解電場問題中常見的“三類”圖象

周房山

在考查電場中的基本概念時，往往給出與電場分布有關的圖象，如：E-x圖象、φ-x圖象，或v-t圖象。以下分別介紹解電場問題中常見的“三類”圖象。

一、電場中粒子運動的v-t圖象

當帶電粒子只在電場力作用下運動時，如果給出了粒子運動的速度圖象，則從速度圖象上能確定粒子運動的加速度方向，加速度大小變化情況，進而可將粒子運動中經歷的各點的場強方向、場強大小、電勢高低及電勢能的變化等情況判定出來。

例1.兩個等量同種點電荷固定于光滑水平面上，其連線中垂線上有A、B、C三點，如圖1甲所示。一個電荷量為2C，質量為1 kg的小物塊從C點靜止釋放，其運動的v-t圖象如圖乙所示，其中B點處為整條圖線切線斜率最大的位置（圖中標出了該切線），則下列說法正確的是（ ?）

[A][B][C][O][甲] [A][B][t/s][O][v/（m·s-1）][8

6

4][5 7][10 12 15][乙][圖1]

A.B點為中垂線上電場強度最大的點，場強E=2V/m

B.由C到A的過程中，物塊的電勢能先減小后變大

C.由C到A的過程中，電勢逐漸升高

D.A、B兩點電勢差UAB=-5V

解析：

（1）由v-t圖象可知，圖線的斜率表示加速度先增后減，因此，小物塊在B點加速度有最大值，根據牛頓第二定律，可知在B點處電場強度最大。加速度大小為2 m/s2。

又根據qE=ma，得E=1 V/m，選項A錯;

（2）由v-t圖象可知，由C到A的過程中，小物塊的動能一直在增大，由動能定理，電場力也一直做正功，則小物塊的電勢能逐漸減小，由Ep=qφ，知電勢逐漸降低，選項B、C錯;

（3）由動能定理，qUAB=mv2

B-mv2

A，解得UAB=-5 V，選項D正確。

例2.如圖2甲M、N是一條電場線上的兩點，在M點由靜止釋放一個正的點電荷，點電荷僅在電場力的作用下沿著電場線從M點運動到N點，粒子的速度隨時間變化的規律如圖2乙所示，以下判斷正確的是（ ?）

[甲 乙][圖2][M][N]

A.該電場可能是勻強電場

B.N點的電勢高于M點的電勢

C.M點到N點，點電荷的電勢能逐漸減小

D.點電荷在M點所受電場力大于在N點所受電場力

解析：

（1）由v-t圖象可知，點電荷從M點運動到N點，圖線的斜率增大，故點電荷做加速度增大的加速運動。根據牛頓第二定律，可知，其所受的電場力增大，電場不是勻強電場，選項A、D錯;

（2）點電荷從M點運動到N點，點電荷做加速度增大的加速運動，故點電荷受到的電場力方向也是由M指向N，由“順電場線，電勢降”，則M點電勢大于N點電勢，選項B錯;

（3）點電荷從M點運動到N點，做加速運動，由動能定律，知電場力做正功，因此，電勢能減小，選項C正確。

二、電場中的E-x圖象

在給定了電場的E-x圖象后，可以由圖線確定場強的變化情況，電勢的變化情況，E-x圖線與x軸所圍圖形“面積”表示電勢差。在與粒子運動相結合的題目中，可進一步確定粒子的電性、動能變化、電勢能變化等情況。在這類題目中，還可以由E-x圖象假設某一種符合E-x圖線的電場，利用這種已知電場的電場線分布、等勢面分布或場源電荷來處理相關問題。

例3.空間有一沿x軸對稱分布的電場，其電場強度E隨x變化的圖象如圖3所示。下列說法中正確的是（ ?）

[O][E][-x1][x][x1][x2][x3][圖3]

A.O點的電勢最低

B.x2點的電勢最高

C.x1和-x1兩點的電勢相等

D.x1和x3兩點的電勢相等

解析：

（1）由圖3可知，O點兩側電場強度方向相反，因電場強度的方向沿x軸，由“沿電場線，電勢降”規律，O點可能電勢最低，也可能電勢最高，選項A錯;

（2）由于O點兩側電場強度方向相反，x1、x2、x3三點在同一電場線上，由沿電場線方向電勢逐漸降低可知，無論O點右側電場強度沿x軸向右還是向左，x2點電勢都不是最高，x1、x3兩點的電勢也不相等，故選項B、D錯;

（3）由題圖3知，電場強度在O點兩側對稱，故x1、-x1兩點電勢相等，選項C正確。

例4.如圖4所示，半徑為R，均勻帶正電荷的球體在空間產生球對稱的電場;場強大小沿半徑分布如圖所示，圖4中E0已知，E-r曲線下O～R部分的面積等于R～2R部分的面積。問

[E0][E][O][r][R][2R][圖4]

（1）E-r曲線下面積的單位是什么？

（2）已知帶電球在r≥R處的場強E=，式中k為靜電力常量，該均勻帶電球所帶的電荷量Q為多大？

（3）求球心與球表面間的電勢差ΔU多大？

（4）質量為m，電荷量為q的負電荷在球面處需具有多大的速度可以剛好運動到2R處？

解析：

（1）由公式E=，做類比，可知E-r圖線下“面積”表示電勢差，“面積”的單位為伏特;

（2）由于帶電球在r≥R處的場強E=，，可見在r≥R處，帶點球可視為點電荷。如圖，在r=R時，E=E0，則由點電荷的電場強度公式，

E0=，

解得該均勻帶電球所帶的電荷量

Q=，

（3）由公式E=類比，可知E-r圖線下“面積”表示電勢差，因此，球心與球表面間的電勢差

ΔU=

（4）根據題述E-r曲線下O～R部分的面積等于R～2R部分的面積，球體表面r=R到r=2R處的電勢差

ΔU=

由動能定理，

qΔU=mv2

解得

v=

三、電場中的φ-x圖象

在電場的φ-x圖象中，除了可以直接從圖中了解各點電勢大小及變化情況，還可以從圖線的斜率上了解各點場強的大小及方向。當φ-x圖象與粒子運動相結合時，可以涉及的方面有粒子電性、電勢能、電場力做功、動能、速度、加速度等。也可以由φ-x圖線的特征先假設是某一具有相同φ-x變化規律的電場，進而解決問題。由公式E=做類比，φ-x圖線各點切線的斜率為各點處電場強度的大小。

例5.如圖5所示a、b是x軸上兩個點電荷，電荷量分別為q1和q2，沿x軸a、b之間各點對應的電勢高低如圖5中曲線所示，a、p間距離大于p、b間距離。從圖中可以判斷以下說法正確的是

（ ）

[O][a][p][b][x][φ] [圖5]

A.a和b均為負電荷且q1一定大于q2

B.電勢最低的p點的電場強度為零

C.將一正的檢驗電荷從b處移到p處，電荷電勢能增加

D.a、p間的電場方向都指向a點

解析：

（1）由φ-x圖象可知，從a到b，電勢φ先減小再增加，可見a、b電荷產生的電場方向均指向p，所以a、b應均為正電荷，所以選項A、D錯;

（2）由于φ-x圖象的斜率表示電場強度E，故在p點的電場強度為零，選項B正確;

（3）將一正的檢驗電荷從b處移到p處，電勢φ降低，由Ep=qφ知，電勢能減少，選項C錯。

例6.兩電荷量分別為q1和q2的點電荷放在x軸上的O、M兩點，兩電荷連線上各點電勢φ隨x變化的關系如圖6所示，其中A、N兩點的電勢為零，ND段中C點電勢最高，則（ ）

[O][A][N][q2][D][C][x][M][φ][q1] [圖6]

A.C點的電場強度大小不為零

B.A點的電場強度大小為零

C.NC間場強方向沿x軸正方向

D.將一負點電荷從N點移到D點，電場力先做正功后做負功

解析：

（1）由題圖可知，由O點到M點，電勢一直降低，且圖線在A點的斜率也不為零，故A點的電場強度大小不為零，而C點向N、向D兩個方向電勢均降低，說明C點兩側電場方向相反，且圖線在C點的切線斜率為零，故C點電場強度大小為零，選項A、B錯;

（2）由圖6可知，由N到C電勢升高，故CD間電場方向沿x軸負方向，選項C錯;

（3）同理可知，由C到D電勢降低，故NC間電場方向沿x軸正方向，因此，將負點電荷從N移到C，電場力做正功，將負點電荷從C移到D，電場力做負功，選項D正確。

從以上三類圖象可以看出掌握各個圖象的特點，理解其斜率、截距、“面積”對應的物理意義，就能順利解決有關問題，此類問題一般以選擇題的形式出現，難度中等。

·編輯 楊兆東