“直觀”學習的意義理解與行為表現

江蘇海安縣城南實驗小學（226600） 許衛兵（特級教師）

一直以來，在兒童數學學習過程中，都較為重視直觀手段的運用，比如，用眼觀察、動手操作、繪制圖表等。通過這些直觀的手段，讓學生更好地學習、理解、表達抽象的數學。

不過，對直觀的關注和研究，我們更多的是站在教師教學的角度。“直觀”是否能成為一種學習的方式？如果能，那又怎樣理解這種方式，如何運用和加以培養，如何看待它的價值呢？

一

何為“直觀”？詞典中解釋為：“用感官直接接受的；直接觀察的。比如，～教具∣～教學。”（見《現代漢語詞典》2002年增補本，商務印書館）這種解釋，指出了直觀的兩個基本要素：一是要有實在的東西，二是感官能對這個實在的東西進行觀察、觸摸并有所感受。很顯然，這種解釋強調了具體實在，但并未將“人”這一主體予以突出。相比而言，美國著名數學家、數學教育家、數學史家M·克萊因的解釋“數學的直觀就是對概念、證明的直接把握”，以及我國數學家徐利治先生的解釋“直觀就是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識”，不僅有了學科關照，且更加側重于主體的主觀認識。換言之，離開了主體認識就不存在所謂的直觀。或者說，即便有了所謂的實物、圖畫、操作等直觀因素，如果沒有“人”這一主體感知與認識的發生、表達，只能是比較膚淺的直觀。

基于這樣的認識，“直觀”不僅是一種重要的教學手段，而且應該成為一種重要的學習方式。

首先，從數學課程的角度看，數學課程設計的形態正在走向多流派、多元化，而強調知識之間有機地融合、依賴直觀的“直觀型”課程成為數學課程設計的主流之一。我國新課程已經把圖形直觀看作是貫穿高中數學課程的線索之一。從函數的圖像教學、三角函數的單位圓，到導數的圖像判斷，從不等式的直觀解釋到線性規劃的區域刻畫，此外，還有數系擴充中的復數、概率統計中的直觀圖以及向量的使用等都充分體現出“代數”和“幾何”的邊界正在被消融。至于幾何課程設計更離不開直觀了，且這種理念正在向初中、小學“蔓延”。我想，作為基礎教育的小學數學教學應該自覺地順應這樣的變化，并主動承擔起在小學階段讓學生不斷地感受直觀在數學以及數學學習中的作用，并努力將之作為一種思考方式和學習方式。

其次，從兒童思維的特點看，小學生的思維以形象思維為主，他們對實物的感受更加直接，感官是他們認識世界的首要通道，他們喜歡用涂鴉、畫畫的方式來表達內心的想法。實物、圖像、圖形是他們溝通生活世界和數學世界的最好橋梁，也是逐步地、深入地認識數學、理解數學、運用數學的載體。數學能力強的學生在解決問題時，都會不由自主地畫個圖，做個手勢，打個比方。教師給學生講解題目時，常常發現千言萬語抵不上一個直觀的圖示、比擬。除此之外，學生都比較感性，動畫的演示、童話的情節、幽默的語言、夸張的姿態等對他們具有極大的吸引力，在學習中，不斷地讓他們結合、應用、創造上述直觀形式來理解數學、展現思路，不僅能活化思維，還能讓數學學習變得豐富、有趣、生動。從這一角度來看，“直觀”學習是對兒童天性的順應，是對兒童數學學習規律的遵從。

再者，從數學教學的現實看，整體上呈現出比較單一、枯燥、無趣的局面。學生不僅學得苦，而且學得累。如何打破這種“沉悶”的局面，不僅需要教師在教學素材上能做到豐富一些，好玩一些，新奇一些，還需要將豐富、好玩、新奇的素材以直觀的方式呈現，并讓學生能透過直觀抵達抽象、邏輯、結構化的數學本質，孕育出他們借助直觀來思考和學習的“直觀”思維。肖川說：“學習的方式就是生活的方式”，學生在直觀學習中孕育出的“直觀”思維將會遷移、擴展到生活之中，從而讓生活變得更加生動、鮮活、多姿多彩。這樣，數學教學就邁上了數學教育的高度了。

總的說來，我們將“直觀”看成一種學習方式并將其加上引號，意在說明這里的直觀不僅僅是傳統的帶有直觀特點的教學手段、方法，還包括了學生能借助于直觀素材進行學習、思考，形成一種直觀性思維。因此，生動的故事情境，形象的圖形畫面，動態的視頻錄像，自主的操作實踐固然是直觀，學生在學習過程中為解釋說明所學所得而舉出一個生活事例，打一個比方，做一番演示，繪制一張圖表，等等也是直觀，且這樣的“直觀”更為貼近克萊因所說的“對概念、證明的直接把握”和徐利治所說的“對事物關系直接的感知與認識”。我們期待，在“直觀”學習的研究和指引下，每一個學生都能讓數學學習變得更好，數學思維變得更活，對數學的感受更深，興趣更濃。

二

當我們把“直觀”看做兒童數學學習的一種方式后，就需要充分地尊重、激活并利用這種方式來促進學生的數學學習。從日常教學的實際出發，以下幾個方面的行為表現是值得關注和研究的。

1.說

主要是指描述和舉例。通過語言將思維外化，通過事例來解釋和說明，是非常基礎也非常重要的兒童學習形態。比如，初步認識分數時，學生不可能也不需要用精確的數學語言來描述分數“1／2”的含義，但是，他可以通過舉出“將一個蘋果平均切成兩半，其中的一半就是它的1／2”的例子來陳述對分數含義的理解。比如，學習“軸對稱”，學生并不需要死板地記住書上的文字定義，可以描述春節時在大門上貼春聯的場景，講述兩幅聯是如何憑借門縫、鎖扣等物品來達到對稱的，這同樣觸及“對稱”的本質。總之，熟悉的生活場景、日常事例會讓學生在腦海里自動浮現出一幅幅生動的畫面，數學知識就浸潤在這畫面中，往后，即便所學知識遺忘了，但是只要提到“切西瓜”“貼對聯”，那遺忘的東西或許又神奇地再次“長”出來。

2.畫

喜愛畫畫是兒童的天性，他們大膽的想象和怪異的思維都可以“傾注”到畫面上。我教一年級的時候，就曾碰到一個對學習總是提不起興趣的學生，但是有一次做練習開放題“看到34，你想到什么？”時，他在數位圖畫珠子表示了34，我對他大大地表揚一番。沒想到，這個學生下了課后坐在座位上哪都不去，一股腦兒地畫起數位圖，從兩個數位的畫到三個數位、四個數位，還寫出了346、1273等多位數。盡管這些數他還不知道怎么讀，表示什么意思，但是，他完成沉浸在自己“畫數學”的世界里。前幾年，我們曾在二年級嘗試進行了“數學繪畫日記”的研究，引導學生采用日記的形式，借助于繪畫的方式，把現實生活中親眼所見的、親身經歷的、具有一定數學內涵的情景畫出來，并用簡潔的文字把隱藏在特定情景中的數學內涵講述出來。沒想到，學生真的把繪畫當成了一種“特殊的語言”，創作出了四千多幅作品。

比如日記《跳了多遠》中，學生用圖文結合的方式敘述了“把尺放反了”鬧出的測量笑話：

今天，許教師帶我們去跳遠。輪到我跳時，我單腳居然跳了173厘米！我非常得意，但他們說不對勁，我一看，當時的得意勁全沒了。原來米尺用反了，是從100向1數的，我想“100－73＝27（厘米）”，于是連忙說：“錯了，錯了！是 127 厘米！”大家都跑過來，他們一看：果然如此！其實生活中的數學真多啊！就讓我們一起在這個奇妙的世界中探索吧！

事實上，我們不難發現，只要在數學學習中有了圖畫，有了畫面，學生的眼神都變亮了，精神勁也更足。更何況，“人小鬼大”，只要放開來，學生的創意無限，不僅給我們帶來驚喜，也給學習增添了活力。

3.做

主要是指操作、表演等通過動作、體態來完成的數學學習。一個學生如果能用小棒擺出“5的分成”，那他就不難學會“5以內的加減法”、“一圖四式”等。一個學生如果能說出“兩腳并攏，兩只手臂分別前平舉和側平舉就是直角，再逐漸張開手臂就是大大的鈍角，往里收就是比較小的銳角”，足以說明他對角的認識清晰到位了。做，它更加突出了過程，更加凸顯了自主，也更加體現了創新和實踐，這些都是兒童數學學習的應有之義。

總的說來，“說”“畫”“做”等直觀性的行為方式是視覺與思維相結合，感性和理性相結合，自主與自由相結合，也是數學與生活相結合。可以說，“直觀”形態是“直觀”學習的前提、基礎和重要支撐，在“直觀”學習的探索和研究中，“直觀”的意義變得更加豐富而多元。

當然，需要指出的是，長期以來，小學數學教學也一直關注“直觀”學習，有時真正有點“過頭”了，比如，過分相信自己的眼睛——看到的就是對的，過分相信自己的操作——量到的就是準的。事實上，在直觀中適度孕育抽象，在感性中培植理性，才是數學之靈魂，是兒童學習數學之根本。這一點，將在下一期“孕育數學理性”的專題中探討。