函數凹凸性的等價定義及其證明

張海芳

（滇西科技師范學院 數理系，云南 臨滄 677000）

函數凹凸性的等價定義及其證明

張海芳

（滇西科技師范學院 數理系，云南 臨滄 677000）

教科書中，凹凸函數的定義大都從幾何意義引出，一般描述為：凸（凹）曲線弧段上任意兩點聯結而成的弦，總位于曲線弧段的下（上）方；或者，當曲線各點處存在切線時，凸（凹）曲線弧全部位于曲線上各點處切線的下（上）方。前者往往作為定義使用，后者卻沒有討論。然而后者是凸（凹）函數的充分必要條件，也可以作為定義使用。所以由后者可引出一個新的定義，并且這些定義是等價的，從而進一步加深和拓寬了對連續函數凹凸性的認識和理解。

凹凸性；凹凸函數；等價性

函數的凹凸性是如何定義的？不同的教材中有不同的闡述。在二維空間即平面直角坐標系中，可以通過畫圖直觀地看出一條曲線是凸還是凹的，當然它也對應一個解析表達式。但是，在多維情況下圖形是畫不出來的，這樣就沒有辦法從直觀上理解“凹”和“凸”的含義了，只能通過表達式來理解。

凹凸函數是一類重要的函數，有著較好的分析性質，值得予以討論。而關于凹凸函數專業類教材一般給出了以下經典定義［1］：

定義1 設y = f （x）為區間I上的函數，若對I上的任意兩點x1，x2和∈（0， 1）總有f （ λx1+ （ 1 - λ ） x2）≥λ f （x1） + （1 - λ） f （x1），則稱f （x）為區間I上的凸函數。反之如果成立著f （ λx1+ （ 1 - λ ） x2）≤λ f （x1） + （1 - λ） f（x1），則稱f （x）為區間I上的凹函數。如果將上述不等式改為嚴格不等式，即f （ λx1+ （ 1 - λ ） x2） ＞ λ f （x1） + （1 -λ） f （x1），f （ λx1+ （ 1 - λ ） x2） ＜ λ f （x1） + （1 - λ） f （x1），則相應的稱y = f （x）為嚴格凸函數和嚴格凹函數。如無特別說明，該文后面所討論的凹凸皆指嚴格凹凸。

該定義的幾何意義［1］：表明在點x = λx1+ （ 1 - λ ） x2處，曲線段y = f （x）所對應的函數值f （ λx1+ （ 1 - λ ） x2）總比在連接該曲線段兩端點的直線段上的函數值λ f （x1） + （1 - λ） f （x1） 大（小）。因此，凸函數意味著函數圖像向上凸。所以很多教材也把凸函數描述為：曲線弧段上任意兩點連接而成的弦總是位于曲線弧段的下方。

1　函數凹凸性的等價定義

由以上幾何意義引出的連續函數凹凸性的定義除了定義1以外還有以下兩種定義：

定義2［2］若函數y = f （x）在區間I上可導，對區間I上任意的兩點x1，x2在（x1， x2）內，（1）若f （x） ＞ f即曲線總在連接兩點的弦的上方，則函數y = f （x）在區間I上是凸的；（2）若f （x） ＜ f （x1） +（x-x1）即曲線總在連接（x1， f （x1）和（x2， f （x2）兩點的弦的下方，則函數y = f （x）在區間I上是凹的。

定義3［2］設函數y = f （x）在區間I上可導，對區間I上任意的x1，x2恒有

除此，以下將引出第四個新的定義，并證明這幾個定義是相互等價的。

定義4 若函數y = f （x）在區間I上可導，對區間I上任意點x0均有：

（1）f （x） ＜ f （x0） + f '（x0） （x - x0） ，即曲線總在它每一點切線的下方，則此函數在區間I上是凸的；

（2）f （x） ＞ f （x0） + f '（x0） （x - x0） ，即曲線總在它每一點切線的上方，則此函數在區間I上是凹的。

2　定義等價性的證明

描述函數凹凸性的等價性定義當然不僅局限于此，不同的教輔有很多不同的呈現形式。由此等價性的證明也呈現出各種各樣不同的方法。下面是按該文所定義的要求進行的證明：

由定義2推出定義3。

由定義3推出定義4。

令n→∞，有 f '（x0） =

所以f （x） ＜ f （x0） + f '（x0） （x - x0）。同理可證明定義3（2）定義4（2）。

最后由定義4推出定義2。

（ⅱ）假設有x0∈ （x1， x2）使（x0， f （x0）在兩點（x1， f （x1），（x2， f （x2）構成的弦上，而沒有弦下方的點。即有則該弦的方程也可為y = f （x0） + k （x - x0）其中f （x2）= f （x0） + k （x2- x0），f （x1） = f （x0） + k （x1- x0）。又由定義4（1）必有f '（x0） （x2- x1） + f （x0） ＞ f （x2） 且有f '（x0） （x1- x2） + f （x0） ＞ f （x1） ，所以f '（x0）（x2- x0） + f （x0） ＞ f （x0） + k （x2- x0）且有f '（x0）（x1- x0） + f （x0） ＞ f （x0） + k （x1- x0）進而有f '（x0） ＞ k，這與f '（x0） ＞ k存在矛盾，故假設不成立。同理可證定義4（2）定義2（2）。

3　舉例說明

例1 函數f （x） = x2在R上是凹的。

用定義1很容易就能驗證出該函數在R上是凹的［7］，從圖形上看也滿足曲線總在連接（x1， f （x1））和（x2， f （x2）兩點的弦的下方。下面用定義2說明之：

事實上任取x1， x ， x2∈R ，不妨設x1＜ x ＜ x2。顯然x + x1＜ x2+ x1，進而也即滿足所以由定義2函數f （x） = x2在R上是凹的。

例2 函數f （x） = |x| 在R上是凹的。

該函數用定義1很容易就能說明是凹的，圖像也是凹的。現用定義3說明之：事實上任取x1，x2∈R，有由定義3知函數f （x） = |x| 在R上是凹的。

事實上，任取x，x0∈（0， + ∞），不妨設x0＜ x，于是

縱觀以上定義，從定義的條件性來說，定義4的條件要求f （x） 在I上可導，條件要求是最高的，定義3的條件要求可以弱化到“函數f （x） 在I中連續”，而定義2的條件要求最弱，可以僅要求f （x） 在I內有定義。從幾何意義來看，定義4的集合意義最直觀、最容易理解，可以說它就是從幾何意義來定義的，定義3的幾何意義也比較直觀，較好理解，而定義2的幾何意義不是很明顯。所以用定義說明函數凹凸性時，可根據函數自身的條件、特性或已給條件結合定義要求的條件，選取最合適、最有效的定義來證明。

［1］ 華東師范大學數學系.數學分析［M］.北京:高等教育出版社，2004：173.

［2］ 同濟大學應用數學系.高等數學［M］.北京:高等教育出版社，2007：152-153.

［3］ 劉玉璉.數學分析講義［M］.北京:高等教育出版社，2003：200.The Equivalent Defi nitions of Convex/Concave Function and Its Proof

ZHANG Haifang
（School of Mathematics and physics， Dianxi Science and Technology Normal University，Lincang Yunnan 677000， China）

In the textbook the definition of convex/concave function is mostly from the geometric meaning. Generally can be described as the chord of any two points on the convex/concave curve located in the lower/upper side of the curve or when there is a tangent at each point of the curve， all the convex/concave curve is located at the bottom/top of the tangent of the points on the curve. The former is often used as a defi nition， but the latter is not discussed. However， the latter is the necessary and suffi cient condition of convex/concave function， which can also be used as a defi nition. So the latter can lead to new defi nitions and these defi nitions are equivalent， which further extend the cognition and understanding of convexity/concavity of continuous functions.

convexity/concavity quality； convex/concave function； equivalence

O174

A

1674 - 9200（2015）06 - 0063 - 04

（責任編輯 劉常福）

2015 - 04 - 09

云南省教育廳科研基金項目“不確定復雜動態網絡的自適應控制”（2012Z150C）。

張海芳，滇西科技師范學院數理系講師，碩士。