數學教育改革與發明專利教學儀器

摘 要 從發明專利教具顯示的數學機械化思想談數學教材、教法改革。

關鍵詞 數學；教材；教學儀器

中圖分類號：G484 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2015）17-0029-02

數量的多少，人們都是用單位的組合體去顯示，用數字去抽象、用數量（哪個單位的個數）表達，比值顯示兩個數量的關系，簡比顯示兩個數量的存在狀態。數學就是認識它們的產生、讀寫，應用它們解決數學問題。

1 現行數學教材與國際專利計數器

從教育部課程教材發展研究中心田慧生主任回顧新中國成立后進行的八輪課改，便知中國數學教材是蘇（聯）式教材，支持蘇式教材的專利教具計數器（W09408282AI 1994.04.14）——由每檔10珠算盤制作，其特征是檔位處設置的數位順序顯示件，“個”位處附有小數點，顯示件可左右移動，直觀顯示教材中整數或小數的寫法、小數的基本性質、小數的大小變化規律。

2 數學教材改革與中國專利——單位關系算珠儀

單位關系算珠儀（CN1996430b 2010.08.18），由每檔9珠算盤制作，其特征是檔位處設置固定的數位順序顯示件，顯示件與算珠件之間設置可左右移動的小數點，直觀顯示10進制（數位順序），10進制數，單名數（一位數）、復名數（多位數），將一復名數簡寫成單名數——確認基本單位、組成單位、主單位（整數或小數的認識），單名數的改寫，小數的基本性質，小數的大小變化規律與計算。

國家專利局實質審查本發明，因與前國際計數器雷同而否認。筆者的答辯是：自然數顯示相同單位的個數，其寫法不涉及數位與數位順序，用自然數表示數量不需用小數點，如何用記數記號（數碼）1、2、3、4、5、6、7、8、9、0或它們的有序組合顯示各不同自然數數字？必須顯示位置順序（位置制）…千百十一；用同一位置數碼的不同與同一數碼位置的不同顯示各不同的自然數，只能用標有位置順序的每檔9珠算盤顯示。10進制數是對10進制不同位組合體的抽象，如3元2角5分，抽象為325。10進制數的寫法必須顯示數位順序，如人民幣的數位順序“…千百十元角分…”，1在不同數位為不同的單位，用數位顯示該單位的有限（最多為9）個數，10進制數的寫法只能用標有數位順序（10進制）每檔9珠的算盤顯示。同理，2進制數的寫法只能用標有數位順序（2進制）每檔1珠的算盤顯示……

現如今，顯示長度、人民幣、重量、面積、體積的多少用10進制數是普遍方式，顯示自然物體、產品的多少用自然數。一個10進制數，用它顯示某數量，必須用小數點標注主單位在其數位順序中所在數位，顯示各組成單位與主單位關系發生，如325.（分）=3.25（元），認識整數或小數。一數字所在數位不動，顯示數量的大小不變，小數點位置移動，顯示單名數的改寫；一小數的小數點位置不動，顯示主單位不變，其數字或左或右位置移動，顯示產生這一數字的單位大小發生變化，小數的大小就發生規律性變化（例證略）。

兩儀器看似結構相同，制作原理全然不同，一次答辯，單位關系算珠儀獲發明專利權。它進入課堂，有力促進蘇式數學課程教材向中式數學課程教材的轉化，真實反映現代人類生活。

3 對空間形式的教與學

就是用單位的組合體的存在顯示數量，后抽象為數字，再用數字與單位的名稱組合表示數量。依據這一數學思想，改進傳統學生尺，顯示相同單位組合體的存在，抽象為自然數；發明2進制學生尺，用不同單位組合體制作，抽象為2進制數；發明10進制學生尺，四色形體顯示儀，用單位各自不同的9個組合體制作，抽象為10進制數。數字顯示單位組合體的結構。在所有自然數中，只有1顯示單位，其他為這一單位的不同個數。

同一個自然數的顯示，印度與中國各不同，如：1（一）、10（十）、100（百）、1000（千）、10000（萬）……法國著名數學家拉普拉斯（Laplace，1749—1827）曾寫道：“用十個記號（1、2、3、4、5、6、7、8、9、0）來表示一切的數，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。”用“…萬千百十一”顯示位置不同的位置順序與不同位置值，按位置寫數，印度數字最妙；按位置值讀數，中國數字最佳。如：500 000 000，五億。故清政府1892年規定：寫數用印度數字，讀數用中國數字。

對不同單位組合體抽象為數字的表述，是一道世界級難題。用1在不同數位顯示不同的單位，用數位顯示該單位的有限個數。如賬目單上有“...萬千百十元角分”（注：

…萬、千、百、十，分別為復名萬元、仟元、佰元、拾元的簡寫）。數位用人民幣單位的名稱顯示，數位順序用左右相鄰兩單位關系為10的排列（10進制）顯示，產生的數字是10進制數。同一數量，分別用自然數與10進制數顯示，其數字相同，但意義不同，寫法與用法有別，這一點必須引起教育者的高度注意和重視。

將同一單位個數的1、2、4、8、16、32、64、128…不同組合體，為不同的單位，都改用1在不同數位顯示，難就難在無法顯示數位與數位順序（2進制）。發現用2為底的不同次冪作為不同單位的標識，…2726252423222120；用它展示2進制，可顯示2進制數的寫與算；2進制顯示不同單位值的合并，用它既能揭示二進制數算理，又能反映2進制數與自然數相互改寫，如：自然數138=128+8+2=27+23+21=10001010，二進制數。還能展示中、小學數學的聯系，如：因（111）2=22+21+20，延伸（321）N

=3N2+2N+1等。一個數量，小學是用一個數（一位數或多位數）顯示，中學是用一個式（單項式或多項式）顯示。

冪作為單位的標識，并顯示單位值，它的顯示與應用，為探索數學的奧秘提供新的思路，才有自然數學生尺、2進制學生尺、10進制學生尺、四色形體顯示儀和三用算盤、單位關系顯示儀的發明。為探究學習提供平臺，利于學生基本活動經驗、基本思想的形成，利于學生創新精神和實踐能力的培養，能進一步加深對數學科學性、規律性和可持續發展的認識。

4 對數量關系的教與學

1）用加減等式顯示同一單位個數的增減變化，揭示多個單位組合體間的聯系。等式中當各數量都是用自然數表示時，其聯系顯而易見；當有數量不是用自然數表示時，其數量必須改用自然數表示后才能顯示其聯系（教學難點）。

2）用乘、除等式顯示兩數量關系。比值顯示兩個數量的關系，比值以兩個數量的存在而存在，比值為兩自然數相除的商，求比值必須在兩自然數中確定誰為除數（標準數量）。

3）用正、反比例式顯示兩數量存在狀態。簡比顯示兩個數量的存在狀態，簡比以兩數量的存在而存在，簡比顯示兩自然數比的最簡寫。簡比的顯示，正、反比例式中各不同：正比例式中，簡比用兩自然數分別與其最大公約數

（數量）的關系顯示；反比例式中，簡比用兩自然數分別與其最小公倍數（數量）的關系顯示。

根據已知與未知，分辨關系，建立等式，解決問題。明確各數量產生關系的標準數量，因關系的不同，分為三種排列：上數軸顯示有關系的各數量，下數軸對應顯示各數量與標準數量的關系，制作數量關系顯示儀（又名排列計數演算器），能顯示不同關系中各數量的形成過程。數學問題的顯示直觀，解問題的思路簡單科學規律。

5 數學機械化思想在專利教具中的體現

1）在自然數學生尺、2進制學生尺、10進制學生尺、四色形體顯示儀中，用數學模型顯示單位的意義（存在），用1顯示單位的存在（寫法），用模型的標識（名稱、符號、圖案、單位值……）分辨單位的不同（讀法）。

2）在三用算盤中，自然數寫法——位置順序顯示，算法——不同位置值顯示，10進制數、2進制數的寫法——相應數位順序顯示，算法——相應不同單位值顯示。在單位關系顯示儀中，小數點確定在某一數位，顯示各組成單位與主單位關系產生。

3）在數量關系顯示儀中，加減等式、乘除等式、比例式均為數量關系式。數量關系式因數量產生關系的標準不同，得到不同的關系式。關系中的標準數量，在數量關系中均用1顯示；有關系的各數量分別用它與標準數量的關系顯示。

6 結語

對同一個數量，改變單位組合體的結構的教與學，如三種不同學生尺的制作，分別用不同的算盤抽象為自然數、2進制數、10進制數的過程，體現與時俱進的要求和“三個面向”的方針（教育要面向現代化，面向世界，面向未來）。對于清六教儀的顯示功能，可參考《中國信息報》于2011年1月12日發表的《胡清六研發教學儀器成績顯著》一文中的評價：“備受關注的胡清六專利教學儀器，均表現出無可代替的功能”，它們進入教育市場，可以有力地促進數學課程教材教法改革。