大學教師與中學教師關于《基本不等式》的“同課異構”評析

張蜀青，曹廣福

（1．廣州大學　數學與信息科學學院，廣東　廣州　510006；2．廣州市執信中學，廣東　廣州　510095）

大學教師與中學教師關于《基本不等式》的“同課異構”評析

張蜀青1，2，曹廣福1

（1．廣州大學數學與信息科學學院，廣東廣州510006；2．廣州市執信中學，廣東廣州510095）

介紹和總結了大學教師與中學教師關于基本不等式教學內容的不同設計，比較其異同.無論大學教師還是中學教師都非常注重教學過程中的啟發誘導，但是他們的啟發方式卻明顯不同：大學教師注重知識的學科價值與思想內涵，強調思想性的滲透，中學教師則注重授課細節，重視解題技巧與落實.通過對這種不同視角的“同課異構”，分析大學教師與中學教師不同的教育理念，進而反思中學數學原理課教學中應該注意的問題.

同課異構；基本不等式；教學理念；教學方法

1　引　言

作為廣州大學數學與信息科學學院和廣州市執信中學聯手數學教育改革重要環節之一的課堂教學，由執信中學張蜀青于近期組織開展了一次別開生面的“同課異構”，曹廣福教授與執信中學兩位老師同臺就“基本不等式”（第一課時，公式學習及求最值）各自上了一節公開課.參與聽課與評課者有華南師范大學和廣州大學數學教育研究專家及數學教育研究生、廣州市教育局教研室以及執信中學數學科全體教師與兄弟中學的部分教師.邀請大學教師與中學教師在同一個平臺上課的目的旨在探討大學教育理念與中學教育理念之間的契合點，從而在學生的數學素養與應試能力之間尋找到合適的均衡點.

2　三位教師的課堂設計

2.1兩位中學教師的設計思路比較類似均屬傳統教學方式

（1）公式引入：兩位教師都選擇了蘇教版的引入辦法，通過虛擬的天平物理實驗得到算術平均數，再由力矩原理得到幾何平均數.

（2）公式證明：兩位教師從代數、幾何多角度給出了基本不等式的證明，并在幾何方法證明時解釋一下幾何平均數的由來.

（3）公式的強化學習（包括公式的使用）：通過若干例子強化對基本不等式的理解，教學過程環環相扣、落實到位.其中一位教師的進度是完成課本的例題與要求，她所任教的班級是重點班.另一位教師的進度則跳過了一些課本練習展開了一些變式技巧，該教師所任教的班級則是普通班.

2.2大學教師的課堂設計

曹廣福執教這節課，與傳統做法完全不同，首先簡述了不等式的重要意義以及最大值最小值在數學發展史上的地位，然后通過如下幾個思考題層層展開.

思考一：你家建房時還剩下些材料，你打算使用這些剩余材料在房子旁邊依著墻壁修一個高度一定的矩形狗窩，你剩下的材料可以修一個長為L的圍墻，請問如何修建可以獲得最大面積的狗窩？

這是一個二次函數模型，學生很快解決.但將這個問題稍作變化得到另一個問題：

思考二：你家建房的材料用完了，沒有準備好修建狗窩的材料，現在你計劃依著墻壁修建一個面積為S的矩形狗窩，你已選中建狗窩的材料，狗窩的高度也確定了，如何以最小的成本建成這樣的狗窩？

這個思考題中出現了函數：L=x+2S/x如何求這個函數的最小值？從而引出基本不等式的探究發現推導證明.

思考三：通過對兩個基本不等式結構的分析，你認為什么情況下可能需要這兩個基本不等式？它能幫助解決什么問題？

由此總結出：“當因式中含兩個因子的和或兩個因子的乘積時可能需要利用這些不等式化‘和’為‘積’或化‘積’為‘和’，目的是對目標函數做估計或者求最大值、最小值.”通過下面的例子對上述總結做一個詮釋：

接著拋出第四個思考題：

思考四：當目標函數是兩個因子的“積”或“和”時一定可以通過基本不等式求最值嗎？

例子本身非常簡單，學生通過觀察便可以看出最大值是什么，但問題的關鍵在于，這個最大值能不能通過基本不等式得到？由此引發學生思考并得出下面的結論：

當基本不等式的兩邊有一邊是定值時才有可能利用它求最值.

問題還沒有徹底解決：

思考五：如果基本不等式的一邊是定值，一定可以利用它求最值嗎？

學生通過這個例子可以看到，即使滿足“一正、二定”也未必可以通過令兩個因子相等而解出取最值的那個點.最后讓學生自己總結出利用基本不等式求最值的基本原則：

課后思考題：根據這節課的討論，你認為什么時候可以利用基本不等式求最值？如何求最值？

4課堂評析

4.1對兩位中學教師的教學過程評析

但是這節課的教學有兩個方面的問題值得反思：（1）這節課的主題是什么？（2）對于基本不等式，重要的是發現還是證明？兩位中學教師同時以天平做虛擬實驗，但以天平實驗引入存在兩個方面的問題：① 物理實驗的誤差通常涉及很多因素，包括刻度、人眼的觀察等，怎么知道天平兩邊的臂長就一定是l1與l2？又如何保證肉眼讀出的數據是準確的？② 姑且假定導致誤差的唯一因素是天平的臂長，如何通過這個實驗說明兩個正數的算術平均數不小于幾何平均數？事實上，基本不等式的本質在于反映了兩個因子的和與乘積之間的內在關系，他真正的科學價值在于通過“和”化積”或“積”化“和”將代數式或函數進行縮放從而得到簡化最終完成估計（最大最小值問題也是如此）.天平實驗并不能發現基本不等式，而將問題引到了兩個平均數，顯然偏離了主題，可見教材的引入方法值得商榷.當然，作為基本不等式的附帶產品，適當介紹一下這兩個平均是可以的.不過教師在課堂上始終沒有對幾何平均做出解釋，后來在評課環節教育局教研室的教研員通過等比中項解釋了為什么叫幾何平均，雖然這個解釋僅僅適用于兩個正數情形，但至少可以直觀地說明一點問題.

總的說來，兩位教師對原理本身科學意義的闡述不足，這是有待改進的地方.

4.2對大學教師的教學過程評析

接著執教者通過問題三、四、五使學生通過解決問題去發現公式有什么用，使用公式有什么要注意的地方.

由于基本不等式有著很強的幾何背景，所以教師提示學生：“幾何與代數是密不可分的，幾何可以幫助我們提供直觀，幫助我們理解代數式的深刻內涵，代數則可以使幾何問題的解決變得簡單.看到兩個正數的乘積你想到了什么？”學生答：“矩形面積或三角形面積.”“看到兩個正數的平方和你想到了什么？”學生回答：“想到了勾股定理.”“換句話說，兩個正數的平方實際上是以這兩個正數為直角邊的直角三角形斜邊的平方，也可以看著以斜邊為邊的正方形的面積.”所有這些分析已經為學生完成基本不等式的幾何證明提供了足夠的信息，特別對于“元培班”這類優中選優的學生而言，完成證明完全不是難事.

執教者對基本不等式結構的分析主要基于兩個方面，一是兩個平均數，二是和與積的轉化，后者是重點.所謂兩個數的算術平均是指這樣的數，它連加兩次與原來兩個數的和相等，所謂兩個數的幾何平均是指這樣的數，它連乘兩次等于原來兩個數的乘積，這個概念可以推廣到一般情形.算術平均學生不難理解，因為生活中很常見，幾何平均則比較生疏，最好的例子是GDP的平均增長率或糧食的平均增長率.對于基本不等式，最重要的是通過對其結構的分析，讓學生了解這個不等式的科學價值是什么.通過對不等式結構的分析，教師后面提出的一系列問題，并由此總結出：“當因式中含兩個因子的和或兩個因子的乘積時可能需要利用這些不等式化‘和’為‘積’或化‘積’為‘和’，目的是對目標函數做估計或者求最大值、最小值.”并通過具體的例子對上述總結做一個詮釋.整個課堂體現出探索的精神，高屋建瓴有大格局感覺.

由于大學教師對學生了解不夠充分，所以課時拖了一點時間，而且思考三、四、五在研究者看來可以把例題和問題的順序換一下，課后調查一部分學生反應問題拋出來時不知道問什么（當然這也與教學雙方第一次不太適應有關系）.

4.3大學教師和中學教師執教這節課的異同點

在3堂課上，可以看到教師們提出的每一個問題及問題情境都是為了啟發誘導學生而精心設計，對于第一課時的教學內容選取基本一致（之前并未規定第一課時具體內容）.

兩位中學教師采取的是傳統教法，而大學教師對這節課的處理則與傳統教學有很大不同，主要體現在“原理的發現與原理的證明哪個更重要”這個價值取向上.正如大學教師在評課環節所說：“書本、知識與課堂3者之間是什么關系？書本是知識的載體，那么知識呢？它是終極目標嗎？課堂上將知識傳授給學生，學生掌握了知識，教育過程就完成了嗎？我不這么認為，我認為知識也是一種載體，它是思想的載體，教師在課堂上的任務是將隱藏在書本知識背后的思想挖掘出來展現給學生，并讓學生融會貫通，這才是教育.就概念與原理課而言，雖說有上位學習與下位學習之分，但我認為，一個原理的發現比原理的證明更重要.”

弗賴登塔爾的數學教育理論認為（張奠宙，宋乃慶[1]），數學教育有5個基本特征：（1）情境問題是教學的平臺；（2）數學化是數學教育的目標；（3）學生通過自己的努力得到的結論和創造是教育內容的一部分；（4）“互動”是主要的學習方式；（5）學科交叉是數學教育內容的呈現方式.簡而言之即：現實、數學化、再創造.教師的課堂教學固然要體現數學教育的基本特征，但創設什么樣的問題情境？如果從情境問題過渡到數學化？“互動”的形式是什么樣的？這些都值得教師認真思考.很多人認為，所謂師生互動就是教師布置問題，學生動手解答，從數學教育的全過程來看，這個程序是必不可少的，但就一節或很多概念課與原理課而言，互動未必僅僅表現在這種外在的形式上，為了互動而互動很可能導致課堂教學的生硬.事實上，概念課與原理課的教學中，學生跟隨著教師的啟發完成整個的思維過程本身也是一種互動的形式.

注重學生的生活體驗是沒有錯的，但注重生活體驗不等于不要嚴謹性.“問題”是一切科學的靈魂，數學也不例外，但問題有真問題與偽問題之分.教材是教學的基礎，它好比劇本，課堂好比電影或電視劇，教師既是導演也是演員，沒有好的劇本，再好的導演也拍不出好看的作品，除非他在拍攝過程中重寫劇情，但有多少導演能同時身兼劇作與導演二職？從研究者參考的幾種不同版本的教材可以看出，教材可以改進之處甚多.

有一句名言說：“要給學生一碗水，教師需要有一桶水.”研究者對此不以為然.師生之間不是一桶水與一碗水的關系，如果一定要用水桶來比喻的話，那教師的這個桶應該有一個泉眼，可以不斷向桶里進水，而且還得告訴學生如何去找這個泉眼甚至更多的泉眼.換言之，教師需要不斷學習、不斷提高、教學生學會發現、學會學習.

有些人認為，刷題得高分是硬道理，在研究者看來高分與素養并非一對矛盾，如果片面的為了高分而忽視了基本概念與原理的教學，最終培養出來的必然是會考試而不會應用的“高分低能”生.通過研究團隊反復的探討與實踐，深切地意識到，完全可以通過概念課與原理課兩個教學模塊強化學生數學素養的培養（參見文[2]）.很多教師習慣于蜻蜓點水般將概念一帶而過，原理課則采用多角度、高難度的方式強化證明訓練，研究者認為有失偏頗.原理課的重點有兩個，一是怎樣發現原理，二是如何通過分析發現證明的思路，證明越簡單越直接越好，完全沒有必要把原理當成一般的題目來訓練，即所謂的變式教學，那是舍本求末的做法.原理課的多角度證明與解題訓練可以留到解題課完成.但是，這對教師提出了比較高的要求，教師既要對課程有宏觀上的把握，又要對每節課有微觀上的把握.所謂宏觀即對于一門課程的整體把握，這就好比你選擇某個課題，需要先清楚為什么選擇這個課題，為了解決什么樣的問題.任何一個學科都不是空中樓閣，都有其產生與發展的背景.所謂微觀是指對某門課程中具體概念、定理的把握.張奠宙、張蔭南先生在文[3]、文[4]中針對微積分教學首先提出了問題驅動課堂教學的觀點，之后陸續有一些研究（參見文[5～8]）.其實，任何數學課程都應該圍繞著問題進行，換言之，由問題驅動課堂教學.縱觀數學發展史，任何數學理論的產生都是為了解決某些問題，恰恰是在對問題的分析與解決中閃現出數學思想的光芒.很難想象，離開了問題可以談數學思想.

教育的成敗在教師，大家一直強調教師要有一顆愛心，要有認真負責的精神，要愛崗敬業，要熟練掌握本門課程的內容，還要懂得教育學、心理學與教學法，僅僅具備這些條件尚不足以成為一個合格教師，文[9]談到了數學教師應該具備的基本素質.研究者認為，一個合格的數學教師還應該熟悉數學史，如果教師對一門課程的歷史一知半解甚至一無所知，很難想象，他能講清楚這門課程.M·克萊因的《古今數學思想》[10～13]是值得每個數學教師認真研讀的數學史書，中學教師至少應該通讀其中的第一與第二冊和其它兩冊中與中學數學內容有關的部分.如果你不了解歷史，你又如何向學生講清楚一個概念是如何產生的？關于這個問題已經有不少文章談及（參見文[14～18]）教師還應該做點教學研究，努力探討一個原理是如何產生的？它的科學價值何在？它為了解決什么問題？可以解決什么問題？原理中閃現出何種思想的光芒？如何尋找原理的證明？教師如果沒有花一番苦功深入鉆研，是無法通過合情推理完成課堂教學的，只能依樣畫葫蘆停留在照本宣科的層面上，可喜的是現在大家已經關注到這個問題（參見文[19～22]）.

長期的合作研討也讓研究者及其研究團隊意識到，教育問題要從源頭抓起，一是對師范教育做更深入細致的改革，而不是停留在傳統的教材教法層面上（參見文[23～26]）.二是對骨干教師培訓進行改革，可以針對具體的內容共同探討，而不是僅僅停留在理論輔導層面上.長期堅持下去，中國的基礎教育或許能得到更好的改善.

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[2]何勇，曹廣福.數學課堂如何兼顧學生數學素養與應試能力[J].數學教育學報，2014，23（2）：60-62.

[3]張奠宙，張蔭南.新概念：用問題驅動的數學教學[J].高等數學研究，2004，7（3）：8-10.

[4]張奠宙，張蔭南.新概念：用問題驅動的數學教學（續）[J].高等數學研究，2004，7（5）：8-11.

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[7]楊玉棟，徐文斌.本原性問題驅動課堂教學：理念、實踐與反思[J].教育發展研究，2009，（20）：68-72.

[8]上海市控江中學課題組.本原性問題驅動的數學教學實踐研究[J].數學教學，2009，（6）：4-9.

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[10]M·克萊因.古今數學思想（第一冊）[M].上海：上海科學技術出版社，1985.

[11]M·克萊因.古今數學思想（第二冊）[M].上海：上海科學技術出版社，1985.

[12]M·克萊因.古今數學思想（第三冊）[M].上海：上海科學技術出版社，1985.

[13]M·克萊因.古今數學思想（第四冊）[M].上海：上海科學技術出版社，1985.

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[責任編校：周學智]

Reflection of Heterogeneous Forms for the Same Subject between University Teachers and Middle School Teachers

ZHANG Shu-qing1,2, CAO Guang-fu1
(1. Mathematics and Information Science College, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China;
2. Zhixing High School, Guangdong Guangzhou 510095, China)

This paper mainly introduces and summarizes the middle school teachers and university teacher about basic inequality different design of teaching contents, compare the similarities and differences, and put forward the principle of found is the focus of the course teaching principle, in other words, found proof principle and thinking is more important than proof principle, principle of multiple variants can be reserved for recitation process after class. Let student comprehension to the principle of nature and to realize its scientific value of mathematical thinking is the true mathematical education. based on “heterogeneous forms for the same subject” between university teachers and middle school teachers, we analysis the different education idea between university teachers and middle school teachers, and then reflect some problems in the middle school mathematics education.

heterogeneous forms for the same subject; basic inequality; education idea; education method

G421

A

1004–9894（2015）06–0040–04