數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

王艷

【摘 要】 初中學(xué)生的思維方式是從形象到抽象的過(guò)渡，而“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，數(shù)形結(jié)合就是通過(guò)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，它是初中數(shù)學(xué)重要的一種思想方法。本文從“以形助數(shù)”、“以數(shù)解形”兩方面闡述了數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;以形助數(shù);以數(shù)解形

數(shù)形結(jié)合就是通過(guò)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，本文從“以形助數(shù)”、“以數(shù)解形”兩方面闡述了數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

一、以形助數(shù)，直觀形象

解決數(shù)學(xué)上數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題主要體現(xiàn)在把抽象的理論知識(shí)轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，巧妙地用圖形來(lái)表達(dá)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，有些繁難的代數(shù)題，若我們借助于圖形的性質(zhì)，可以使許多抽象的概念及復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀化、簡(jiǎn)單化，從而探索出巧妙的解法。數(shù)形結(jié)合思想方法的培養(yǎng)應(yīng)從初一引入數(shù)軸開始。

（一）利用方程解決實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)形結(jié)合

列方程解應(yīng)用題中的行程問(wèn)題一直是初中學(xué)生解題中的難點(diǎn)， 困難之處在于如何根據(jù)題意尋找等量關(guān)系列出方程， 要突破這一難點(diǎn)，往往就要根據(jù)題意畫出相應(yīng)的行程圖，這里隱含著數(shù)形結(jié)合的思想方法。

例1、某班同學(xué)去距學(xué)校18千米的北山郊游，只有一輛汽車，需分兩組，甲組先乘車，乙組步行，車行至A處，甲組同學(xué)下車步行，同時(shí)汽車返回接乙組同學(xué)，最后兩組同學(xué)同時(shí)到達(dá)北山站。已知汽車速度是60千米/時(shí)，步行速度是4千米/時(shí)，若不考慮學(xué)生上下車耽誤的時(shí)間，求A點(diǎn)到北山站的距離。

分析：此題為行程問(wèn)題中難度較大的一類題，難點(diǎn)在于題目中的等量關(guān)系不好找，即使找到等量關(guān)系為甲組從A點(diǎn)到北山的時(shí)間=汽車從A點(diǎn)返回接乙組直到到達(dá)北山的時(shí)間，但也不好表示等量關(guān)系。畫出行程圖（圖1），不妨設(shè)學(xué)校到A點(diǎn)的距離為x千米，A點(diǎn)到北山的距離為y千米，則x+y=18。

甲組到達(dá)A點(diǎn)的時(shí)間表示為小時(shí)，A點(diǎn)到達(dá)北山的時(shí)間表示為小時(shí)，同時(shí)甲組到達(dá)A點(diǎn)時(shí)乙組所走路程表示為4=千米。乙組和汽車相遇的時(shí)間為=x小時(shí)，汽車從A點(diǎn)返回與乙組相遇的路程為x·60=x千米，汽車從A點(diǎn)返回接乙組直到到達(dá)北山的時(shí)間為（x+）小時(shí)。所以可列出二元一次方程組x+y=48

x+

=解之得x=16

y=2。

利用數(shù)形結(jié)合， 可使得復(fù)雜的實(shí)際應(yīng)用題變得清楚，明白。

（二）不等式（組）中的數(shù)形結(jié)合

在不等式（組）的教學(xué)時(shí)，為了加深學(xué)生對(duì)不等式解集的理解，教師要適時(shí)地把不等式的解集在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)，使學(xué)生形象地看到，不等式（組）解的情況，這里也蘊(yùn)藏著數(shù)形結(jié)合的思想方法。

（三）函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合

借助圖像研究函數(shù)性質(zhì)是一種常用的方法就是數(shù)形結(jié)合，函數(shù)圖像的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合有助于理解題意，探求解題思路，檢驗(yàn)解題結(jié)果。

例3、如圖3，已知二次函數(shù)y1=ax2+bx+c（a≠0）與一次函數(shù)y2=kx+m（k≠0）的圖象相交于點(diǎn)A（-2，4），B（8，2），則能使y1

分析：函數(shù)的題目本來(lái)可以用代數(shù)方法求解，很多學(xué)生都想到分別求出y1、y2的解析式，然后解一個(gè)不等式即可求。但是本題只給出了兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，不能求出二次函數(shù)的解析式，故代數(shù)方法不可取。由圖像，通過(guò)數(shù)形結(jié)合立馬可得當(dāng)-2

二、以數(shù)解形，簡(jiǎn)單明了

數(shù)學(xué)的發(fā)展使許多幾何問(wèn)題不再是單純的圖形研究，即“以數(shù)助形”就是將圖形信息轉(zhuǎn)化為代數(shù)信息，使要解決的幾何問(wèn)題化為數(shù)量關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”。

（一）數(shù)與式中的數(shù)形結(jié)合

北師大版第三章“整式及其加減”的第5節(jié)是探索與表達(dá)規(guī)律，我們必須學(xué)會(huì)分析圖形位置序號(hào)與圖形本身一種聯(lián)系，將幾何圖形變化情況進(jìn)行數(shù)字化、 代數(shù)化， 這就是 “以數(shù)解形”。

例4、如圖4是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的小房子.觀察圖形的變化規(guī)律，第7個(gè)小房子用的石子數(shù)量為（ ）

A.87 B.77 C.70 D. 60

分析：第①個(gè)圖形，（1+4）顆;第②個(gè)圖形，（3+9）顆;

第③個(gè)圖形，（5+16）顆;第④個(gè)圖形，（7+25）顆;……

從前4個(gè)圖形中得到的數(shù)字可知，結(jié)果分為兩部分，前一部分是與圖形序號(hào)對(duì)應(yīng)的奇數(shù)2n-1，后一部分是與圖形序號(hào)對(duì)應(yīng)的（n+1）2，所以由數(shù)解形即可得出第7個(gè)小房子用的石子數(shù)量為（2×7-1+82=77）顆。

（二）多邊形中的數(shù)形結(jié)合

在解決幾何題時(shí)，我們通常利用圖形的特殊性，通過(guò)“數(shù)形結(jié)合”，發(fā)掘特殊幾何位置的代數(shù)意義，演繹數(shù)量關(guān)系描述的幾何屬性，這是幾何計(jì)算題常用一種方法。

【參考文獻(xiàn)】

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