是用“控制變量法”來研究三角形的內(nèi)角和。即控制三角形中的一個內(nèi)角∠B不變，通過變化∠BAC、∠ACB的大小，發(fā)現(xiàn)∠BAC與∠ACB的和不變，進而得到三角形的三個內(nèi)角的和不變，是一個固定值，從而激發(fā)學(xué)生進一步的探究欲望。價值二是探究三角形三個內(nèi)角和這個固定值是多少，發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理。價值三是從實驗的過程中，尋找到證明三角形內(nèi)角和定理的輔助線的另一種作法，從而為證明三角形內(nèi)角和為180°服務(wù)。在教學(xué)過程中，教師往往將轉(zhuǎn)角實驗單一地理解為發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理，價值一、價值三被忽視了。

3.數(shù)學(xué)本質(zhì)的遷移性不強

“蘇科版教材”（七年級上冊）有這樣一道習(xí)題：

桌子上有3只杯口都朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)2只，能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)使3只杯子的杯口全部朝下？7只杯口都朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)3只，能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)使7只杯子的杯口全部朝下？

教學(xué)中有不少教師讓幾位同學(xué)拿上7個紙杯到講臺桌旁進行實驗，或者讓學(xué)生預(yù)先準備好紙杯，上課時自我實驗。第一次，翻動后有2只杯子口朝下，5只杯子口朝上;第二次，翻動后有4只杯子口朝下，3只杯子口朝上;第三次，翻動后有6只杯子口朝下，1只杯子口朝上;第四次，翻動后有4只杯子口朝下，3只杯子口朝上……一分鐘過去了，兩分鐘過去了，四分鐘過去了……時間一分一秒的流逝了，學(xué)生卻隨著時間變得昏昏沉沉，手忙腳亂，連翻動了幾次也數(shù)不清，怎么也想不出來解決這個問題的思路。最后，教師不得不告訴學(xué)生，無論翻動多少次，杯口朝上的都是奇數(shù)不是偶數(shù)，所以無論翻動多少次都是不可能杯口全部朝下的，這才將本問題勉強解決了。究其原因，這是教師、學(xué)生看不清問題而造成的。

二、矯正方法

1.數(shù)學(xué)實驗要在價值立意上作設(shè)計

數(shù)學(xué)實驗的價值立意必須是建立在數(shù)學(xué)思維活動之上，如果離開了數(shù)學(xué)思維，將實驗定位在按提供的實驗程序進行機械的操作，那只能算是一個簡單的技術(shù)活動，這樣的活動只有動手沒有動腦，已偏離數(shù)學(xué)的軌道，失去了數(shù)學(xué)味道，在數(shù)學(xué)教學(xué)上就沒有意義了。

要凸顯數(shù)學(xué)實驗的教育價值，必須讓其既具有科學(xué)實驗的一般立意，又具有數(shù)學(xué)學(xué)科特有的思維魅力。即讓數(shù)學(xué)實驗也遵循科學(xué)實驗“目的——實驗——猜想——論證——結(jié)論”的一般規(guī)律。基于這樣的認識，可以對文中提及的“等腰三角形的性質(zhì)”的教學(xué)素材進行如下處理。

實驗1：探究“等腰三角形的性質(zhì)”

【實驗?zāi)康摹客ㄟ^1次折疊1個等腰三角形形成2個全等的直角三角形的活動，發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)。

根據(jù)上述實驗?zāi)康模處熆梢栽O(shè)計下列活動，讓學(xué)生進行數(shù)學(xué)思考。

（1）師：今天老師為同學(xué)們準備了一些等腰三角形紙片和直角三角形紙片，這節(jié)課就和同學(xué)們玩玩這些紙片，同學(xué)們有沒有興趣？

設(shè)計意圖：用這樣的開場白，來激發(fā)學(xué)生的積極性。

（2）師：如何將手中的1個等腰三角形紙片，通過1次折疊形成2個全等的直角三角形？

設(shè)計意圖：提出這個問題，引發(fā)學(xué)生弄清折疊的要求，進而探尋折疊的方法。這個過程，就是教師層面上設(shè)計數(shù)學(xué)實驗的過程，主要由教師站在數(shù)學(xué)背景的高度來提出問題，讓學(xué)生探尋實驗方案。

【實驗活動】讓學(xué)生根據(jù)教師提出的實驗要求，在思維場景中去探尋折疊與相等、對稱的關(guān)系，從而讓學(xué)生進行數(shù)學(xué)思考，而不是讓學(xué)生麻木地去折、去猜、去碰，最終形成學(xué)生層面上的實驗方案，進而達到教材中折疊的技術(shù)要求。

方案1：根據(jù)“相等原理”形成折疊方案。即沿著“折疊（數(shù)學(xué)活動）——重合（數(shù)學(xué)觀念）——相等（數(shù)學(xué)結(jié)論）”這一“相等”的思路，進行折疊。

方案2：根據(jù)“對稱原理”形成折疊方案。即沿著“折疊（數(shù)學(xué)活動）——重合（數(shù)學(xué)觀念）——對稱（數(shù)學(xué)結(jié)論）”這一“對稱”的思路，進行折疊。

學(xué)生經(jīng)過這個思維背景再進行數(shù)學(xué)實驗（折疊），不但驗證了自己的想法（方案）可行可用，而且還錘煉了數(shù)學(xué)思維。對于思維層次不高的學(xué)生，讓他們自主地構(gòu)建上述活動顯然有困難，這個困難主要是怎么設(shè)計出折疊的方案，而對于折疊的技術(shù)，他們在與其他同學(xué)討論交流中，也能完成這樣一個折疊操作，并且在這個活動中并沒有降低課本對他們的基本要求。

【數(shù)學(xué)猜想】實驗是表征，通過實驗發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論才是本源。為此，實驗后，教師要讓學(xué)生直逼數(shù)學(xué)本質(zhì)。這個活動一般可運用下列方法來進行。

師：通過這個數(shù)學(xué)實驗，你可以得到哪些數(shù)學(xué)結(jié)論？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過實驗的過程，得到“等腰三角形是軸對稱圖形，頂角的平分線所在的直線、底邊上的高所在直線、底邊上的中線所在的直線都是它的對稱軸;等腰三角形的兩底角相等;等腰三角形底邊上的高線、中線、頂角平分線重合”數(shù)學(xué)猜想。

【數(shù)學(xué)證明】實驗得到的數(shù)學(xué)猜想，是基于直覺和簡單邏輯下形成的，那么就有必要對數(shù)學(xué)猜想進行數(shù)學(xué)證明，因為數(shù)學(xué)的最高境界便是證明。為了實現(xiàn)上述目的，可以設(shè)計下列問題，引發(fā)學(xué)生證明。

師：你上述的猜想一定正確嗎？

設(shè)計意圖：引發(fā)學(xué)生進行理性證明。

【數(shù)學(xué)結(jié)論】通過折疊，輔之于觀察、抽象、歸納、簡單的推理等思維活動，形成了數(shù)學(xué)猜想;通過數(shù)學(xué)論證，即通過嚴格的數(shù)學(xué)推理、有力的數(shù)學(xué)證明，得到了絕對真理的數(shù)學(xué)結(jié)論。如何證明這個數(shù)學(xué)結(jié)論，是脫離數(shù)學(xué)實驗，另辟蹊徑;還是回歸實驗，探尋靈感？顯然是要讓學(xué)生透過實驗現(xiàn)象，探求形成現(xiàn)象的本質(zhì)，完成論證猜想的證明。所以在這個教學(xué)環(huán)節(jié)中，探究輔助線的作法，一定要讓學(xué)生回歸折疊的過程，不僅要讓學(xué)生正確地引出輔助線，而且還要讓學(xué)生體驗輔助線誕生的必要性與合理性，這才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)實驗的本質(zhì)價值。

【經(jīng)驗積累】任何一個數(shù)學(xué)活動，都要讓學(xué)生形成活動經(jīng)驗。因為只有活動沒有經(jīng)驗的過程，只能是一個執(zhí)行命令的過程，它永遠停留在重復(fù)別人想法的過程中，所以只有通過活動形成自己特有經(jīng)驗，才是一個將別人的想法內(nèi)化為自己知識的過程，這才是學(xué)習(xí)的真正目的。這個實驗活動，帶給學(xué)生的經(jīng)驗主要有上述提及的“相等思維”和“對稱思維”這兩種思維方法，它既是設(shè)計折疊實驗方案的基本思路，也是解決折疊問題的基本方法。

完成了探究等腰三角形的性質(zhì)后，還可以用下列實驗活動來探究“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的問題

數(shù)學(xué)實驗2：探究“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”

問題1：既然1個等腰三角形紙片通過1次折疊可以形成2個全等的直角三角形，那么可不可以將一個直角三角形通過2次折疊，形成2個等腰三角形呢？

問題2：從將1個直角三角形通過2次折疊，形成2個等腰三角形的實驗中，你們又可以得到哪些數(shù)學(xué)猜想？

問題3：你準備如何來論證這個結(jié)論？

……

這三個問題鏈的設(shè)計，也是基于“目的——實驗——猜想——論證——結(jié)論”的理念。有價值的思維永遠不是建立在技巧上，而是體現(xiàn)在解決一類問題的通法上，因為它是教育規(guī)律在教學(xué)實踐中的具體體現(xiàn)。

2.數(shù)學(xué)實驗要在過程分析上作整合

在“等腰三角形的性質(zhì)”中，已提及到數(shù)學(xué)實驗要在其過程中吸取養(yǎng)分，下面再根據(jù)“三角形內(nèi)角和定理”，重點談?wù)勥@個話題。

三角形內(nèi)角和的實驗，其立意就是把三角形的三個內(nèi)角，適當?shù)亍鞍岚峒摇保M合變成我們熟知的180°的角。學(xué)生在學(xué)習(xí)此內(nèi)容時，已有平角的度數(shù)是180°、鄰補角的度數(shù)是180°、平行線形成的同旁內(nèi)角的和是180°等知識諸備。就“拼角實驗”而言，形成新角的過程一是形成平角，二是形成鄰補角。就“轉(zhuǎn)角實驗”而言，形成新角的過程是平行線下的同旁內(nèi)角。這三種拼角的過程非常重要，它是形成證明三角形內(nèi)角和定理輔助線的關(guān)鍵，也是設(shè)計這個實驗的價值所在，教學(xué)中不容忽視。

（1）拼角實驗下產(chǎn)生的輔助線

①由拼成平角的實驗（圖4），可以構(gòu)造出過點A引BC平行線DE的輔助線（圖5）的證法。

②由拼成鄰補角的實驗（圖6），構(gòu)造出延長BA到E，并過點A引BC平行線AD的輔助線（圖7）的證法。

（2）轉(zhuǎn)角實驗下產(chǎn)生的輔助線

由拼成平行線下的同旁內(nèi)角互補的實驗（圖8），可以構(gòu)造出過點A引BC平行線AD的輔助線（圖9）的證法。

通過實驗，可以得到三角形內(nèi)角和為180°的假設(shè)，通過證明，得到了三角形內(nèi)角和定理。看似這一過程比較圓滿，在此建議增加一個對上述思維過程的反思環(huán)節(jié)。可以引導(dǎo)學(xué)生對上述實驗活動進行研究反思，正因為三角形的三個內(nèi)角的和是180°，我們才可以設(shè)計出“拼角實驗”，才可以通過“拼角實驗”順利尋找出將三角形的三個內(nèi)角拼成一個平角的輔助線、才可以順利尋找出將三角形的三個內(nèi)角拼成鄰補角的輔助線來證明內(nèi)角和定理;正因為三角形的三個內(nèi)角的和是180°，我們才可以設(shè)計出“轉(zhuǎn)角實驗”，才可以順利尋找出通過將三角形的三個內(nèi)角拼成平行線形成的同旁內(nèi)角的輔助線來證明此定理。

3.數(shù)學(xué)實驗要在問題本質(zhì)上作文章

數(shù)學(xué)實驗與理性思維怎么處理，一直是數(shù)學(xué)實驗關(guān)注的問題。物理、化學(xué)實驗，常常是重過程現(xiàn)象，更重實驗結(jié)果。而數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，要關(guān)注的是動手思考的習(xí)慣，更注重的是實驗過程中數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示。一個好的數(shù)學(xué)實驗，要能引導(dǎo)學(xué)生思考問題，在實驗中抽象出一般的原理，用數(shù)學(xué)語言講出數(shù)學(xué)故事。

文中所提及的“翻轉(zhuǎn)杯口”的實驗，如果教師看不清、看不準這個問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，只能是引導(dǎo)學(xué)生機械地進行這個實驗，學(xué)生必然得不到深層次的思考。這個問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)是將實驗中的問題抽象為通過改變乘積中因數(shù)符號的個數(shù)，進而確定積的符號是否發(fā)生變化這樣一個數(shù)學(xué)問題。基于這樣的認識，就能找到這個問題規(guī)律化的結(jié)論。因此，可以將本問題作如下拓展。

結(jié)合上述解題經(jīng)驗，請?zhí)骄浚航o定正面向上的撲克牌m張，每次翻動n張（m不能被n整除），試研究是否可以經(jīng)過改變一張或幾張牌的正反面，將桌面上的撲克牌全部反向。

我們不妨將正面向上的每張牌看成數(shù)+1，反面向上的每張牌看成數(shù)-1，每翻動一張牌，則桌子上所有牌所寫的數(shù)的積就改變一次符號（由-1變?yōu)?1）。類似于，若一次翻動n張，就改變n次符號。因此，若n為奇數(shù)，由于奇數(shù)個-1的積為-1，桌子上所有牌所寫的數(shù)的積就改變了符號;而若n為偶數(shù)，由于偶數(shù)個-1的積為+1，桌子上所有牌所寫的數(shù)的積仍保持原來的符號。

當m為奇數(shù)時，要將所有正面向上的牌最終翻動成都反面向上，須改變積的符號。由上可見，若n為偶數(shù)，那是不可能做到的;而若n是奇數(shù)，則有可能做到，且翻動的次數(shù)必須奇數(shù)次。

當m是偶數(shù)時，要將所有正面向上的牌最終翻動成都反面朝上，不須改變積的符號。由上可見，若n為奇數(shù)，須翻動偶數(shù)次可達目的;若n是偶數(shù)，翻動次數(shù)可以是奇數(shù)也可以是偶數(shù)（如表1）。

數(shù)學(xué)實驗隨著課程改革的深入，越發(fā)顯示出其強大的生命力，這是毋庸置疑的。本文提及的案例，只是在實施這一理念中教學(xué)行為上的一些偏差，我們期待更好更多的數(shù)學(xué)實驗教學(xué)成果的涌現(xiàn)。

參考文獻

[1]卜以樓.數(shù)學(xué)本質(zhì)教學(xué)的個案研究[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中），2008（12）.

【責任編輯 ?郭振玲】