例談數(shù)學(xué)教學(xué)中的“變式”是培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的有力途徑

溫海興

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)展思維能力是培養(yǎng)能力的核心，通過培養(yǎng)學(xué)生會(huì)觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括等能力，形成良好的思維品質(zhì)，提高思維水平。”著名數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾曾說過：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，而不是教學(xué)的結(jié)果——數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)。”因此，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的任務(wù)不能只滿足于用妥教材和用準(zhǔn)教材，能夠?qū)崿F(xiàn)知識(shí)的順利傳播就算了事，更重要的是借助知識(shí)教學(xué)這塊跳板，讓學(xué)生在獲得基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，發(fā)展和培養(yǎng)思維能力。可見，培養(yǎng)思維能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。而思維品質(zhì)是思維能力的表現(xiàn)形式，發(fā)展和培養(yǎng)思維品質(zhì)是發(fā)展和培養(yǎng)思維能力的主要途徑。充分挖掘教材潛力，進(jìn)行“變式”，發(fā)揮它在培養(yǎng)思維品質(zhì)過程中的主導(dǎo)作用，是一種有效手段。本文就數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)，粗淺地談?wù)勛约河嘘P(guān)“變式”的一些做法。

一、變式“公式”，培養(yǎng)思維的敏捷性

1.變式公式，在解題中靈活應(yīng)用公式的變形形式，能達(dá)到出人意料的效果

由完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2可推出以下幾個(gè)等式：

①a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab

②ab=[（a+b）2-（a2+b2）]

③（a+b）2-（a-b）2=4ab

例1.計(jì)算（m2+n2）2-[（-n）2-（-m）2]2等于 ? ? 。

簡析：由等式③得，原式=（n2+m2）2-（n2-m2）2=4m2n2

例2.已知a+b+c=0，a2+b2+c2=4，那么a4+b4+c4的值是 ? 。

簡析：由已知等式得a+b=-c，a2+b2=4-c2

由等式②，得ab=[（a+b）2-（a2+b2）]=[（-c）2-（4-c2）]=c2-2

由等式①，得a4+b4=（a2+b2）2-2a2b2=（4-c2）2-2（c2-2）2=8-c4∴a4+b4+c2=8

通過公式的變形，使學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、比較，熟悉公式的結(jié)構(gòu)，辨別條件，領(lǐng)會(huì)內(nèi)涵，簡化運(yùn)算;又有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生分析問題的能力。

2.逆用公式，反向思考

完成一道題的解證后，引導(dǎo)學(xué)生解題后的分析探索與引申，逆用所學(xué)的公式、性質(zhì)，這樣既能落實(shí)雙基，獲得深刻認(rèn)識(shí)，又能訓(xùn)練和提高自己的思維水平，養(yǎng)成探究問題的習(xí)慣。

例3.計(jì)算（a+b）2（a-b）2

簡析：逆用積的乘方公式ambm=（ab）m可簡化解題過程。

原式=[（a+b）（a-b）]2=a4-2a2b2+b4

例4.把a(bǔ)中根號外的因式移入根號內(nèi)。

簡析：本題是性質(zhì)=a的逆運(yùn)用，在二次根式成立條件的基礎(chǔ)上挖掘題目的隱含條件->0，即a<0。

∴原式=-（-a）=-=-

例5.分母有理化

簡析：該題可用常規(guī)法解，但若能逆用性質(zhì)（）2=a，（）2=b（a≥0，b≥0），運(yùn)算尤為簡便：

原式===+

顯然，以上各題不能僅滿足于常規(guī)解法，通過變式，逆用公式、性質(zhì)，探索“活法”“巧法”，以開闊思路，訓(xùn)練思維的敏捷性。

二、變式“解法”，培養(yǎng)思維的靈活性

通過一題多解，引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)角度去思考，認(rèn)識(shí)問題，尋求新關(guān)系、新答案，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲。同時(shí)，也培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性，為學(xué)生的思維開辟了廣闊的天地。

例6.如圖6-1，已知BE、CF分別是△ABC的中線，且交點(diǎn)是G，求證：BG∶GE=CG∶GF=2

解法1：由于點(diǎn)E、F分別是△ABC的邊AC、AB的中點(diǎn)，聯(lián)想到中位線的知識(shí)。

如圖6-1，連結(jié)EF

BE、CF分別是△ABC的中線?AE=CE

AF=BF?EF∥BC?

△GBC∽△GEF?====2

[A][A][A][B][C][E][F][G][B][C][E][F][G][D][A][B][C][E][F][G][D][D][B][C][E][F][G][圖6-1][圖6-2][圖6-3][圖6-4]

解法2：由平行線及成比例線段的知識(shí)，容易聯(lián)想到下面解法。

如圖6-2，過點(diǎn)E作ED∥AB交CF于點(diǎn)D

∵AE=CE，ED∥AB∴ED是△ACE的中位線∴ED=AF=BF，由△EDG∽△BFG，得===2

設(shè)DG=a，則GF=2a，∴CD=DF=a+2a=3a∴CG=a+3a=4a∴==2，故==2

從上述解法可看出，過中點(diǎn)E或F作平行線構(gòu)造中位線即能證明該題，綜合平行線等分線段定理及其推論等知識(shí)，可大膽猜想過A、B、C三點(diǎn)分別作某線段的平行線，一定能構(gòu)造出中位線及相似三角形、全等三角形，結(jié)合代數(shù)方法，同樣可證得結(jié)論（證明請讀者完成）。

解法3：如圖6-3，過點(diǎn)A作AD∥CF交BE的延長線于點(diǎn)D，構(gòu)造中位線GF，可證△CGE≌△ADE。

解法4：如圖6-4，過點(diǎn)A作AD∥BE交CF的延長線于點(diǎn)D，構(gòu)造中位線GE，可證△BFG≌△AFD。

[A][A][A][A][B][C][D][E][F][G][B][C][D][E][F][G][B][C][D][E][F][G][B][C][D][E][F][G][圖6-5][圖6-6][圖6-7][圖6-8]

解法5：如圖6-5，過點(diǎn)B作BD∥AC交CF的延長線于點(diǎn)D，構(gòu)造△BGD∽△EGC，△BFD≌△AFC。

解法6：如圖6-6，過點(diǎn)C作CD∥AB交BE的延長線于點(diǎn)D，構(gòu)造△BGF∽△DGC，△ABE≌△CED。

解法7：如圖6-7，過點(diǎn)B作BD∥CF交AC的延長線于點(diǎn)D，構(gòu)造中位線CF，易證△EGC∽△EBD。

解法8：如圖6-8，過點(diǎn)C作CD∥BE交AB的延長線于點(diǎn)D，構(gòu)造中位線BE，易證△FBG∽△FDC。

綜合上述各種添加平行線的證法，可將題設(shè)給出線段的中點(diǎn)這一條件加以推廣：由平行線等分線段定理是平行線分線段成比例定理的特殊情形聯(lián)想到，凡給出已知點(diǎn)分已知線段成比例的條件時(shí)，就可以用這一方法來添加平行線。

綜上可見，在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)在重視概念、公式、性質(zhì)、定理、例題等教學(xué)的同時(shí)，講透其內(nèi)涵與外延，從不同方位、不同角度進(jìn)行“變式”，密切關(guān)注學(xué)生思維品質(zhì)的形成。正如著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說：“在尋求真理的長征中，唯有學(xué)習(xí)，不斷地學(xué)習(xí)，勤奮地學(xué)習(xí)，有創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)，才能越重山，跨峻嶺。”只有這樣，才能使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)，養(yǎng)成良好思維品質(zhì)的習(xí)慣，具有創(chuàng)造性和開拓性，達(dá)到提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，樹立良好思維品質(zhì)的目的。

·編輯 孫玲娟endprint